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UNIDAD III: NOCIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

Cálculo de Límites de manera gráfica y numérica. Entorno de un punto. Entorno con valor absoluto. Enfoque Analítico de Límites Limite según Cauchy para funciones de una variable real. Interpretación geométrica de límite. Propiedades de Límites Teoremas de Límites Introducción Las dos grandes áreas del cálculo, denominadas cálculo diferencial y cálculo integral, se basan en el concepto fundamental de límite. En esta unidad, el enfoque que haremos a este importante concepto será intuitivo y de manera formal. Límite de una función: enfoque informal Consideremos la función cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales excepto - 4. Aunque no es posible evaluar f en - 4 porque al sustituir - 4 por x se obtiene la cantidad indefinida 0/0, f(x) puede calcularse en cualquier número x que esté muy próximo a - 4.

Las dos tablas muestran que cuando x tiende a -4 por la izquierda o por la derecha, parece que los valores de la función f(x) tienden a 8; en otras palabras, cuando x está próxima a 4, f(x) está cerca de 8. Para interpretar de manera gráfica la información numérica, observe que para todo número, la función f puede simplificarse por cancelación:

Ahora de manera gráfica tenemos La gráfica de f es esencialmente la gráfica de y = 4-x, con la excepción de que la gráfica de f tiene un hueco en el punto que corresponde a -4. Para x suficientemente cerca de 4, representado por las dos puntas de flecha sobre el eje x, las dos puntas de flecha sobre el eje y, que representan los valores de la función f(x), simultáneamente se aproximan cada vez más al número 8. Se dice que 8 es el límite de f(x) cuando x tiende a 4.

Definición informal de Límite Suponga que L denota un número finito. El concepto de f(x) que tiende a L a medida que x tiende a un número a puede definirse informalmente de la siguiente manera. Si f(x) puede hacerse arbitrariamente próximo al número L al tomar x suficientemente cerca de a, pero diferente de un número a, por la izquierda y por la derecha de a, entonces el límite de f(x) cuando x tiende a a es L. La notación es lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎

1

UNIDAD III: NOCIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

Definición formal de Límite Suponga que una función f está definida en todas partes sobre un intervalo abierto, excepto quizás en un número a en el intervalo. Entonces lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎

Significa que para todo  > 0, existe un  > 0, tal que f(x) - L <  siempre que 0 < x - a <  Interpretación geométrica Sea lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 y suponga que  > 0 es el número que “funciona” en el sentido de la 𝑥→𝑎

definición formal de límite para un  > 0 dado. Como se muestra en la figura a), toda x en (a - , a + ) con la posible excepción de a mismo, tendrá entonces una imagen f(x) en (L - , L + ). Además, en la figura b), una elección 1 <  para la misma  también “funciona” en el sentido de que toda x diferente de a en (a - 1, a + 1) proporciona f(x) en (L-, L+). No obstante, la figura c) muestra que al escoger un 1, 0 < 1 <  más pequeño, demanda encontrar un nuevo valor de . Observe en la figura c) que x está en (a - , a + ) pero no en (a - 1, a + 1) de modo que f(x) no necesariamente está en (L - 1, L + 1)

Figura a)

Figura b)

Figura c)

Ejemplo Demuestre que lim (5𝑥 + 2) = 17 𝑥→3

Solución Para cualquier  > 0, arbitrario sin importar cuan pequeño sea, se quiere encontrar un  > 0 de modo que (5x + 2) – 17 <  siempre que 0 < x - 3 <  Para hacer lo anterior hacemos (5x + 2) – 17 = 5x – 15 = 5x - 3. Así 5x - 3 < , sólo es necesario hacer 0 < x - 3 < /5, es decir se escoge  = /5. Teoremas sobre límites 1. Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces lim (mx  b)  ma  b x a

2.

Si c es una constante, entonces para cualquier número a limc  c

3.

lim x a

x a

xa

2

UNIDAD III: NOCIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

4.

Si lim f ( x )  L y lim g(x )  M , entonces lim  f ( x)  g ( x)  L  M

5.

Si limf1 (x )  L1 , limf 2 (x )  L 2 , . . . y limfn ( x)  Ln ,

x a

x a

x a

x a



x a



x a

entonces lim f 1( x )  limf 2 ( x ) . . .  limf n ( x )  L 1  L 2  . . .  L n x a

x a

x a

6.

Si lim f ( x )  L y lim g(x )  M , entonces lim  f (x ) . g (x )  L. M

7.

Si limf1 ( x )  L1 , limf2 ( x ) L2 , . . . y limfn ( x) Ln ,

x a

x a

x a

x a



x a

x a



entonces lim f 1 (x )  lim f 2 (x )  ... lim f n (x )  L 1  L 2  .. . Ln x a

x a

x a

8.

