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Apunte 12 - Mate 2...

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Matemática II Tema 12: derivada direccional y gradiente 2012–2013

Índice Derivada direccional de una función

1

Definición e interpretación geométrica Cómputo de la derivada direccional

1 3

Propiedades del gradiente de una función

5

Gradiente y tangentes a curvas de nivel

5

Gradiente de funciones de tres variables

7

Trabajo práctico

8

Ejemplos con Sage

L : x = x0 + su1 , y = y0 + su2 y

9 9

Definición e interpretación geométrica

R

u=

Derivada direccional de una función

u1 i

+u

2j

Cálculo de gradientes y derivadas direccionales

P0 ( x0 , y0 )

La derivada de f ( x, y ) en una dirección particular Tenemos una función f ( x, y ) definida en una región R del plano xy. Tenemos un punto P0 ∈ R y un vector unitario u. ¿Cual será la tasa de cambio de f ( x, y ) sí, arrancando de P0 , nos movemos sobre L en la dirección de s creciente? Aplicando la regla de la cadena Si nos movemos sobre la recta L nos queda   f ( x, y ) = f g (s ), h(s )

= f ( x0 + su 1 , y 0 + su2 )

La “regla de la cadena” indica entonces que, la tasa de cambio de f respecto de s, a lo largo de la recta L, será df ∂ f dx ∂ f dy + = ∂y ds ∂x ds ds

x

Figura 1: el punto P0 ( x0 , y 0 ) y el vector unitario u = u 1 i + u 2 j permiten parametrizar la recta L en la región R.

tema 12 : derivada direccional y gradiente

2

Definición formal de derivada direccional Definición 1 (derivada direccional). La derivada de f en P0 ( x0 , y 0 ) en la dirección del vector unitario u = u 1 i + u 2 j es el número   df f ( x0 + su 1 , y 0 + su2 ) − f ( x0 , y 0 ) = l´ım s ds u,P0 s→0 si este límite existe. Esta es la definición formal, pero veremos que hay una forma práctica, más sencilla, de calcular una derivada direccional. Comentarios acerca de la derivada direccional La derivada direccional también suele escribirse como   df ≡ ( Du f ) P0 ds u,P0 Las derivadas parciales de f , evaluadas en P0 , resultan ser f x ( x0 , y 0 ) = ( Di f ) P0

  f y ( x 0 , y 0 ) = Dj f P

0

Figura 2: la derivada direccional de f , en la dirección del vector u, y evaluada en el punto P0 ( x0 , y 0 ), es la pendiente de una recta tangente a la superficie z = f ( x, y ).

La derivada direccional es una pendiente La pendiente m de la recta tangente a la curva z = f ( g (s ), h(s )),   en el punto P x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 ) , es la derivada direccional.   df m= ds u,P0

= ( Du f ) P0

tema 12 : derivada direccional y gradiente

Cómputo de la derivada direccional Expresión para calcular la derivada direccional Buscamos una expresión para calcular la derivada (direccional) de f ( x, y ) sobre la recta parametrizada L : x = x0 + su 1

y = y 0 + su2

Aplicando la regla la cadena obtenemos     ∂ f  dx ∂ f  dy df = + ∂y  P0 ds ∂x  P0 ds ds u,P0   ∂ f  ∂ f  u + = u2 ∂y  P0 ∂x  P0 1  !  ∂ f  ∂ f  j · (u 1 i + u 2 j) = i+ | {z } ∂y  P0 ∂x  P0 vector u | {z } gradiente de f en P0

El vector gradiente de una función

Definición 2 (gradiente). La función vectorial gradiente de f ( x, y ) es el vector ∂f ∂f j i+ ∇f = ∂y ∂x Cuando se evalúa la función vectorial gradiente, en un punto P0 ( x0 , y 0 ), se obtiene el vector gradiente   ∂ f  ∂ f  (∇ f ) P0 = j i + ∂y  P0 ∂x  P0

La derivada direccional es un producto punto

Teorema 1. Si f ( x, y ) es derivable en una región abierta que contiene a P0 ( x0 , y 0 ), y si u es un vector unitario, entonces     ( Du f ) P0 = (∇ f ) P0 · u = (∇ f ) P0  cos θ

es el producto punto del gradiente ∇ f en P0 con u.

