PPT 03 Formas Indeterminadas Derivada Implicita PDF

Preview

Summary

CÁLCULO 1SESIÓN 3: Formas indeterminadas y derivación implícita∞ − ∞, 0 ⋅ ∞, 0 0 ,∞ 0 , 1 ∞.Volumen de ventasEncuentre la tasa o razón de cambio del volumende ventas con respecto a los gastosdepublicidad, cuando éstos gastos suman10 000dólares. 𝑥𝑦 − 20𝑥 + 10𝑦 = 0 Donde 𝑥es el gasto en publicidad e 𝑦...

Description

CÁLCULO 1 SESIÓN 3: Formas indeterminadas y derivación implícita

∞ − ∞, ∞0

0 ⋅ ∞, 00 , , 1∞ .

Volumen de ventas Encuentre la tasa o razón de cambio del volumen de ventas con respecto a los gastos de publicidad, cuando éstos gastos suman 10 000 dólares. 𝑥𝑦 − 20𝑥 + 10𝑦 = 0 Donde 𝑥 es el gasto en publicidad e 𝑦 es el volumen de ventas.

Saberes previos

LOGRO Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve e interpreta problemas aplicados al estudio de fenómenos naturales, económicos y tecnológicos, haciendo uso de la derivada de funciones implícitas y la regla de L’Hôpital.

Contenido de la sesión ➢ Formas indeterminadas básicas.

➢ Regla de L’Hôpital y ejemplos. ➢ Otras formas indeterminadas y eje ➢ Procedimiento para diferenciación ➢ Regla para la derivación implícita. ➢ Ejemplos.

Formas indeterminadas

Por ejemplo 𝑒 𝑥 − 10𝑥 lím 𝑥→0 𝑥

𝑥2 lím 𝑥→+∞ 𝑒 𝑥

Regla de L’Hôpital

Ejemplos Mediante la regla de L’Hôpital determinar el valor de los siguientes límites

1.

lím

𝑥→0

sen 𝑥 𝑥

=

0 0

Solución: Aplicamos la regla de L’Hopital

senx ( senx ) ' cos x = lim = lim x→0 x →0 x →0 x ( x) ' 1

lim

= cos(0) = 1

Ejemplos Mediante la regla de L’Hôpital determinar el valor de los siguientes límites

2.

𝑥 3 −3𝑥+2 𝑥→1 1−𝑥+ln 𝑥

lím

=

0 0

Solución: Aplicamos la regla de L’Hopital x 3 − 3 x + 2 )' x3 − 3x + 2 ( 3x 2 − 3 lim = lim = lim x→1 1 − x + ln x x→1 − 1 + 1/ x x→1 (1 − x + ln x ) '

3(1) 2 − 3 0 = = −1+ 1/ (1) 0

Aplicamos nuevamente la regla de L’Hospital (3x2 − 3) ' = lim − x→1 ( −1 + x 1 ) '

6x x→ 1 − x −2

= lim

=

6(1) = −6 −(1) −2

Ejemplos Mediante la regla de L’Hôpital determinar el valor de los siguientes límites

3.

lím

𝑥→+∞

5𝑥 2 +3𝑥 6𝑥 2 −7

=

 

Solución: Aplicamos la regla de L’Hopital 10 x + 3 5 x2 + 3 x (5 x2 + 3 x) '  = lim = lim 2 = lim 2 x → x → 6 x − 7 x→ (6 x − 7) ' 12x 

Aplicamos nuevamente la regla de L’Hospital (10x + 3) ' x → (12 x ) '

= lim

10 10 5 = = x→ 12 12 6

= lim

Otras formas indeterminadas Se conocen cinco formas indeterminadas diferentes a las expuestas anteriormente, las cuales son:

∞ − ∞,

0 ⋅ ∞,

00 ,

∞0

𝑦 1∞ .

Mediante manipulaciones algebraicas o uso de logaritmos, es posible transformar estas formas en las formas indeterminadas básicas.

Derivación implícita Procedimiento para diferenciación implícita

Ejemplo Dada la función 𝑥 3 + 𝑦 3 = 3𝑦 + 5 ; calcula 𝑑𝑦/𝑑𝑥 Solución: 1. Derivar a ambos lados de la ecuación: 2. Agrupar los temimos con 𝑑𝑦/𝑑𝑥 3. Factorice 𝑑𝑦/𝑑𝑥 en la parte izquierda:

4. Despeje 𝑑𝑦/𝑑𝑥 𝑦′

−3𝑥 2 = 2 3𝑦 − 3

(𝑥 3 + 𝑦 3 )′ = (3𝑦 + 5)′ 3𝑥 2 + 3𝑦 2 𝑦 ′ = 3𝑦 ′ 3𝑥 2 + 3𝑦 2 𝑦′ = 3𝑦′ 3𝑦 2 𝑦 ′ − 3𝑦 ′ = −3𝑥 2 3𝑦 2 − 3 𝑦 ′ = −3𝑥 2

Regla de derivación implícita

Ejemplo Dada la función 𝑥 3 + 4𝑥𝑦 2 = 𝑦 4 + 25 ; calcula 𝑑𝑦/𝑑𝑥 Solución: 1. Expresar la función implícita en la forma: 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0

𝑥 3 + 4𝑥𝑦 2 − 𝑦 4 − 25 = 0 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 + 4𝑥𝑦 2 − 𝑦 4 − 25 2. Calcular 𝐹𝑥 y 𝐹𝑦 :

𝐹𝑥 = 3𝑥 2 + 4𝑦 2 𝐹𝑦 = 8𝑥𝑦 − 4𝑦 3 3. Reemplazando en la fórmula: 𝐹𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 3𝑥 2 + 4𝑦 2 =− =− 𝑑𝑥 8𝑥𝑦 − 4𝑦 3 𝐹𝑦 𝑥, 𝑦

Recta tangente

Recta normal

Ejemplo Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦5 + 𝑦 + 𝑥 = 0 En el punto (2; −1).

Ejemplo Determinar la ecuación de la recta normal a la curva 𝑥𝑦 = 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦 − 2 En el punto (0; 0).

Conclusiones

Referencias bibliográficas

Biblioteca virtual UPN http://site.ebrary.com/lib/upnortesp/detail.action?docID=10820475...