Límite y continuidad (dos variables) PDF

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LÍMITE DOBLE Introducción: Consideremos una función z  f ( x, y) y un punto ( x0 , y 0 ) que puede o no pertenecer a su dominio. Nos ocuparemos de determinar si cuando x se acerca a x0 y y se acerca a y 0 simultáneamente y variando ambas en forma independiente, los valores de la función se acercan o no a un valor real. Obsérvese que se prescinde totalmente de la existencia o no de la función en el punto ( x0 , y 0 ) , importando solamente que la función esté definida en los puntos próximos al mismo. Antes de formalizar el importantísimo concepto de límite doble, daremos algunas definiciones previas. Distancia entre dos puntos del espacio Sean ( x0 , y0 ) y ( x1, y1) dos puntos del espacio de dos dimensiones  2 , se define la distancia entre ellos al número real no negativo d determinado por:

d  ( x1  x0 ) 2  ( y1  y0 ) 2 Entorno de un punto Dados un punto P0 ( x 0 , y0 ) y un número positivo  , se llama entorno de centro P0 y radio

 , que se nota E (P0 ,  ) , al conjunto de todos los puntos P( x, y) de  2 que se encuentran a una distancia d de P0 menor que el número  . En símbolos: 2 E( P0 , d ) ( x, y)  2 / d    ( x, y)  2 / ( x x0 ) 2  ( y y0 )  





Entorno reducido de un punto Se denomina entorno reducido de un punto P0 y radio no negativo  , que se nota E´(P0 ,  ) , al conjunto formado por todos los puntos del entorno de centro P0 y radio  , excluido en punto P0 . En símbolos: E´(P0 , )  E( P0 , )   P0   ( x, y)   2 / 0  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 )2  





Punto de acumulación El punto P0 ( x0 , y 0 ) es punto de acumulación del dominio de la función z  f ( x, y) si en cualquier entorno reducido suyo hay por lo menos un punto del dominio de la función. En símbolos: P0 es puntode ac. de D f     0 : E ' (P0 , )  D f   Límite doble El número L es el límite de la función f ( x, y) cuando ( x, y) tiende a ( x0 , y 0 ) ,si prefijado cualquier número positivo  existe un número positivo  ,de manera que en todo punto

( x, y) del dominio de la función perteneciente al entorno reducido E' ( P0 ,  ) , la función tome un valor z  f ( x, y) que pertenezca al entorno E( L,  ) . En símbolos: lím f (x ,y )  L    0  0 /(x , y )  E ' (P 0, )  f (x , y )  E (L , ) (x ,y ) (x 0 , y 0 )

Observaciónes:  El punto P0 debe ser de acumulación del dominio para poder calcular los valores de la función en puntos tan próximos a ( x0 , y 0 ) como se quiera.  La expresión f (x, y)  E( L,  ) es equivalente a escribir: f (x , y )  L   Propiedades del límite doble Valen las mismas propiedades que para funciones de una variable. 1. Si existe el lím f ( x, y)  L , éste debe ser único ( unicidad del límite ) ( x, y ) ( x0 , y0 )

1. Si el

lím

( x , y ) ( x 0 , y 0 )

f ( x, y)  L entonces en algún entorno del punto P0 ( x 0 , y0 ) la

función f está acotada. 2. Si lím f (x , y )  L1 y (x ,y ) (x 0 ,y 0 )

a) b) c) 3.

g (x , y )  L2 entonces:

lím

f (x , y )  g (x , y )  L1  L 2

lím

f (x , y ) g (x , y )  L1  L2

lím

f ( x, y) L1  g( x, y) L2

(x ,y ) (x0 ,y0 ) (x ,y ) (x0 ,y0 )

( x, y) ( x0 , y 0 )

lím

(x ,y ) (x 0 y, 0 )

4. Si el

lím

(x ,y ) (x 0 ,y 0 )

f (x , y ) 

lím

( x, y)( x0 y 0 )

si L2  0

lím

(x ,y ) (x 0,y 0)

f (x , y )

f ( x, y)  L entonces en algún entorno reducido del punto

P0 ( x 0 , y0 ) la función conserva el mismo signo que el límite L 5. Si el lím f ( x, y)  L entonces la función puede expresarse como suma de su ( x , y ) ( x 0 , y 0 )

límite más un infinitésimo en el punto, o sea f (x , y )  L  r (x , y ) con lím r (x, y)  0 (x, y) (x 0 ,y 0 )