Ejemplo 1. Obtener la derivada de f ( x, y ) = xey + cos xy, en el punto (2, 0), y en la dirección del vector v = 3i − 4j. 1. Calculamos el vector unitario en la dirección de v u=

v v 4 3 = = i− j |v| 5 5 5

2. Las derivadas parciales de f , evaluadas en (2,0) son   f x (2, 0) = e y − y sin xy | (2,0) = e0 − 0 · 0

=1   f y (2, 0) = xe y − x sin xy | (2,0) = 2e0 − 2 · 0 =2

3

tema 12 : derivada direccional y gradiente

y

(∇ f )(2,0) = i + 2j

2

z = 24 z = 18 z = 12 z=8

1

P0 (2, 0) 1

−1

z=6 x

θ 2

Figura 3: el gradiente ∇ f en (2, 0) y algunas curvas de nivel, para la función f ( x, y ) = xe y + cos xy .

3

u = 3/5i − 4/5j

4

z =5 3

z=1

3. El gradiente ∇ f en (2, 0) es

(∇ f )(2,0) = f x (2, 0)i + f y (2, 0 )j = i + 2j 4. La derivada de f en (2, 0), y en la dirección de v, es

( Du f )(2,0) = (∇ f )(2,0) · u   3 4 = (i + 2j) · i− j 5 5 3 8 = − 5 5 = −1 La derivada direccional de f ( x, y) es

Propiedades de la derivada direccional de f ( x, y )

( Du f ) P0 = (∇ f ) |P0 · u   =  (∇ f ) |P  cos θ 0

1. f ( x, y ) crece más rápidamente en la dirección de ∇ f (porque θ = 0◦ ). 2. f ( x, y ) decrece más rápidamente en la dirección de −∇ f (porque θ = 180◦ ). 3. f ( x, y ) se mantiene constante en las direcciones perpendiculares a ∇ f (porque θ = ±90◦ ). Ejemplo 2. Indicar las direcciones en las que f ( x, y ) =

y2 x2 2 + 2

1. crece más rápidamente desde el punto (1, 1); 2. decrece más rápidamente desde el punto (1, 1); 3. se mantiene constante desde el punto (1, 1). 1. f ( x, y ) crece más rápidamente en la dirección de (∇ f )(1,1)

(∇ f )(1,1) = (xi + yj)| (1,1) = i + j y el vector unitario en esa dirección es u=

i+j 1 1 = √ i+√ j | i + j| 2 2

4

tema 12 : derivada direccional y gradiente

5

2. f ( x, y ) decrece más rápidamente en la dirección de − (∇ f )(1,1) , es decir 1 1 −u = − √ i − √ j 2 2 3. f ( x, y ) se mantiene constante en las direcciones perpendiculares a (∇ f )(1,1) , es decir 1 1 n = −√ i+ √ j 2 2

1 1 −n = √ i− √ j 2 2

y

Figura 4: la dirección en la que f ( x, y ) crece más rápidadmente en (1, 1) es la dirección de (∇ f )(1,1) .

Propiedades del gradiente de una función Gradiente y tangentes a curvas de nivel ∇ f es siempre perpendicular a las curvas de nivel de f Supongamos que f ( x, y ) toma un valor constante c sobre una curva parametrizada r (t) = g (t)i + h(t)j. Es decir, que r (t) es una curva de nivel de f , o lo que es lo mis  mo, que f g (t), h(t) = c. Entonces, derivando cada lado de esta ecuación, resulta  d d  f g ( t ), h ( t ) = ( c ) dt dt ∂ f dg ∂ f dh + =0 ∂y dt ∂x dt     ∂f dh ∂f dg j · i+ i+ j = 0 ∂x dt ∂y dt | {z } | {z } ∇f

