Sesión 02 diferenciabilidad y continuidad PDF

Preview

Summary

Analisis Matematico...

Description

Universidad Nacional de Trujillo

Análisis matemático

DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD Definición. Una función 𝑓 que tiene derivada en el número 𝑥1 , se dice que es

diferenciable en el número 𝑥1 .

Una función es diferenciable en el intervalo (𝑎; 𝑏) si es diferenciable en

cada número del intervalo (𝑎; 𝑏).

Si una función es diferenciable en cada número de su dominio, entonces se dice que es una función es diferenciable.

Teorema. Si una función 𝑓 es diferenciable en el número 𝑥1 , entonces es continua en el número 𝑥1 .

Diferenciabilidad ⟹ Continuidad

No Continuidad ⟹No Diferenciabilidad

Ejemplo. Sea 𝑓 (𝑥) = |𝑥|. Calcular 𝑓′(0). Solución.

Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo

Usando la fórmula alternativa para: 𝑥1 = 0.

𝑓′(𝑥) =𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑥1

𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0

|𝑥 | − 0 𝑓 (𝑥) − 𝑓(𝑥1 ) 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑓 ( 0) = 𝑙𝑖𝑚 ⟹ 𝑓′(0) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 −0 𝑥 − 𝑥1

|𝑥 | 𝑥

𝑥, si 𝑥 ≥ 0 Pero: |𝑥| = { entonces usando límites laterales: −𝑥,si 𝑥 < 0 𝑙𝑖𝑚+

𝑥→0

|𝑥 | 𝑥 = 𝑥→0 𝑙𝑖𝑚 = 1, 𝑥 𝑥 𝑥>0

Como: 𝑙𝑖𝑚+ 𝑥→0

𝑙𝑖𝑚 − 𝑥→0

|𝑥 | –𝑥 = −1. = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥 𝑥 𝑥 0 . Su derivada es:

1 𝑓′(𝑥) = (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥)′ = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒. 𝑥

Demostración. 𝑓′(𝑥) =𝑙𝑖𝑚

∆𝑥→0

𝑓′(𝑥) =𝑙𝑖𝑚

∆𝑥→0

𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥) =𝑙𝑖𝑚 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥

∆𝑥 𝑥 + ∆𝑥 𝑥 1 1 [𝑙𝑜𝑔𝑎 ( )] =𝑙𝑖𝑚 ( ) ( ) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (1 + ) ∆𝑥 ∆𝑥→0 𝑥 ∆𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

𝑥

∆𝑥 ∆𝑥 1 ∆𝑥 ∆𝑥 1 1 ) ] = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒. 𝑓′(𝑥) =𝑙𝑖𝑚 ( ) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (1 + ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 [ 𝑙𝑖𝑚 (1 + ⏟ ∆𝑥→0 𝑥 𝑥 𝑥 ∆𝑥→0 𝑥 𝑥 =𝑒

𝟏 𝟏 𝟏 ∴ 𝑫𝒙 (𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒆 ⟺ 𝑫𝒙 (𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒆 = 𝒙. 𝒍𝒏𝒂 𝒙 𝒙

Observación. Si 𝑎 = 𝑒 entonces: 𝐷𝑥 (𝑙𝑛𝑥) =

1 1 = , 𝑥. 𝑙𝑛𝑒 𝑥

Teorema. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛|𝑥|, entonces: Prof. Lucy Salazar Rojas

𝑫𝒙 (𝒍𝒏𝒙) =

𝟏 𝒙

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo 𝟏 𝒇′(𝒙) = 𝒙

Teorema. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 una función diferenciable para todo 𝑥 ∈ ℝ y 𝑎 > 0. Su derivada es: 𝒇′(𝒙) = (𝒂𝒙 )′ = 𝒂𝒙 𝒍𝒏 𝒂 . Demostración. Sea 𝑦 = 𝑎 𝑥 . Aplicando logaritmo a ambos lados de la ecuación: 𝑙𝑛𝑦 = 𝑥. 𝑙𝑛𝑎. Derivando en forma implícita con respecto a 𝑥:

1 ( ) . 𝑦′ = 𝑙𝑛 𝑎 ⟹ 𝑦′ = 𝑦. 𝑙𝑛𝑎 ⟹ 𝑦′ = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛 𝑎. 𝑦 ∴ 𝐷𝑥 (𝑎 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛 𝑎.

Observación. Si 𝑎 = 𝑒 entonces: para 𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥 ⟹ 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑙𝑛 𝑒 = 𝑒 𝑥 . 𝑫 𝒙 ( 𝒆𝒙 ) = 𝒆𝒙 .

