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Ejemplo 2.32 A partir de la función de utilidad hay que calcular las derivadas parciales. Si la derivada de x3 es 3x(3-1) = 3x2= así la de x1/2 será ½ x (½-1) = ½ x (-1/2)

Derivamos la función de utilidad respecto de x1, lo cual no modifica la expresión de x2 ∂U/∂x1 = ½ x1 (-1/2) x2(1/2) = 1/2√x1 * √ x2 Un número elevado a ½ es lo mismo que la raíz cuadrada de ese número. Cuando el exponente es negativo es el inverso de este número, es decir, la unidad dividida por ese número. Por eso x1 (-1/2) es lo mismo que 1/√x1 Derivamos respecto de x2 lo cual no modifica la expresión de x1 ∂U/∂x2 = ½ x2 (-1/2) x1(1/2) = 1/2√x2 * √ x1 La RMS es la utilidad marginal de un bien respecto de la del otro. Las utilidades marginales de cada bien las acabamos de obtener calculando las derivadas parciales. Dividiendo la utilidad marginal de un bien respecto de la del otro: √x2 / 2√x1

÷ √x1 / 2√x2

=

2√x2 √x2 / 2√x1 √x1

=

x2 / x1

Como sabemos que la RMS es igual a la relación entre precios, igualamos la expresión anterior a éstos. p 1 / p 2 = x2 / x1 , mantenemos la proporción multiplicando en cruz, por lo tanto esa expresión se puede reescribir de este modo: p2x2=p1x1 Sustituyendo en la restricción presupuestaria y = p2x2 + p1x1 Como más arriba hemos visto que p2x2=p1x1, podemos reescribir la restricción presupuestaria de este modo: y = p2x2 + p2x2 = 2 p2x2

ó

y = p 1 x1 + p 1 x1 = 2 p 1 x 1

A partir de cualquier de las dos ecuaciones anteriores despejamos x1 y x2 en función de la renta y del precio del propio bien.

Ejemplo 2.33 De manera similar al ejercicio anterior derivamos la función de utilidad respecto de x1, lo cual no modifica la expresión de x2 ∂U/∂x1 = 2x1x22 Derivamos respecto de x1 lo cual no modifica la expresión de x2 ∂U/∂x2 = 2x2x12 La RMS es la utilidad marginal de un bien respecto de la del otro. Las utilidades marginales de cada bien las acabamos de obtener calculando las derivadas parciales. Dividiendo la utilidad marginal de un bien respecto de la del otro: 2x1x22

÷

2x2x12 = x2 / x1

Como sabemos que la RMS es igual a la relación entre precios, igualamos la expresión anterior a éstos. p 1 / p 2 = x2 / x1 , mantenemos la proporción multiplicando en cruz, por lo tanto esa expresión se puede reescribir de este modo: p2x2=p1x1 Sustituyendo en la restricción presupuestaria y = p2x2 + p1x1 Como más arriba hemos visto que p2x2=p1x1, podemos reescribir la restricción presupuestaria de este modo: y = p2x2 + p2x2 = 2 p2x2

ó

y = p 1 x1 + p 1 x1 = 2 p 1 x 1

A partir de cualquier de las dos ecuaciones anteriores despejamos x1 y x2 en función de la renta y del precio del propio bien.

Ejemplo 2.34 La función auxiliar de Lagrange nos permite maximizar funciones sujetas a restricciones. En teoría microeconómica la utilizamos para maximizar la función de utilidad, en este caso U=x1 x 2 sujeta a la restricción presupuestaria de que el individuo gastará toda su renta “y” en consumir la suma de las cantidades de x 1 y x 2 multiplicadas por sus precios correspondientes, o sea y= p1x 1 + p2x 2 Así, modelizamos la decisión del consumidor de este modo: Maximizar la función de utilidad U=x1 x 2 sujeta a la restricción presupuestaria y= p1x 1 + p2x 2 haciendo uso del multiplicador de Lagrange. Maximizar U= x1 x 2 sujeto a: l (y - p1x 1 - p2x 2)  ya que la renta total “y” menos lo que paga y consume de x1 y de x2 será igual a 0 En la función de utilidad la derivada respecto de x1 es: 1 * x2. En el multiplicador de Lagrange, al derivar respecto de x1 sólo está afectado el sumando “p1x1” no el resto de sumandos, siendo la derivada de x2 y de “y” 0 al derivar respecto de x1. De manera similar ocurre para x2 llegando a estas expresiones: ∂S/∂x1= x2 - l p1 ∂S/∂x2= x1 - l p2 ∂S/∂xl=y - p1x 1 - p2x 2

