Esquema Continuidad y Derivabilidad PDF

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apuntes de continuidad y derivabilidad...

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SECCIÓN 1

Estudio de la Continuidad y Derivabilidad de Funciones Para estudiar los intervalos de continuidad y derivabilidad de una función, hemos de tener en cuenta los siguientes hechos: 1. Una función no es continua donde no esté definida. Por tanto, si existen valores reales para los que la función no pueda definirse, se descartarán para determinar el conjunto de números reales donde sea continua. 2. Si una función no es continua en un punto, tampoco puede ser derivable en dicho punto. 3. Recordemos que una función f es continua en un punto x = a si se verifican las siguientes cosas: (a) a

2 Dom f

( ):

(b) Existe limx!a f (x); y coincide con el valor de la función en x = a; Resumidamente, f es continua en x = a

, lim ! fx x

a

( )=

f (a )

:

4. Que una función sea derivable en x = a significa en particular que las derivadas laterales en el punto existen y son iguales. El cálculo de las derivadas laterales no es habitual realizarlo, por ser una cuestión a menudo algo tediosa. En la práctica, para saber si una función es derivable en un punto, donde sea necesario obtener las derivadas laterales en él, se usará el siguiente hecho, que no demostramos:

2

Teorema 1. Sea f una función real de variable real, y sea a D: Supongamos que f es continua en x = a y derivable en un entorno reducido del punto x = a (es decir, en el conjunto (a ε ; a) (a; a + ε ) = (a ε ; a + ε ) a ; para algún ε > 0). Si además se verifica que:



nf g



[

lim f 0 (x) = lim+ f 0 (x);

!a

!a

(1)

x

x

entonces f es derivable en x = a: 5. Hemos de tener presente, teniendo en cuenta el teorema anterior, que si se satisface la condición lim f 0 (x) = lim+ f 0 (x);

!a

!a

x

x

de ello no se deduce necesariamente que la función sea derivable en dicho punto. Podría no ser continua en ese punto. Esto es lo que le sucede por ejemplo a la función:



f (x ) =

x2 si x 6 0 1 si x > 0

:

La función anterior no es continua en x = 0; por lo que tampoco puede ser derivable en ese punto. Sin embargo, para el resto de los números reales, su función derivada existe y es: f 0 (x ) = Obsérvese sin embargo que limx!0 f 0 (x) cumpliéndose la condición (1).

=



2x si x < 0 0 si x > 0

limx!0 2x

1

=

:

0; y que limx!0+ f 0 (x)

=

limx!0+ 0

=

0;

6. Es muy importante tener presente que las fórmulas: f 0 (a+ ) = lim+ f 0 (x);

f 0 (a ) = lim f 0 (x);

!a

!a

x

x

SON GENERALMENTE FALSAS. 7. En las funciones definidas a trozos, el estudio de la continuidad y derivabilidad se realizará siguiendo los siguientes pasos: (a) Se determinará en primer lugar el dominio de la función. Si hay algún número real para el que no esté definida, automáticamente la función no es continua ni derivable en dicho punto. (b) Después se estudiará la continuidad y derivabilidad de la función, analizando cómo son las funciones que la determinan en cada intervalo. Recordemos que las funciones racionales (enteras polinómicas- y fraccionarias) son continuas y derivables donde estén definidas. Lo mismo decimos de las funciones exponenciales y logarítmicas. Las funciones irracionales pueden no ser derivables en algunos puntos aislados en donde sí son continuas. Estos puntos pueden determinarse a partir de la función derivada. (c) Se estudiará seguidamente la continuidad en los puntos donde existen cambios de definición de la función. Si la función está definida en ellos, se procederá a estudiar los límites laterales en dichos puntos para ver si coinciden, y son iguales a los valores de la función en dichos puntos, lo que significará que habrá continuidad. Si no coinciden estos límites, no habrá continuidad y tampoco derivabilidad. (d) Si en los puntos donde hay cambios de definición hay continuidad, se procederá seguidamente a estudiar la derivabilidad en dichos puntos, usando el criterio del Teorema 1..

Casos prácticos Ejemplo 1. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por:

8 x 4 2 f (x ) = >: 2x 2

si x < 0 si x > 0

6

4 tiene sentido para cada x = 2, pero como Solución. La función f está definida en todo R: la expresión x 2 f se define mediante esta expresión para x < 0, no existe valor negativo que anule al denominador. La otra expresión, 22x , siempre tiene sentido para cualquier valor de x. Que f es continua y derivable en todo R salvo quizás en x = 0 es evidente, pues para los números reales no nulos la función está definida mediante una función racional fraccionaria y una función exponencial, que son siempre continuas y derivables donde están definidas. Queda saber, pues, qué sucede cuando x = 0: Estudiamos en primer lugar la continuidad en este punto. Observemos que f (0) = 220 = 4: Por otra parte,



8 4 4 > > = lim f (x) = lim = 2 >  x!0 x  2 x ! 0  2 < x 0 lim f (x) ! > x!0 > 2 x 2 0 > !0 2 = 2 = 4 : xlim !0 f (x) = xlim <

:

+

x>0

6

Como lim  f (x) = lim+ f (x), deducimos que no existe el límite de f en x = 0; por lo que f no es continua en x!0 x!0 este punto, existiendo una discontinuidad no evitable en x = 0, de salto finito. En consecuencia, tampoco es derivable en x = 0: Resumidamente, f es continua y derivable en R = R 0 :

f g

2

> x

para que la función sea continua y derivable.

si x 6 2 :

Obtenga los valores de a y b

si x > 2

Solución. Destaquemos en primer lugar que Dom( f ) = R; por estar definida por funciones racionales bien 60 definidas en los intervalos sobre los que se determinan (el denominador de la función y = no se anula para x x > 2). Por este motivo, la función f es continua y derivable en todo su dominio (independientemente del valor que tomen los parámetros a y b), salvo quizás en x = 2; por existir en este punto un cambio de definición de la función. Vamos a imponer que f sea continua y derivable, por este orden, en el punto reseñado.





f es continua en x = 2: En tal caso f (2) = a 6b; debe coincidir con el valor de limx!2 f (x); y este límite existirá si y solo sí existen los límites laterales en x = 2 y son iguales:

  9 f (x) = lim bx2  bx + a = a  6b = < 0 f (x ) = >:  60 2

R f2g

;

con función

si x < 2

si x > 2 x Impongamos que f sea derivable en x = 2: En particular, f será continua en este punto, dándose la condición obtenida en el paso anterior. Además deberemos exigir que lim f 0 (x) = lim f 0 (x) (véase el Teorema 1.):

!2

! 2

9 lim f 0 (x) = lim (2bx  b) = 5b > = x!2 x!2  60  lim f 0 (x) = lim  2 = 15 > ; ) 5b = 15 , x x!2 x!2

x

x

+

+

b=3

+

Con la condición obtenida ahora, se deduce también que a = 30 + 6b función f (x) se expresa como:

8 3x2  3x + 48 > < f (x ) = 60 > : x

si x 6 2 :

si x > 2

La función f ; es derivable en todo su dominio, y su función derivada es:

8 > 6x  3 < f 0 (x ) = >:  60 2 x

3

,a

si x 6 2 :

si x > 2

= 48

:

Para a = 48 y b = 3; la...