Límite infinito lím f (x, y)       0,   0 / 0  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2    f ( x, y)   ( x , y ) ( x 0 , y 0 )

Cálculo del límite Es necesario que aclaremos que el la única manera de asegurar la existencia de asegurar que un número real L es el límite de una función en un punto es demostrar que se cumple la definición. El procedimiento no es simple, excepto para funciones definidas por expresiones muy sencillas. En esta obra solo nos abocaremos al cálculo de límites y no

aplicaremos la definición para verificar que el número obtenido sea efectivamente el límite buscado. Regla práctica: Si la función cuyo límite estamos calculando está definida por una sola regla, reemplazamos las variables por las coordenadas del punto en el que estemos calculando el límite. Si el cálculo indicado tiene resultado real, dicho número es el valor del límite buscado. Ejemplo 1

2x  y = ( x, y) ( 1, 3) x 2  y 2 lím

lím

( x , y ) ( 1, 3)

lím

2x  y

x y 2

(x ,y ) ( 1, 3)

2



2( 1)  3  5 5   2 2 4 4 (1)  3

Obsérvese que se ha aplicado la propiedad del límite del cociente. Es posible que al aplicar las reglas del álgebra de limites se presente una indeterminación, en cuyo caso habrá que salvarla utilizando procedimientos algebraicos. Ejemplo 2 x3  y 3  lím ( x, y) (1,1) x  y

lím

( x, y ) (1,1)

( x  y )  (x2  xy  y 2 )  x y

lím

(x , y ) (1,1)

x 2  xy  y 2  12  1 1 12  3

Ejemplo 3

x2  y2  ( x, y ) (1, 1) x 2  2 xy  y 2 lím

( x  y)  ( x  y)  ( x , y ) (1, 1) (x  y )2 lím

xy  (x ,y ) (1, 1) x  y lím

Ejemplo 4 0 sen( y  3) x x  sen( y  3) x  sen( y  3) lím 1  0  lím  lím  lím  2    x y x y x y (x ,y ) ( 0, 3) ( , ) ( 0 , 3 ) ( , ) ( 0 , 3 ) ( , ) ( 0 , 3 ) y 3 ( y  3)  ( y  3) ( y  3) 03 y 9 Para el cálculo de este límite hemos utilizado la siguiente propiedad: sen( f ( x, y)) 1 lím f (x , y )  0  lím   x y x y x y x y ( , ) ( 0, 0 ) ( , ) ( 0, 0) f ( x, y) Ejemplo 5

   (x  y )  sen    0 x y  Obsérvese que:      1 , por lo tanto se trata de una función acotada sen x  y  lím

( x , y ) ( 0, 0)

lím

(x , y ) ( 0, 0)

x  y  0, por lo tanto se trata de un infinitésimo para ( x, y)  (0,0)

Recordando que “el producto de un infinitésimo en un punto por una función acotada es otro infinitésimo en el mismo punto”, queda justificado el límite.

Cuando no sea posible salvar la indeterminación, puede resultar útil calcular el límite haciendo tender ( x, y) al punto considerado, siguiendo caminos particulares. Este procedimiento conduce al concepto de límites sucesivos o reiterados y límites radiales. Límites sucesivos o reiterados Supongamos que para calcular el

lím

(x ,y ) (x 0 ,y 0 )

f (x , y ) , fijamos primeramente la variable y y

hacemos tender x a x0 ; si este límite existe, obviamente dependerá del valor que hayamos fijado de y , es decir que será una función  ( y) . El límite de dicha función para y tendiendo a y0 se denomina límite sucesivo o reiterado. En símbolos:

lím  lím f (x , y )  lím  ( y)  L1   y y 0 Hagamos notar que para que exista L1 debe existir la función  (y )  lím f (x , y )en un y  y 0 x x 0

x x 0

entorno reducido del punto y  y0 sobre la recta de ecuación x  x0 Análogamente, fijando previamente la variable x y haciendo que y tienda a y 0 , si el límite existe para distintos valores de x ,define una función  (x) , cuyo límite para x tendiendo a x 0 es el otro límite reiterado. En símbolos:

lím  lím f (x , y )  lím  ( x)  L2   x x 0 Obsérvese que para que L2 exista, debe existir la función  (x )  lím f (x , y ) en un entorno x x0 y  y 0

y  y0

reducido del punto x  x 0 sobre la recta de ecuación y  y0 Ejemplo 6 Calcular los límites reiterados de la función f (x, y ) 

x 7 y en el origen 2x  14 y

  7 y   7 x  7y  1 L1  lím lím  lím     y 0 x 0 2 x  14 y y 0 14 y 2     14 x7y  x 1  L2  lím lím  lím  x  0 y  0 2 x  14  x 0 2 x 2   Observación importante: si los límites laterales son distintos podemos concluir que el límite doble no existe ya que si una función tiene límite doble en un punto, este debe ser único (unicidad del límite). Podemos relacionar esta situación con lo que ocurre cuando los límites laterales de una función de una variable tienen distinto valor; en dicho caso se concluye que el límite no existe. En símbolos: L1  L2  L En cambio, si los límites reiterados son iguales, no podemos asegurar la existencia del límite doble, ya que en  2 existen infinitos caminos para acercarse al punto en el que se calcula el límite; los límites reiterados son los resultados que se obtienen siguiendo solo dos de los infinitos caminos (nos acercamos al punto siguiendo trayectorias paralelas a los

ejes coordenados). Podría existir algún otro camino según el cual la función tienda a un valor distinto. En este caso no existiría el límite doble. Para funciones de una sola variable, la igualdad de los límites laterales si permite asegurar la existencia del límite, puesto que no hay otra forma de hacer tender x al punto considerado que no sea por la derecha y por la izquierda. Según lo que acabamos de explicar, utilizaremos el cálculo de límites reiterados para probar la no existencia del límite. Ejemplo 7 Calcular los límites reiterados de la función f (x , y )  e concluir sobre la existencia del límite doble?

 L 1  lím lím e y 0 x 0 

x y x y

x y x y

en el origen. ¿Es posible

y  1 1   lím e y  lím e   y 0 y0 e 

x y x   L 2 lím lím e x y   lím e x  lím e  e x 0 x 0 x0 y0   No existe el límite doble de la función dada en el origen ya que los límite reiterados son distintos.

Ejemplo 8

   Calcular los límites reiterados de la función del ejemplo 5, f ( x, y)  ( x  y )  sen   en  x  y el origen         lím y  sen   0 por tratarse del producto de una L1  lím lím ( x  y)  sen y 0 x  0  x  y  y 0  y 

  función acotada sen   1, por un infinitésimo, lím  0 y 0  y        lím x  sen   0 , por tratarse también del producto de L2  lím lím ( x  y)  sen  x 0 y 0 x 0 x  x  y    una función acotada por un infinitésimo. Los límites reiterados son iguales, luego no podríamos concluir sobre la existencia del límite doble. Sin embargo en el ejemplo 5 calculamos el límite doble y sabemos que existe. Si existe el límite doble y los reiterados, necesariamente deben ser iguales. En efecto: L1  L2  L Ejemplo 9 Hallar si existen el límite doble y los límites reiterados de la función  1 f ( x, y)  x  sen  en el origen  y

1   1 x  sen    0 , ya que lím x  0 y sen   1 ( x ,y ) ( 0, 0) ( x , y ) ( 0, 0)  y y   1   1  L1  lím lím x  sen   lím sen   lím x   lím 0  0 y 0 x 0  y  y 0  y  x 0  y 0 

L

lím

   1   1  L2 lím lím x  sen   lím x  lím sen  , este límite no existe ya que no existe el x 0 y 0  y  x 0  y 0  y   1 lím sen   y 0  y Por lo tanto, L  L1  L2 Ejemplo 10 Hallar si existen el límite doble y los límites reiterados de la función      f (x , y )  (x  y )  sen    sen    en el origen  y   x      L  lím ( x  y)   sen   sen    0 (x ,y ) ( 0, 0)  y    x Justificamos el límite anterior diciendo que: lím (x  y )  0  ( x  y) es un infinitésimo en el origen (x , y ) ( 0, 0)

        sen   sen   2  sen    sen   es una función acotada x  x  y y Se trata entonces del producto de un infinitésimo por una función acotada, que como sabemos es otro infinitésimo, y por lo tanto su límite es cero.