Si lim f ( x )  L y n es cualquier entero positivo, entonces lim f ( x)   Ln

9.

f (x ) L  , si M  0 Si lim f ( x )  L y lim g(x )  M , entonces lim x a g ( x ) x a x a M

10.

Si lim f (x )  L y n es cualquier entero positivo, entonces limn f ( x )  n L ,

n

x a

x a

x a

x a

con la restricción de que si n es par. L > 0.

1 1  x a

11.

Si a es cualquier número real distinto de cero, entonces lim

12.

Si a > 0 y n es un entero positivo, o si a  0 y n es un número entero impar,

x a

entonces lim n x  n a x a

Ejemplos: Calcular los siguientes límites usando los teoremas. 1. lim(3x  5)  3.2  5  11 x 2

2. lim7  7 x 5

3. Si f(x) = x y g(x) = 2x + 1, calcular: a) limf ( x )  g( x ) b) limf (x )  g( x ) x 4

x 4

f (x) c) limf ( x )  g( x ) y d) lim x 4 g ( x ) x 4 limx  4 y lim(2x 1) 9 , entonces: x 4

x 4

a) lim f ( x)  g (x )  lim x  lim(2x 1)  4 9 13 x 4

x 4

x 4

x 4

x 4

x 4

x 4

x 4

b) lim f ( x)  g( x )  lim x  lim(2x 1)  4  9  5 c) lim f (x )  g (x )  lim x lim(2x 1)  4.9  36 x 4

f (x ) x 4  lim  d) lim x 4 g ( x ) x 4 2 x  1 9 3 x x 4 4   3 lim 3 x 4  7 x  1 x 4  7 x  1 27 3 2 2 5. lim( x  7 x  5)  lim x  lim 7.lim x  lim5  9  7.3  5  25

4. lim3 x 3

  x 3

x 3

x 3

x 3

3

UNIDAD III: NOCIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

6. lim x 2

x 3  2x  3  x25

lim x 2

x 3  2x  3  x2 5

lim x 3  2 x  3 x 2

lim x  5 2



x 2

lim x3  lim 2 lim x  lim 3

x 2

x 2 2

x 2

x 2

lim x  lim 5 x 2



x 2

2  2.2  3 15  2 2 5 3 2

1 𝑥→0 𝑥

Cuando calculamos límites podemos encontrar que el límite no existe por ejemplo lim

, no

existe En el cálculo de ciertos límites nos encontraremos que al aplicar los teoremas sobre límites y evaluar el límite nos resultarán

0 , a esta expresión le llamaremos Forma Indeterminada, 0

veamos los siguientes ejemplos. Calcular los siguientes límites

x 2  25 x 5 x  5

1) lim

Solución

x 2  25 0  , x 5 x  5 0

Si aplicamos los teoremas sobre límites y lo evaluamos obtenemos que lim

lo que se conoce como una forma indeterminada, para solucionar este problema factorizamos el numerador obteniendo la siguiente expresión:

x 2  25 ( x  5)(x  5)  lim( x  5)  10  lim x 5 x 5 x 5 x  5 x5

lim

y3  8 , y 2 y  2 Solución Factorizando el numerador obtenemos: (y  2)(y 2  2y  4) y3  8 0 lim  lim ( y2  2 y  4)  12   lim y 2 y  2 y  2 ( y  2) 0 y 2

2) lim

x2  2 , x Solución

3) lim

x0

lim x 0

x 2  x

2



0 0

Ahora racionalizamos el numerador:

( x  2  2) ( x  2  2) x 1 1   lim  lim x 0 x ( x  2  2) x 0 x( x  2  2) x 0 ( x  2  2) 2 2

lim 4)

Solución De nuevo, el límite tiene la forma indeterminada 0/0. Después de factorizar el denominador y cancelar los factores, por la manipulación algebraica 4

UNIDAD III: NOCIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

Observamos que el límite no existe. 5) Solución Al evaluar el límite obtenemos dos límites que no existen 1/0 – 6/0, que es otra forma indeterminada la cual se resuelve mediante manipulaciones algebraicas.

