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Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas Facultad de Cs.Exactas FMMP 002 - Fundamentos de Matem´ aticas

GUIA LIMITES Y CONTINUIDAD

1. Construyendo una tabla, demuestre el valor de los siguientes l´ımites sin x =1 x x2 − 1 =2 (b) lim x→1 x − 1 1 1 − cos x (c) lim = 2 x→0 x 2 (d) lim 3x + 1 = 7

(a) lim

x→0

x→2

x2 + 1 = −2 x→−1 x

(e) lim

2. Calcular los siguientes l´ımites x2 − 9 . Sol: 56 x→3 x2 − x − 6 √ 4+x−2 lim . Sol: 41 x→0 x √ √ x− a lim . Sol: 2√1 a x→a x−a √ √ x+h− x 1 . Sol: 2√ lim x h h→0 √ 2− x−3 1 lim . Sol:− 56 x→7 x2 − 49 √ 3− 5+x lim √ . Sol:− 13 x→4 1 − 5 − x

(a) lim (b) (c) (d) (e) (f)

3. Analice si los siguientes l´ımites existen, dada la funci´on

(a) lim f (x). Sol:∃ x→−3

(b) lim f (x). Sol:6 ∃ x→−2

(c) lim f (x) . Sol:6 ∃ x→3

 3x2 − 2     x − 1 si x < −2 5x f (x) = si − 2 ≤ x ≤ 3 −   3   x+1 si x > 3

4. Determine si existe lim f (x), donde x→1

√  2− x+3   si x > 1 x−1 f (x) = 2   2x − 3 si x < 1 x2 + 3

Sol: Existe y vale − 14

5. Determine los valores de a y b de modo que los l´ımites lim f (x) y lim f (x) existan, donde f (x) viene x→−2

x→2

dada por

Sol:a = 25 ; b =

  x + 2a si x < −2 f (x) = 3ax + b si − 2 < x < 2  3x − 2b si x > 2

6 5

6. Determine si la siguiente funci´ on es continua en x = 0  x+1    0 √ f (x) =  1 − x   1−x

Sol: Es discontinua.

si x < 0 si x = 0 si x > 0

7. Determine los valores de a y b de modo que la funci´ on  a(x3 − 1)   +b   x+1 2ax − 3 f (x) =    b(x2 + 3x − 10)  x−2

si x < 1 si 1 ≤ x ≤ 2 si x > 2

sea continua en x = 1 y x = 2. Sol: a = 95 ; b = 35 .

8. Determine los valores de b y c, de modo que f (x) =



x+1 si 1 < x < 3 x2 + bx + c si |x − 2| ≥ 1

sea continua en todo los reales. Sol: b = − 27 ; c = 35 . 9. Determine el valor de a ∈ R, de modo que la funci´ on f (x) = sea continua en todo R. Sol: a = 7.



x+1 si x > 2 −x2 + a si x ≤ 2

10. Sean x1 < x2 las ra´ıces de la ecuaci´ on x2 − 2ax + b2 = 0, con a, b ∈ R+ , y a > b. Calcular los siguientes l´ımites √ x2 − x1 . Sol: 8a (a) lim √ b→a a−b ax2 − b2 (b) lim . Sol: -1. b→a ax1 − b2 PROBLEMAS DE SOLEMNES. 11. Calcular √ x2 + 16 − 4 lim x→0 x2 12. Calcular el siguiente l´ımite: √ 7+x−3 lim x→2 x2 − 4 Sol: 18 13. ¿Qu´e valor debe tomar la constante a de modo que la funci´on

sea discontinua en x = 1?

 2 x +x−2    si x 6= 1 x−1 f (x) =    a si x = 1

Sol: a 6= −3 14. Dada la funci´ on:  kx3 + 8k    si x < −2 3x + 6 f (x) =    2 − 3kx si x ≥ −2

Determine el valor de k ∈ R, de modo que la funci´ on sea continua en x = −2. Sol: k = −1 15. Sea  x3 − 8    si x < 2 2−x f (x) = 2a + 4 si x = 2    3bx + 6 si x > 2

Determinar el valor de a y b para que la funci´ on sea continua en x = 2. Sol: a = −8; b = −3.

16. Sea  2x + 3a si x < −3    2 x −9 si − 3 ≤ x < 3 f (x) =    x−3 4bx − 3 si x ≥ 3

Determine el valor de a y b para que f (x) sea continua en x = −6 y x = 3.

Sol: a ∈ R; b = 34 .

17. Calcular los siguientes l´ımites x2 − 4x + 4 1 . . Sol: 16 x→2 (x2 − 4)(4x − 8) √ x+6−2 lim . Sol: 41 . x→−2 x+2 1−x lim √ . Sol: 2. x→1 5 − x2 − 2 x3 + 4x2 + 4x . Sol 0. lim x→−2 x2 − x − 6 x4 − 1 lim 2 . Sol 4. x→1 2x − 3x + 1 √ 1 + x2 − 1 lim . Sol 0. x→0 x

(a) lim (b) (c) (d) (e) (f)

18. Analice la continuidad de la siguiente funci´ on  si x < 1 x f (x) = −x2 + 4x − 2 si 1 ≤ x < 3  4−x si x ≥ 3

Determine adem´ as, en qu´e puntos la gr´ afica de f corta el eje OX .

Sol: La funci´ on es continua en todos los reales y corta al eje OX en x = 0 y x = 4. 19. Dada la funci´ on

g(x) =

  

1−

x−3 p si x 6= 3 1 − (x − 3) a si x = 3

Determinar el valor de a de modo que g(x) sea continua en x = 3. Sol: a = 2. √ √ 2−x− 2 20. (a) Calcular lim x→0 2x (b) Encuentre el valor de c ∈ R, de modo que la funci´ on f (x) = sea continua en todo R



x2 + 2 x+c

x≤0 x>0

21. (a) Calcular el siguiente l´ımite x3 + 3x2 + 2x x→−2 x2 − x − 6 lim

(b) Analizar la continuidad de la siguiente funci´ on en R

f (x) =

          

x2 1 − 2 3

x≤0

2x 2 − 3 3

02

si x < 2 si x ≥ 2

x→2

23. Considere las funciones f (x) = x2 − 2x − 3 y g(x) = x + 1 2f (x) + g(x) x→1 f (x) · g(x) p g(x) − 2 (b) Determine lim x→3 x−3 (c) Analizar la continuidad de la funci´ on

(a) Calcular lim

 f (x)    g(x) h(x) =    8x + 4

x < −1 x ≥ −1...