                    L1  lím lím (x  y )  sen   sen   lím  y  lím  sen   sen    lím  y  sen   lím sen y 0 x  0 y x y x 0 0 0 0     x   y   y     y   x  x   L1 no existe pues no existe el lím sen  x 0  x                      L2  lím lím( x  y)   sen   sen     lím  x  lím sen   sen    lím  x  sen   lím sen x 0 y 0 x y x y 0 0 0 0 x  x  y  y       y        x      L2 no existe pues no existe el lím sen  y 0  y Concluimos que:  L pero L1  L2

Ejemplo 11

  Hallar si existen el límite doble y los límites reiterados de la función f (x, y )  sen  en  xy  el origen   L  lím sen  , no existe ( x , y )  ( 0, 0 )  xy 

    L1  lím lím sen  , no existe y  0 x 0  xy        L 2  lím lím sen   , no existe x  0 y 0  xy   Basándonos en los ejemplos anteriores podemos resumir las siguientes relaciones entre los límites reiterados y el límite doble que pueden presentarse: L L2 L1 1    2     3     4   5     6  7       8 Cuando los límites reiterados son iguales puede resultar útil considerar los límites radiales para poder negar la existencia del límite doble. Límites radiales Un límite radial es el valor al cual tiende una función f ( x, y) cuando ( x, y) tiende a ( x0 , y 0 ) pero acercándose por una recta que pase por éste. Es decir que x y y no varían en forma independiente, sino que están relacionadas por la ecuación de la recta radial que pasa por ( x0 , y 0 ) . Su cálculo se reduce entonces al de un límite simple, de una variable. En símbolo: Lr  lím f (x , y )  lím f (x, m(x  x 0 )  y 0 ) x (x ,y ) (x 0 ,y 0 ) y y0  m ( x x0 )

x x 0

y  y0  m  ( x  x0 )

y0

x0

Cada una de las rectas radiales tiene una pendiente diferente. Si el valor del límite radial es diferente para cada pendiente, entonces se puede asegurar que el límite doble no existe por cuanto no se cumple la unicidad del límite. Ejemplo 12 Mediante el cálculo de límites reiterados y radiales, investigar si existe el límite doble de la 3xy siguiente función en el origen, f (x, y )  2 x  2y 2 Si calculamos los límites reiterados:  0   3 xy  L1  lím lím 2   0   lím y 0 x 0 x  2 y 2 y 0 2 y 2    

 3 xy  0  L2  lím lím 2 0   xlím x 0 y 0 x  2 y 2  0 x 2      La igualdad de los límites laterales no nos permiten concluir sobre la existencia o no del límite doble. Recurrimos al cálculo de los límites radiales. La ecuación de cualquier recta que pasa por el origen es : y  m  x Por lo tanto los límites radiales son: 3 x  mx 3mx 2 3m 3m  lím  lím    (m) Lr  lím f ( x, mx)  lím 2 2 2 x 0 x  0 x  2m x x  0 (1  2m 2) x 2 x 0 1  2 m2 1  2m 2 Obsérvese que los límites radiales dependen en este caso de la pendiente de la recta, es decir que no se cumple la unicidad del límite. Concluimos que no existe el límite doble. Relaciones entre los distintos límites 1. Si existen el límite doble, los límites iterados y los radiales, todos deben ser iguales entre si. L  L1  L2  Lr 2. Si existen los límites reiterados y los radiales, puede ocurrir que: a) los límites reiterados sean distintos, en cuyo caso no existe el límite doble. L1  L2  L b) sean iguales ambos límites reiterados pero que existan diferentes límites radiales; en este caso no existe el límite doble. L1  L2  Lr  L c) sean iguales ambos límites reiterados e iguales a los radiales; en este caso no podemos concluir sobre la existencia o no del límite doble y habría que

calcular límites acercándose al punto considerado por otros curvas como por ejemplo parábolas, etc. 3. Si existe el límite doble L puede ocurrir que no existan alguno de los límites reiterados L1 ó L2 , o ninguno de ellos ( L1 y L2 ). Ejemplo 13 Hallar si existe el límite doble da la siguiente función en (1,1) x 2  y2 xy  f (x , y )   x  y x  y xy  Para calcular este límite calculamos x2y2 ( x  y )  (x  y ) lím  lím x  y  2  lím ( x, y) (1,1) x  y ( x , y ) (1,1) ( x , y )(1,1) x y Obsérvese que le límite anterior es el valor al cual se acercan los valores de la función cuando ( x, y) se acerca al punto (1,1) por cualquier camino excepto por la recta radial yx Calculemos dicho límite radial: lím f (x , y )  lím x  y  0 (x ,y ) (1,1) y x