1 6 ] − 𝑥→2 𝑥 − 2 (𝑥 + 4)(𝑥 − 2) (𝑥 + 4) − 6(𝑥 − 2) = lim [ ] 𝑥→2 (𝑥 + 4)(𝑥 − 2) −5𝑥 + 10 = lim [ ] 𝑥→2 (𝑥 + 4)(𝑥 − 2)

= lim [

= lim [ 𝑥→2

−5(𝑥 − 2) ] (𝑥 + 4)(𝑥 − 2)

= lim[ 𝑥→2

−5 5 ]=− (𝑥 + 4) 6

Limites Laterales Para el cálculo del límite de una función hemos considerado valores de x cercanos a a, tanto mayores como menores, esto es, valores de x en un intervalo abierto que contenga a a, el cual no se considera como posible valor de x. Supongamos que tenemos f ( x)  x  4 , como f(x) no existe si x < 4, entonces f no está definida en cualquier intervalo abierto que contenga a 4, de modo que

lim x  4 no tiene significado. Pero si nos x 4

acercamos por la derecha o sea valores mayores que 4, el límite estará cerca de 0, en tal caso se considera el límite por la derecha o limite lateral derecho. Definición: Límite Lateral Derecho Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto(a, c). Entonces el límite de f(x) conforme x tiende a a por la derecha es L, lo que se denota por: lim f ( x ) = L, si para x a

cualquier  > 0, sin importar que tan pequeña sea, existe un  > 0, tal que: f(x) – L <  siempre que 0 < x – a <  Definición: Límite Lateral Izquierdo Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto(a, c). Entonces el límite de f(x) conforme x tiende a a por la izquierda es L, lo que se denota por: lim f ( x ) = L, si para x a

cualquier  > 0, sin importar que tan pequeña sea, existe un  > 0, tal que: f(x) – L <  siempre que 0 < x – a < 

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UNIDAD III: NOCIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

Teorema El lim f ( x) existe y es igual a L si y solo si lim f ( x) y lim f (x) existen y son iguales a L. x a

xa

x a

Ejemplos:

2x

1) Sea f ( x )  

si 0  x  10

1.8 x si x 10

, calcular lim f ( x ) . x10

Solución La grafica de la función es: Calculando obtenemos:

20

los

límites

lim2x  20 Puesto

que

lim1.8 x  18

y

x 10

18

laterales

x10

lim f ( x )  lim f ( x ) , se x 10



x 10



concluye que el lim f ( x ) no existe x10

0

10

2  si x  1 4  x , calcular lim h( x ) . 2 x 1  x si x 2 1   

2) Sea h( x)  

La grafica de la función es:

Calculando obtenemos:

los

límites

laterales

lim h( x )  lim (4  x 2 )  3 y

x 1

x 1

lim h( x )  lim (2  x 2 )  3

x 1

x 1

Puesto que

lim h( x ) lim h ( x ) , se x 1

x 1 

concluye que el lim h (x )  3 x 1

existe

6

UNIDAD III: NOCIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

Clase practica 1. Utilizando la definición de límite demuestre que el límite es el número indicado. i) lim (2x 1)  9 ii) lim(7  3x)  2 iii) lim (2x  7)   1 x 4

x 4

x 3

2. Determine el límite, indicando los teoremas utilizados. b) lim( 2 x 2  4 x  5) a) lim(3x  7) x 5

d) lim x 2

h) lim r 1

x 3

3x  4 8x  1

8r  1 r 3

e) lim t 2

x 2

x  2 x  24 x 4 x 4 ( x  h) 3  x 3 n) lim h 0 h

f) lim

x  1

x 2  3x  4 x 3 1

i) lim

x 4

x  7x  6 x  1 x 2  4x  5 16  x o) lim x 4 x  4

x 2  3x  4 2x 2  x  1

x 2  2x  1 x 2 x2  4 1  x 1 p) lim x 0 x m) lim

l ) lim

r)

t)

2x  1 x  3x  4 2

j) lim 3

2

k) lim

w)

y 1

2

2

q)

t 5 2t 3  6

c) lim ( y 3  2y 2  3y  4)

s)

u)

v)

x)

3) Calcular los siguientes límites a) b) c)

d)

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UNIDAD III: NOCIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

 3 si x  1  e) f ( x)   1 si x  1  3 si x  1 

 2 x  1 si x  3 f ) f ( x)   10  x si x  3

lim f (x )

lim f (x )

x1

x3

x 2  4 si x  2  h ) f (x )  4 si x  2 4 2   x si x  2 lim f ( x)

2 x  3 si x  1  g) f ( x)  2 si x 1 7  2 x si x  1  lim f ( x) x 1

x2

CONTINUDAD DE FUNCIONES - Continuidad en un Punto - Continuidad en un Intervalo Continuidad de una función se refiere a una curva sin rupturas, saltos o huecos. En efecto, una función continua a menudo se describe como una cuya gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz del papel. Definición: Se dice que f es continua en un número a si y solo si se cumplen las 3 condiciones siguientes: i) f(a) existe ii) lim f ( x) existe xa

iii)

lim f ( x)  f ( a) x a

Si falla alguna de ellas f es discontinua. Existen dos tipos de discontinuidad i) Si falla la condición 1 la discontinuidad es esencial ii) Si falla la condición 3 la discontinuidad es removible o eliminable Analicemos las siguientes gráficas. Figura (1) Figura(2) Figura (3) y

