Funcion Implicita - Ejercicio función implícita PDF

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Ejercicio función implícita...

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Curvas de nivel. Funciones implicitas. Derivacion

1 1.1

Curvas de nivel Definicion. Interpretacion economica

Dada una funcion f (x1 , . . . , xn ) y un numero α llamamos curva de nivel α, al conjunto de todos los puntos del dominio de f que cumplen f (x1 , . . . , xn ) = α. Para las funciones con una interpretacion economica, las curvas de nivel reciben nombres distintos en funcion de dicha interpretacion. Asi, cuando f es una funcion de utilidad, una curva de nivel representa las combinaciones de bienes consumidos que proporcionan al consumidor la misma utilidad, de modo que le es indiferente una combinacin u otra, por lo que se llaman curvas de indiferencia. Si f es una funcion de produccion, una curvas de nivel representan las combinaciones de factores de produccion que permiten producir la misma cantidad de producto, por lo que se llaman isocuantas.

1.2

Curvas de nivel para funciones de dos variables. Ejemplo

Es posible representar graficamente una curva de nivel para una funcion de dos variables. Para ello se puede utilizar cualquier software matematico. Asi por ejemplo si tenemos la funcion f (x, y) = y3 + x2 la curva de nivel α = 5, cuya ecuacion sera y3 + x2 = 5 se muestra en la figura siguiente:

Figure 1:

1

Para la representacion anterior hemos utilizado WolframAlpha.

1.3

Ejemplo

Sea la funcion de produccion P (K, L) = K 1/2 L1/2 Suponemos que estamos utilizando 4 unidades de K y 16 unidades de L. • Escribir la ecuacion de la isocuanta para el nivel de produccion actual. Interpretacion economica Comenzamos calculando P (4, 16) = 8. Por tanto la ecuacion es K 1/2 L1/2 = 8 Su interpretacion economica es la siguiente: la curva de nivel representa las combinaciones de factores de produccion que suministran una produccion de 8 unidades. • Representacion grafica. Utilizando WolframAlpha se obtiene:

Figure 2: • Si aumentamos en tres unidades la utilizacion del factor K , obten cuantas unidades de L habra que utilizar para mantenernos dentro de la curva de nivel. Resuelve el problema analitica y graficamente. Se trata de resolver la ecuacion 71/2 L1/2 = 8 cuya solucion es L = 9.1429 La solucion grafica es: 2

Figure 3:

2

Funciones implicitas en la practica.

Supongamos que tenemos la ecuacion de la curva de nivel f (x1 , . . . , xn ) = α. Si podemos despejar xi en funcion del resto de variables, diremos que la ecuacion de la curva de nivel define a xi como funcion implicita del resto de variables.

2.1

Ejemplo

Consideramos la ecuacion de la curva de nivel P 2 L3 = 3. • Obtener P (L) y L(P ) Tendremos: P 2 = L33 . Tomando raices cuadradas en ambos miembros tenq dremos que P = L33 . q De forma similar se obtiene que L = 3 P32

2.2

Ejemplo

Dada la ecuacion de la curva de nivel x2 y3 z = 10 comprobar que las expresiones de z(x, y), y(x, z) y x(y, z ) son respectivamente 10 x2 y 3 r 10 3 y= x2 z r 10 x= y3 z z=

3

Observacion. Una vez obtenidas las expresiones explicitas de las funciones definidas a partir de las curvas de nivel se pueden realizar calculos de forma sencilla: podemos calcular su dominio, hacer calculos de incrementos parciales y totales, calcular derivadas... Que ocurre si no podemos despejar una variable en funcion de otras?

2.3

Ejemplo

Sea la curva de nivel x1 + yey = 5. Si utilizamos WolframAlpha para obtener la representacion grafica de y en funcion de x tenemos la siguiente representacion, la cual muestra que y es funcion de x:

Figure 4: Evidentemente no podemos obtener y(x) despejando lo cual complica enormemente los calculos. Si queremos calcular el valor de y que se corresponde con x = 1 tendremos que resolver la ecuacion 1 + yey = 5. Debemos usar de nuevo Wolfram Alpha que nos da como solucion numerica y = 1.20217. dy en el punto (1, 1.20217)? Igualmente, como calcular por ejemplo dx En estos casos en que no tenemos la expresion de y(x) se utliza la formula de derivacion implicita cuya demostracion (utilizando la regla de la cadena o derivando directamente en la ecuacion de la curva de nivel) no vamos a realizar.

2.4

Ejemplo de aplicacion de la formula de derivacion implicita

Siguiendo con el ejemplo anterior, llamamos f (x, y) =

4

1 + yey x

. La formula de derivacion implicita es: ∂f dy −1/x2 =− y = − ∂x ∂f dx e + yey ∂y

La expresion anterior tiene sentido cuando el denominador es distinto de cero. Para el caso que nos ocupa al sustituir los valores (1, 1.20217) se obtiene que el valor de la derivada es 0.136475

5...