(x ,y ) (1,1) y x

Concluimos que el límite doble no existe por no cumplirse la condición de unicidad. Ejemplo 14 Investigar la existencia de límite doble en el origen de la siguiente función: x2 y f ( x, y )  4 3 x  y2 Como puede verificarse, al intentar el cálculo del límite doble se presenta una indeterminación 0 , que no podemos salvar. Procedemos al cálculo de los límites 0 reiterados.  0  x 2y  L1  lím lím 4   lím  2 0 y 0 x 0 3x  y 2 y 0 y    

 x2 y   0   L2 lím lím 4 0   lím 4 x 0 y 0 3 x  y 2 x 0   3x    Como no podemos concluir sobre la existencia del límite doble, calculamos límites radiales: x2 y x 2 mx mx 3 mx 0 Lr  lím lím lím  2 0    lím x 0 3x 4  m 2 x 2 x 0 (3x 2  m 2)  x 2 x 0 (3 x2  m2 ) (x ,y ) ( 0, 0) 3x 4  y 2 m y mx Como seguimos sin saber si el límite doble existe o no, probamos acercarnos al origen por una curva de ecuación y  x2

Lr 

x2 y x 2x 2 x4 1    lím lím 4 2 4 4 4 x 0 3x  x x 0 4x (x ,y ) ( 0, 0) 3x  y 4 y x2 lím



Como el límite por este camino parabólico tiene un valor que difiere de los anteriores, aseguramos que no existe el límite doble. Continuidad Definición: Una función f ( x, y) es continua en un punto P0 ( x 0 , y0 )si y solo si se verifica f ( x0 , y0 ) i)  lím f (x , y )  L(finito) ii) (x ,y ) (x 0 ,y 0 )

iii)

lím

(x ,y ) (x 0 ,y 0 )

f (x , y )  f (x 0 , y 0 )

Si el punto P0 no es de acumulación, f ( x, y) en continua en P0 si existe f ( x0 , y 0 ) Una función es continua en un conjunto si lo es en todos sus puntos. Discontinuidad Si una función f ( x, y) no verifica en un punto P0 ( x 0 , y0 ) alguna de las condiciones de continuidad, se dice que presenta una discontinuidad en dicho punto, o bien que no es continua en ese punto. La discontinuidad puede ser de dos tipos, a saber: 1. Discontinuidad evitable: Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto P0 ( x 0 , y0 ) si no es f (x , y ) continua en ese punto pero existe el lím (x ,y ) (x 0 ,y 0 )

Obsérvese que este tipo de discontinuidad se presenta cuando una función no está definida en el punto o bien cuando está definida pero no coincide su valor con el del límite. 2. Discontinuidad esencial: Una función tiene una discontinuidad esencial en un punto si no existe el lím f (x , y ) finito. (x ,y ) (x 0 ,y 0 )

Ejemplo 15 Analizar la continuidad de la siguiente función en el origen. x3  y3 f ( x, y )  xy    f (0,0) x3  y ( x  y)  ( x 2  yx  y 2 )  lím x 2  yx  y 2  0   lím lím (x , y ) ( 0, 0) x  y ( x, y) ( 0, 0) ( x , y ) ( 0, 0) x y La función no es continua porque no está definida en el punto, pero como existe el límite en el origen presenta una discontinuidad evitable.

Ejemplo 16 Analizar la continuidad de la siguiente función en el origen x2  y2 f ( x, y )  2 x  y2  

La función no está definida en el origen, es decir f (0,0) El límite doble no existe en el origen. En efecto los límites laterales son distintos.     y2  x2  y2    1 L1  lím lím 2 lím y  0 x  y ...