y

y

f f(a) a lim f ( x) no existe xa

x

a lim f ( x) existe xa

pero lim f ( x)  f ( a) x a

8

x

x

a lim f ( x)= f(a) xa

UNIDAD III: NOCIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

En la figura (1) tenemos una discontinuidad esencial, no podemos redefinir f(a), en la figura (2) tenemos una discontinuidad removible ya que podemos, ya que podemos redefinir f(a) y en la figura (3) la función es continua o sea no presenta saltos. En general supongamos f es discontinua en a para el cual lim f ( x)existe si xa

f (a)  lim f ( x) o sea f(a) no existe tenemos una discontinuidad eliminable, pues f(a) se xa

puede redefinir de tal forma que f (a)  lim f ( x) , entonces f es continua en a. xa

Ejemplos: 1. Determine si cada una de las siguientes funciones es continua en 1.

Solución a) f es discontinua en 1 puesto que al sustituir x = 1 en la función se obtiene 0/0. Se afirma que f (1) no está definida, de modo que se viola la primera condición de continuidad. b) Debido a que g está definida en x = 1, es decir, g(1) = 2, a continuación se determina si lim 𝑔(𝑥) existe. 𝑥→1

Concluimos que lim 𝑔(𝑥) existe y es igual a 3. Puesto que este valor no es el mismo que 𝑥→1

g(1) = 2, se viola la tercera condición. La función g es discontinua en 1. En este caso es una discontinuidad removible ya que podemos redefinir g(1) = 3 y g es continua.

c) Primero, h(1) está definida; en este caso, h(1) = 3. Segundo, lim ℎ(𝑥) = 3 del inciso b). 𝑥→1

Tercero, se tiene que lim ℎ(𝑥) = h(1) = 3. Por tanto, se cumplen las tres condiciones y así 𝑥→1

la función h es continua en 1.

2. Determine si la función es continua en 2.

Solución Primero, observe que f(2) está definida y es igual a 5. Luego,

Las dos primeras condiciones se cumplen, pero la tercera lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(2), por lo que 𝑥→2

tenemos una función discontinua removible en x = 2. Si redefinimos f(2) = 4, la función f es continua. 9

UNIDAD III: NOCIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

si 0  x  10 x 0.7 x  3 si x  10

3. . Sea f ( x )  

Analice la continuidad en x = 10

Grafiquemos 10

10

Verifiquemos si cumple con las 3 condiciones de continuidad i) f(10) = 10 existe ii) lim f (x ) lim x  10 y lim f ( x)  lim (0.7 x  3)  10 , x10

x10

x10

x10

por

lo

tanto

lim f ( x)  10 , existe

x 10

iii)

lim f ( x)  f (10)

x 10

Entonces f es continua en x = 10 Teorema: i)

Toda función polinomial es continua para todo real a.

ii)

Una función racional es continua para todo número real a de su dominio excepto en los puntos donde denominador se hace cero.

iii)

Si f (x )  n x y n es un entero positivo entonces: a. Si n es par f es continua en todo número positivo b. Si n es impar f es continua en todo número real.

iv)

Si la función g es continua en a y la función f es continua en g(a), entonces la función compuesta f o g es continua en a

Teorema: Si f y g son dos funciones que son continuas en un número real a entonces: i)

f + g es continua en a

ii)

f – g es continua en a

iii)

f . g es continua en a

iv)

f/g es continua en a, suponiendo que g(a)  0

10

UNIDAD III: NOCIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO Una función f es continua i) Sobre un intervalo abierto (a, b) si es continua en todo número en el intervalo; y ii) Sobre un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y, además

Ejemplo Demostrar que f ( x)  4  x 2 , es continua en [-2, 2] Solución

lim 4  x 2  0 = f(-2) y lim 4  x 2 = f(2) = 0, Por lo tanto f es continua en [-2, 2]

x  2

x 2

Gráficamente 2

-2

0

2

Clase práctica Determine, si los hay, los números en los que la función dada es discontinua. 1. f(x) = x3 – 4x2 +7

x2 1 4. f ( x )  4 x 1

2. f (x ) 

x x 4

3. f(x) = (x2 – 9x + 18)-1

2

x0 x,  2 5. f ( x)   x , 0  x  2 x, x2 

 x 2  25 , x 5  6. f ( x )   x  5 10, x5 

Determine si las siguientes funciones son discontinuas, si lo son analice el tipo de discontinuidad eliminable o esencial, si la discontinuidad parece ser eliminable redefina f(a) de modo que la discontinuidad sea eliminada. 1. f(x) = x2(x + 3)2

2. f(x) =

x x 3

3. f(x) =

...