Derivada Implicita Y Orden Superios PDF

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Apuntes para el repaso del tema, derivada implicita y orden superior. De manera detallada para su mejor comprensión...

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CAPÍTULO

4

Derivadas de funciones implícitas Una función implícita es una relación que se expresa en términos de x y y, por ejemplo:

En una función implícita se derivan término a término los elementos de la igualdad respecto a la variable que se indica y al final se despeja la derivada.

¿Cuál es la derivada

dy

Solución Se derivan ambos miembros de la igualdad: d ( 3x2 dx d 3 x2 dx 3

3(2 x )

6 x

dx2 dx

dy dx

dx Se agrupan los términos que contienen

d (2x dx

y)

d 6 xy dx

dy 2 dx

d2 x dx

dy dx

dxy dx

dy2 dx

2

dx dx

dy dx

2(1)

dy dx

6 y

y2 )

6 xy

dx dx

2y

dy dx

y

dy dx

dy dx

dy dx

y

x

6x 6x

6y 2y

y

dy , y se despeja: dx dx

y

dy dx

dy dy dx

2 1

Por lo regular, el resultado de la derivada de una función implícita se expresa en términos tanto de x como de y. dy Es común que en algunos casos la expresión

1233

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Solución Al derivar ambos miembros de la igualdad se obtiene:

d x dx

y

d x dx x

d

y

dx dx

y

dy dx

dx dy dx dx 2 x y

1

y 2

1

Solución Se derivan ambos miembros de la igualdad: dy dx

dx

x

y

Donde: x y

e

ex

y

Solución d dx

x

y

dx dx

Donde, la derivada cos (x y) cos ( )

cos( x

1234

y)

cos( x cos(

y) )

x y 2 x

y

dy dx

CAPÍTULO

Obtén la derivada

dy

Solución d

d dx

y dx

dx

x

Se despeja la derivada de la igualdad: 1

1 x

x

Solución d

Se despeja la derivada:

(x cos (x

y y)

sen(x sen(x

y y)

Solución d dx

x

y

1

d 2 x

2 y

2 y 2 x y x

1235

4

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

9.

y

xy

10. y 3

xy2 3

11. 3

19.

2x x

e

y x

2

ex x2

3

40. e

x

2

ey y2

1 1

24. x y

sen y

25. y

x y

27. y 2

x

29. ln x ln y

x

sen x 1 sen y

1

1

23. 3

ln y

y

3

1

2

5

x2 y2

3y y

ey x

20. ln

22.

2

2

14. x

x3 y

y

x

y

tan xy

x

x

x

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1236

CAPÍTULO

Derivadas de orden superior requerido. dx 2

dx 2 El proceso de hallar derivadas, una tras otra, se llama derivadas sucesivas. La enésima derivada de una función se denota con y n

Encuentra la segunda derivada

dn y n dx

f

x

d2 y dx

Solución Se obtiene la primera derivada de la función: cos 3 dx

dy

Finalmente, se deriva el resultado anterior para obtener la segunda derivada: d2 y dx Determina

d 3y dx

Solución Se obtiene la primera derivada: dy dx

x

Se encuentran la segunda y tercera derivadas: 2

d y dx Finalmente, el resultado es:

Encuentra

d3 y dx

1 dx x

3

1 2

dx

x3

d4 y dx

Solución Se deriva sucesivamente la función, hasta llegar a la cuarta derivada:

1237

dx

1 x2

x3

4

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

¿Cuál es el resultado de

d2 y dx

Solución Se obtiene la primera derivada implícita:

d (x dx

xy

y)

dx 2x

3x

dy dx

y

dy dx

3y

dy dx

dy dy

2

d y La segunda derivada es: dx

2

3y 2x dx 1 3x

3x ) 3

(1

3 ) 3

dx 2

d y dx d 2y dx

( y

d 2y dx

y

d 2y dx Determina

(1

dy 2 (3 y dx (1 3 x )2 3

x 3x 2

1 y 1

x 3x

( y

x) ( y 3 x )2

( (1

x

2 x )( 3 )

