Funcion a trozos - Ejercicio resuelto PDF

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Ejercicio resuelto...

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Funcion a trozos

1) estudiamos el crecimiento y los extremos de cada una de las 3 subfunciones Vamos a ver su comportamiento en todo el eje x y luego el comportamiento en el intervalo que cada una está definida. Comenzamos: F1 -x^2+6

(-2,2]

-1ra derivada: f´(x)=-2x -Igualamos a 0 y despejamos la x F´(x)=-2x=0 X=0(significa que en este punto hay un extremo, pero aún no sabemos si va a ser un máximo o un mínimo. Lo concretamos a continuación: Pintamos el eje x y colocamos el punto obtenido:

-∞

0

+∞

A continuación, estudiamos el signo de la derivada en los intervalos en los que se haya partido el eje x: f´(x)=-2x

-∞

-En la primera parte del intervalo del al 0, si cojo cualquier nº dentro de ese intervalo eje:(-1) y sustituyo en la primera derivada me quedaría: F`(-1)= -2*-1= 2 , es positivo por lo tanto la función en este intervalo va a ser creciente. -En a la segunda parte del intervalo del 0 al +∞, si cojo cualquier nº dentro de ese intervalo, eje: 1 y sustituyo en la primera derivada me quedaría:

F´(1)=-2*1=-2, es negativo por lo tanto la función en este intervalo va a ser decreciente

F`1>0

f`(1)0 es positivo: -∞

+∞

Ahora lo particularizamos a nuestro intervalo:

X+2

(2,6]

-∞

+∞ 2

6

Por lo tanto del (2 ,6) la función es creciente y no hay extremos. ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………….

F3 (x-4)^3

(6,20]

-1ra derivada: f´(x)=3(exponente)*(x-4)^2(restamos 1 al exponente)*la derivada de x-4 que es 1 f´(x)= 3*(x-4)^2*1 =3(x-4)^2 -Igualamos a 0 y despejamos la x 3(x-4)^2=0 Para que 3(x-4)^2 sea 0 tiene que ser 0 (x-4)^2, porque 3 es una constante nunca va a ser 0, a menos que se multiplique por algo que sea cer0: (x*4)^2=0 Y un numero al cuadrado es 0, si es 0 lo que esta elevado al cuadrado (x*4)^2=0

x-4=0 despejamos y queda X=4

Pinto el eje x

-∞

∞ 4

Ahora estudiamos el signo de la 1ra derivada: F`(x)3(x-4)^2 Esta derivada va a ser siempre positiva porque un numero elevado al cuadrado es positivo y una constante es positiva por lo que + *+ da un positivo, por lo tanto, es creciente. Ahora particularizamos para el intervalo donde esta esta función: (x-4)^3 (6,20] 6

20

Por lo tanto f(x) es creciente del (6 , 20) y no tiene máximos.

Resumiendo: F(x) es creciente (-2,0)U(2,6) U(6,20) F(x) es decreciente (0,2) F(x) tiene un máximo en X=0...