dr dt

tema 12 : derivada direccional y gradiente

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Ecuación de la recta tangente Teorema 2. En todos los puntos ( x0 , y 0 ) del dominio de una función f(x,y), el gradiente ∇ f es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ( x 0 , y 0 ). Teorema 3. La recta que pasa por un punto ( x0 , y 0 ), y es perpendicular a un vector N = A i + B j, tiene ecuación A ( x − x0 ) + B(y − y 0 ) = 0 Entonces, si N es el (∇ f )(x0 ,y 0 ) = f x ( x0 , y 0 )i + f y ( x0 , y 0 )j, la ecuación de la recta tangente será f x ( x0 , y 0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y 0 )(y − y 0 ) = 0 Ejemplo 3. Obtener una ecuación para la tangente a la elipse x2 + y2 = 2 4 en el punto (−2, 1). 1. La elipse es una curva de nivel de la función f ( x, y ) =

x2 + y2 4

2. El gradiente de f en (−2, 1) es x  (∇ f )(−2,1) = = −i + 2 j i + 2y j 2 (−2,1) 4. Entonces, la tangente es la recta

(−1)( x + 2) + 2(y − 1) = 0

2y − x = 4

(∇ f )(−2,1) = −i + 2 j

y 2

(−2, 1) −4

−3

−2

2y

= −x x2 2

1

−1

−2

Otras propiedades de los gradientes Reglas para operar con gradientes

+ y2 = 2 x

1

−1

4

2

3

4

Figura 5: podemos encontrar la recta tangente a la elip2 se x4 + y 2 = 2, en el punto (2, 1), considerando que la elipse es una curva de nivel de 2 f ( x, y ) = x4 + y 2 .

tema 12 : derivada direccional y gradiente

Si tenemos dos funciones f y g, entonces se cumplirán las siguientes reglas: 1) Regla de la suma ∇( f + g ) = ∇ f + ∇ g 2) Regla de la resta ∇( f − g ) = ∇ f − ∇ g 3) Regla del múltiplo constante ∇(c f ) = c∇ f c ∈ R 4) Regla del producto ∇(f g) = g ∇ f + f ∇ g f f ∇g 5) Regla del cociente ∇ g = g∇ f − g2 Ejemplo 4. Comprobar las reglas 2 y 4 del gradiente, siendo f ( x, y ) = x − y

g ( x, y ) = 3y

∇f = i−j

∇ g = 3j

1. La regla 2

∇( f − g ) = ∇( x − 4y ) = i − 4j = ∇ f − ∇ g 2. La regla 4   ∇( f g) = ∇ 3xy − 3y 2 = 3yi + (3x − 6y )j

= 3y (i − j) + 3yj + (3x − 6y )j = 3y (i − j) + (3x − 3y )j

= 3y · (i − j) + (x − y ) · 3j = g ∇ f + f ∇ g

Gradiente de funciones de tres variables Funciones de tres variables Para una función derivable f ( x, y, z ) y un vector unitario u = u 1 i + u 2 j + u 3 k en el espacio R3 se tiene

∇f =

∂f ∂f ∂f k i+ j+ ∂z ∂y ∂x

y Du f = ∇ f · u =

∂f ∂f ∂f u2 + u1 + u3 ∂y ∂x ∂z

La derivada direccional puede escribirse también como Du f = ∇ f · u = |∇ f || u | cos θ = |∇ f | cos θ

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tema 12 : derivada direccional y gradiente

Trabajo práctico 1. En cada caso, calcule el gradiente de la función en el punto dado. Luego dibuje el gradiente junto con la curva de nivel que pasa por el punto.   (1, 1) a) f ( x, y ) = ln x2 + y 2 b) g ( x, y ) = xy 2 (2, −1) p c) f ( x, y ) = 2x + 2y (4, −2)