Igualando las derivadas parciales a 0 y despejando obtenemos la siguiente expresión de X 1:

x1 = l p2 de donde l

=

x1 / p2

Sustituida en la primera ecuación de primera orden:

x2 – (x1 / p2) p1 = 0  x2 = (x1 / p2) p1  p2x2=p1x1 Como hemos visto que p2x2=p1x1, podemos reescribir la restricción presupuestaria de este modo: y = p2x2 + p2x2 = 2 p2x2

ó

Así: y - 2 p1x1 = 0  x1= y/2 p1

y = p 1 x1 + p 1 x1 = 2 p 1 x 1

Ejemplo 2.35 Hay que maximizar la función de utilidad del individuo sujeto a la restricción presupuestaria a la que se enfrenta que es gastar toda su renta “y” entre las cantidades que consuma de x1 y x2 multiplicadas por sus respectivos precios. maximizar U: ¼ x1x2 sujeto a: y= p1x 1 + p2x 2 Derivando respecto de x1 obtenemos la utilidad marginal del bien 1: U1. ∂U/∂x1 = ¼ * 1 * x2 (al ser la derivada de x1 respecto de x1 = 1) Derivando respecto de x1 obtenemos la utilidad marginal del bien 2: U2. ∂U/∂x2 = ¼ * x1 * 1 (al ser la derivada de x2 respecto de x2 = 1) Como en ejercicios anteriores sabemos que la RMS de un bien respecto al otro es el cociente entre las utilidades marginales. También sabemos que la RMS es igual al ratio entre precios, por eso: U 1 / U 2 = ¼ x2 / ¼ x 1 = p 1 / p 2 Manteniendo la proporción y multiplicando en cruz llegamos a las expresiones: ¼ x2 / p1 = ¼ x1 / p2 Reordenando llegamos a la siguiente expresión: x2 / p1 = ¼ x1 / p2

÷¼

 x2 / p1 = 4 x1/ 4p2  p2x2 = p1x1

 que nos permite reescribir la restricción presupuestaria de este modo: y = p2x2 + p2x2 = 2 p2x2

ó

y = p 1 x1 + p 1 x1 = 2 p 1 x 1

y así despejar las funciones de demanda: x1= y/2 p1

ó

x2= y/2 p2

Ejemplo 2.37 Como en ocasiones anteriores hay que maximizar la función de utilidad para obtener las utilidades marginales U1 y U2. El cociente de ellas, que como ya sabemos corresponde a la RMS, es lo que igualaremos al cociente de los precios (p1/p2) por ser la condición de equilibrio. U=(x1-4)(x2-1) La derivada de x1 respecto de x1 es 1 multiplicado por x2 que permanece como constante ∂U/∂x1 = 1 * (x2-1) = utilidad marginal del bien 1 = U1 La derivada de x2 respecto de x2 es 1 multiplicado por x1 que permanece como constante ∂U/∂x2 = 1 * (x1-4) = utilidad marginal del bien 2 = U2 El ratio U1 / U2 es la RMS y si lo igualamos al cociente de los precios (p1/p2): (x2-1) / (x1-4) = 15 / 1  (x2-1) = 15x1 – 60 Tenemos una ecuación con dos incógnitas, necesitamos otra ecuación que refleje la relación entre las dos incógnitas para obtener un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y poder resolverlo. Esa segunda ecuación la obtenemos a partir de la restricción presupuestaria: y = p1x 1 + p2x 2 , que con los datos del problema queda así: 15x1 + 1x2 = 121 Nuestro sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas es éste: (x2-1) = 15x1 – 60 15x1 + 1x2 = 121 Ahora sí podemos obtener los valores de x1 y x2 121 - 15x1 – 1 = 15 x1 – 60  x1 = 6 y

x2 = 31

Ejemplo 2.41 En primer lugar hay que conocer la regla de derivación del logaritmo natural, que básicamente es:

De modo que, por ejemplo la derivada de g(x) = ln x2 será

En este ejercicio nos piden el diferencial de la función de utilidad respecto de la renta (∂u/∂y), de nuevo hacemos uso del planteamiento de la función auxiliar de Lagrange ya explicado con anterioridad. Para ello, planteamos la función de soporte “S” que consiste en plantear el modelo de maximización con el multiplicador de Lagrange. S= 2 log x1 + 4 log x2 – l(p1x 1 + p2x 2 – y) Calculando la condición de primer orden respecto de x1 ∂S/∂x1 = 2/ x1 - lp1

la derivada de x2 respecto de x1 es 0

∂S/∂x2 = 4/ x2 – lp2

la derivada de x1 respecto de x2 es 0

∂S/∂xl = p1x 1 + p2x 2 – y

ya que l multiplica todos los sumandos del paréntesis

Despejando l de las dos primeras ecuaciones e igualándolas entre ellas:

l = 2 / p1x 1 = 4/ p2x 2 Multiplicando la igualdad en cruz manteniendo la proporcionalidad...