Derivada Implicita - Anything here. PDF

Preview

Summary

Anything here....

Description

DERIVADA IMPLICITA Sea una función y 3 x 3  4 x  2 donde y es función de x. Esta ecuación se puede escribir como 2 3 x 3  4 x  y e incluso como 6 x 3  8 x  2 y 4 . En este caso se puede decir que y es una función implícita de x ya que está definida mediante una ecuación en donde y, la variable dependiente, no es dada de manera directa. Ejemplo 1. La función 3 f  x   4 x 0 está escrita de manera implícita para x, variable independiente, y f(x), variable dependiente. Escribir la ecuación de manera no implícita. 2

4x 2 f  x  3

Muchas veces, al tener una ecuación escrita de manera implícita, ésta puede representar una o más funciones. Ejemplo 2. y

x

Sea 3  y 6 , escribir la ecuación de manera no implícita y determinar la o las funciones que describe. y 2  3x 6 3y y 2  3 x  18 y y 2  18 y  3 x 0

Para poder despejar y como función de x, habría que resolver la fórmula general.    18     18  2  4 1  3 x  y 2 1 18  324  12 x 18  324  12 x  2 y  2 18 324   12 x   2

Este resultado implica que tenemos dos funciones de x descritas por la misma ecuación. En muchos casos, no es sencillo o práctico el despejar y para encontrar la o las funciones dadas, por lo tanto, y dado que las funciones existan y sean derivables, se puede resolver la derivada sin necesidad de tener la función expresada en su forma clásica. Ejemplo 3.

Sea la función y 3  2xy  7 3 x  1 , hallar la derivada En éste ejemplo, se utilizará la notación y´ 

dy . dx

dy para simplificar el manejo de la dx

ecuación, así como acostumbrar al lector a diferentes formas de escritura. Se busca la derivada de la expresión y 3  2xy  7 3 x  1 . De la regla de la cadena, se df du d f u  x    , lo cual puede expresarse para potencias como dx dx dx d 3 du d n y  y3 ´  3 y 2 y´ . En cuanto al segundo u  x  u n 1 . Por lo tanto, dx dx dx

sabe que

 

término,

éste

cuenta

con

un  2 xy´ y 2 x´ 2 xy´ 2 y  2 xy´ .

producto

de

dos

funciones,

por

tal,

3 y 2 y´  2 y  2 xy´ 3 3 y 2 y´  2 xy´ 3  2 y





y´ 3 y 2  2 x  3  2 y 3 2 y y´  2 3y  2x

Ejemplo 4. Encontrar la derivada de y suponiendo que la ecuación 2 y 2  3  5 x 3  3 x describe una función derivable y que y=f(x). 3

2 y  3  5 x  3 x 3 2 y  3  4 yy´  15 x  3 12 yy´ 2 y  3  15 x  3 2

2

3

2

2

3

2

2

y´

2

15 x 2  3 12 y 2 y 2  3

2...