2 x

x)

y x 1 3x

y

x )(

x )(

)

x

2

d 2y dx

Solución Se obtiene la primera derivada: d 2 (x dx

xy

y2 ) 2 2y

d2 y Se obtiene la segunda derivada: dx

y 2x dx 2y x

2

d2 y dx 2

dx

1238

x)

dy dx

dx

d2y dx al simplificar se obtiene:

( 2y

2

x

(y

2 x) 2

(y

2 x)

dy 1 dx

( 2y (2 y

x)

3y 2y

x (

(x 2 xy y 2 ) ( 2 y x) 3 6(2 ) (2 y x )3

12 (2 y x )3

2y

3x x

)

CAPÍTULO

EJERCICIO 35 Realiza lo que se te indica: 1. Determina 2. Obtén

d 4y dx

d3 y dx

3. Determina

d 2y dx

x 5x

3

4. Determina

d 2y dx

ax

b

d3 y 5. Obtén dx 6. Determina

d 4y dx

7. Determina

d 2y dx

8. Obtén

d3 y dx

9. Encuentra 10. ¿Cuál es la 11. Obtén

d2 y dx d 2y dx

d2 y dx

12. Determina 13. Obtén

12

d 2y dx

d4 y dx

14. Calcula la

d2 y dx 3

dx x

3

1 d 3 y d ny , obtén 3 ; n 1 dx dx

3

dx3 2

dx2

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1239

4

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

y x

y

2x x

1

y

2

x x x2

x 4

y

3x

3

3 x2

9

x

y x y

e 2

4

y

9

2

2 EJERCICIO 34

xy 1 x y

1

x y

y x 2

x

(1 y(e

y2

)

1)

y x y x ln x

y 2x 4y

5 2

x2

3x y x 6y

x

x ln y x y ln x

1 y

1

y2

y x

x ln x 2

2

x

y

2x

e

y

2

a2 y

x ln x

y x

x

xe y2 x2 y 4xy x3

3y2

xy 2 10x2 y

y y

y

2

1

elny

xy

2

xy x y 5 x 2 x2 1 x 2x

y

e

1

e x cos y

y

x e x cos y

3y

1577

y

x tan y

x sen y

CÁLCULO DIFERENCIAL

cos( x (y

EJERCICIO 35

a) b)

1.

d4 y dx

2.

d3y dx

3.

d2 y dx

170 5 3

sen x ecos x y esen y

4.

d2 y dx

ab

cos( ) xy

5.

d y dx

6.

d y dx

sen x

(8 x ) sen( 8y )

(4 x ) cos(2 x ) sen(2 ) cos(2 )

x

y cot y sen y

3

2

3

x

4

cos x sen y x sen y e

72 15

y

x y x cos y 2

2

y

2

1

10.

d y dx

11.

d y dx

1 x

y 2

3x

2

x y cot (x y )

2

ln 2 x

2

y y

e x ln y x y ln x

12.

d2y dx

13.

d4y dx

14.

d y dx2

ln 8

2

x 2

y x

x

2

1 ln x 1 ln y

2

9 3 2 2

9 x2

y2

16 y3

sen x sen2 y sen 3 y

2

y3 x3

2

xy tan( xy) 2

x2

2

y

x

3

dx n

3

( x y) cos( x y) sen( x y) cos(x y )

x

16.

d y dx

14

;

d y dx

(x

! ( )n 1) n 1

1

y 12

2

y xy xy sec2 ( xy )

3

18.

d y dx

19.

d y dx

1 2

x

1

(1

cos 2 x x )3

sen x (1

x

e

x

y

12 2

ex

1578

3

108x 5 ( x 2 y)

)2

(1

sen x 2 sen x )

cos 2 x cos y 2 y...