2. En cada caso calcule ∇ f en el punto indicado.   (1, 1, 1 ) a) f ( x, y, z ) = 2z3 − 3 x2 + y 2 z + tan−1 xz   2 −1/2 b) f ( x, y, z ) = x + y 2 + z2 + ln( xyz ) (−1, 2, −2) c) f ( x, y, z ) = e x+ y cos z + (y + 1) sin−1 x

(0, 0, π/6)

3. En cada caso, calcule la derivada de la función en P0 y en la dirección del vector v . a) g ( x, y ) =

x− y xy+2

b) f ( x, y, z ) =

3e x

P0 (1, −1)

cos yz

v = 12i + 5j

P0 (0, 0, 0 )

c) h( x, y, z ) = cos xy + e yz + ln zx v = i + 2j + 2k

v = 2i + j − 2k

P0 (1, 0, 1/2)

Pista: calcule primero el vector unitario u = |vv| . 4. En cada caso, obtenga las direcciones en las cuales la función crece y decrece más rápidamente en P0 . Luego calcule las derivadas de la función en esas direcciones. a) f ( x, y ) = x2 y + e xy sin y

P0 (1, 0)

b) g ( x, y, z ) = xe y + z2 P0 (1, ln 2, 1/2)  2  c) h( x, y, z ) = ln x + y 2 − 1 + y + 6z

P0 (1, 1, 0)

5. En cada caso, grafique la curva f ( x, y ) = c junto con ∇ f y la recta tangente al punto dado. Luego escriba una ecuación para la recta tangente. √  2, 1 a) x2 − y = 1 b) xy = −4 c)

x − xy

+ y2

(2, −2)

=7

(−1, 2)

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tema 12 : derivada direccional y gradiente

Ejemplos con Sage Cálculo de gradientes y derivadas direccionales Calcular el gradiente de una función f ( x, y, z ) # definir la función f ( x, y, z )

= ln( xy) + ln (yz ) + ln ( xz )

✎ El código Sage en los siguientes recuadros puede ser seleccionado, copiado y pegado en una hoja de trabajo de Sage, para ejecutarlo y así obtener los resultados y los gráficos.

f(x,y,z) = log(x*y)+log(y*z)+log(x*z) # mostrar la función f show(f) # calcular

∇f

Gf = f.gradient() show(Gf) # evaluar

∇ f en (1, 1, 1 )

w = Gf(1,1,1) show(w)

✎ Puede utilizar estos ejemplos de código Sage como base para comprobar los resultados de los ejercicios del trabajo práctico.

Graficar el gradiente de una función f ( x, y ) f(x,y) = x*exp(y)+cos(x*y); show(f) # f ( x, y ) x0 = 2; y0 = 0; P0 = vector((x0,y0)) # P0

∇f ∇ f evaluado en (2, 0) # graficar las curvas de nivel de f Gf = f.gradient(); show(Gf) # w = Gf(x0,y0); show(w) #

g2 = contour_plot(f,(x,-0.5,5),(y,-1,2), contours=[1,3,6,8,12,16,24],frame=false, fill=false,labels=true,label_inline=true, label_fmt="%2d",label_colors="red") # agregar P0 y

∇ f evaluado en (2, 0)

g2 = g2 + arrow2d(P0,P0+w, width=2, color="blue", aspect_ratio=1, axes=true) g2 = g2 + point(P0, size=50, color="black", zorder=99); g2.show()

Calcular una derivada direccional de f ( x, y ) # f ( x, y ) = xe y + cos( xy ) f(x,y) = x*exp(y)+cos(x*y); show(f) x0 = 2; y0 = 0; P0 = vector((x0,y0)) # P0

∇f w = Gf(x0,y0); show(w) # ∇ f (2, 0)

= (2, 0)

Gf = f.gradient(); show(Gf) #

v1 = 3; v2 = -4; v = vector((v1,v2)) # v

= (3, −4)

u = v/v.norm(); show(u) # u = (3/5, −4/5) Duf = w.dot_product(u) # Du f (2, 0) = ∇ f (2, 0 ) · u show(Duf)

= −1

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