Continuidad y Derivada. Problemas. PDF

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Ejercicios resueltos de Continuidad y Derivada....

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Universidad Nacional de Asunción

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia

Cálculo Diferencial e Integral Unidad IV: Continuidad y Derivada A. Estudia la continuidad de las siguientes funciones y si es discontinúa que tipo presenta y en qué punto. 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑣𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝐷(𝑓) = 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 2) 𝑓(𝑥) =

𝑥−3

𝑥 2 +𝑥−12

𝑥 2 + 𝑥 − 12 ≠ 0 (𝑥 + 4)(𝑥 − 3) ≠ 0 𝑥+4≠ 0 𝑦 𝑥−3≠ 0 𝑥 ≠ −4 𝑦 𝑥≠3 Probamos para 𝑥 = −4 𝑓(−4) = lim

−4−3 (−4)2 +(−4)−12

𝑥−3

𝑥→ −4 𝑥 2 +𝑥−12

=

−7 0

=

= ∞

−7 0

= ∞

No existe límite

𝒇(𝒙) 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒎𝒖𝒂 𝒏𝒐 𝒆𝒗𝒊𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 = −𝟒

Probamos para 𝑥 = 3 𝑓(3) =

3−3 32 +3 −12

𝑥−3 lim 2 𝑥→ 3 𝑥 +𝑥−12

=

𝑥−3 (𝑥+4)(𝑥−3) 𝑥→ 3

lim

0

0

=

0 0

= lim

1

𝑥→3 𝑥+4

=

1 3+4

1

=7

𝒇(𝒙) 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒎𝒖𝒂 𝒆𝒗𝒊𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 = 𝟑, 𝒓𝒆𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒇 (𝒙)

{

𝟏

𝟕 𝑥−3

𝑥 2 +𝑥−12

𝒔𝒊 𝒙 = 𝟑 𝒔𝒊 𝒙 ≠ 𝟑

1

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B. Determina la derivada de las siguientes funciones utilizando la regla de los 4 pasos a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 Paso 1)

𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 + (𝑥 + ℎ)

Paso 2)

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑥 + ℎ − 𝑥 2 − 𝑥

Paso 3)

𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑥 2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑥 + ℎ

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 2ℎ𝑥 + ℎ2 + ℎ = ℎ(2𝑥 + ℎ + 1)

𝑓(𝑥+ℎ )−𝑓(𝑥) ℎ

Paso 4) lim ℎ→0

=

ℎ(2𝑥+ℎ+1)

𝑓(𝑥+ℎ )−𝑓(𝑥) ℎ

ℎ

= 2𝑥 + ℎ + 1

= lim (2𝑥 + ℎ + 1) = 2𝑥 + 0 + 1 = 2𝑥 + 1 ℎ→0

Entonces si 𝑓(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙; su derivada es 𝒇′ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 b) 𝑓(𝑥) = Paso 1)

Paso 2)

2

√𝑥

𝑓(𝑥 + ℎ) =

2

√𝑥+ℎ

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 2(√𝑥−√𝑥+ℎ) √𝑥 √𝑥+ℎ

2(𝑥−𝑥−ℎ)

×

√𝑥+√𝑥+ℎ √𝑥+√𝑥+ℎ

√𝑥 √𝑥+ℎ(√𝑥+√𝑥+ℎ)

Paso 3)

𝑓(𝑥+ℎ )−𝑓(𝑥)

Paso 4) lim

ℎ→0

ℎ

=

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

Entonces si 𝒇(𝒙) =

𝟐 √𝒙

2 √𝑥+ℎ

=

−

=

=

2√𝑥 −2√𝑥+ℎ 2

√𝑥√𝑥+ℎ

ℎ

2

2(√𝑥) −(√𝑥+ℎ)

=

√𝑥 √𝑥+ℎ(√𝑥+√𝑥+ℎ)

−2ℎ √𝑥 √𝑥+ℎ(√𝑥+√𝑥+ℎ)

−2ℎ √𝑥 √𝑥+ℎ(√𝑥+√𝑥+ℎ)

= lim

2

√𝑥

=

−2

−2

=

√𝑥 √𝑥+ℎ(√𝑥+√𝑥+ℎ)

ℎ→0 √𝑥 √𝑥+ℎ(√𝑥+√𝑥+ℎ)

=

2(√𝑥−√𝑥+ℎ ) √𝑥 √𝑥+ℎ

=

2[𝑥−(𝑥+ℎ)]

√𝑥 √𝑥+ℎ(√𝑥+√𝑥+ℎ)

−2

√𝑥 √𝑥+0(√𝑥+√𝑥+0)

=

−2 𝑥.2√𝑥

=

=

−1 𝑥√𝑥

; su derivada es 𝒇′ (𝒙) = 𝑥

−1 √𝑥

2

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