Ejemplo. Calcular la derivada de: 𝑓(𝑥) = 9𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 14 𝑐𝑜𝑠 𝑥. Solución. 𝑓′(𝑥) = (9𝑠𝑒𝑛 𝑥)′ + (14 𝑐𝑜𝑠 𝑥)′ = 9 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 14𝑠𝑒𝑛 𝑥. Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨. Calcular la derivada de: 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 Solución.

1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ′ (1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥)(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥)′ − (1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥)(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥)′ ( ) 𝑓′ 𝑥 = ( ) = (1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 )2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑓′(𝑥) =

(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 )(− 𝑐𝑜𝑠 𝑥) − (1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥)(𝑠𝑒𝑛 𝑥) (1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥)2

− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑓′(𝑥) = (1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥)2

(𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 = 𝑓′(𝑥) = (1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 )2 (1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥)2 Ejemplo. Calcular la derivada de: 𝑓(𝑥) = (2𝑥 3 + 1)(𝑡𝑔 𝑥 ). Solución. 𝑓′(𝑥) = (2𝑥 3 + 1)(𝑡𝑔 𝑥)′ + (2𝑥 3 + 1)′ (𝑡𝑔 𝑥 ) 𝑓′(𝑥) = (2𝑥 3 + 1)(𝑠𝑒𝑐 2 𝑥) + 6𝑥 2 (𝑡𝑔 𝑥).

𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨. Calcular la derivada de: 𝑓(𝑥) =

𝑥2

1 + 𝑙𝑜𝑔3 𝑥

Solución.

Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Universidad Nacional de Trujillo 𝑓′(𝑥) =

−(𝑥 2 + 𝑙𝑜𝑔3 𝑥)′ (𝑥 2

+ 𝑙𝑜𝑔3

𝑥 )2

=

(𝑥 2

Análisis matemático

1 ). −1 (2𝑥 + 𝑥. 𝑙𝑛3 2 + 𝑙𝑜𝑔3 𝑥)

Ejemplo. Calcular la derivada de: 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑙𝑛𝑥 Solución.

1 𝑓′(𝑥) = 𝑥 (𝑙𝑛𝑥)′ + (𝑙𝑛𝑥)(𝑥)′ = 𝑥 () + 𝑙𝑛𝑥 = 1 + 𝑙𝑛𝑥. 𝑥 Funciones Hiperbólicas. 1. Función Seno Hiperbólico.

𝑓: ℝ ⟶ ℝ

Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 =

𝒟𝑜𝑚𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = ℝ,

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 2

ℛ𝑎𝑛𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = ℝ.

Es función inyectiva. Es función impar.

2. Función Coseno Hiperbólico.

𝑓: ℝ ⟶ ℝ

𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 = 2 Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo 𝒟𝑜𝑚𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 = ℝ,

ℛ𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 = [1; +∞).

No es función inyectiva. Es función par.

3. Función Tangente Hiperbólica.

𝑓: ℝ ⟶ ℝ

𝑓 (𝑥) = 𝑡𝑔ℎ 𝑥 =

𝒟𝑜𝑚𝑡𝑔ℎ 𝑥 = ℝ, Prof. Lucy Salazar Rojas

𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥

ℛ𝑎𝑛𝑡𝑔ℎ 𝑥 = (−1; 1). http://lucy-math.ucoz.com

Universidad Nacional de Trujillo

Análisis matemático

Es función inyectiva. Es función impar.

4. Función Cotangente Hiperbólica.

𝑓: ℝ ⟶ ℝ Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Universidad Nacional de Trujillo 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑡𝑔ℎ 𝑥 =

𝒟𝑜𝑚𝑐𝑔ℎ 𝑥 = ℝ − {0},

Análisis matemático

𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥

−𝑥 𝑒 𝑥𝑥 + 1 − 𝑒 −𝑥 = = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝑡𝑔ℎ 𝑥

ℛ𝑎𝑛𝑐𝑔ℎ 𝑥 = (−∞; −1) ∪ (1; +∞).

Es función inyectiva. Es función impar.

5. Función Secante Hiperbólica.

𝑓: ℝ ⟶ ℝ Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 =

𝒟𝑜𝑚𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = ℝ,

1

=

𝑒 𝑥 +2 𝑒 −𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 ℛ𝑎𝑛𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = (0; 1].

No es función inyectiva. Es función par.

6. Función Cosecante Hiperbólica.

Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo 𝑓: ℝ ⟶ ℝ

𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑥 =

𝒟𝑜𝑚𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = ℝ − {0},

1

𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥

2 = 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥

ℛ𝑎𝑛𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = ℝ − {0}.

Es función inyectiva. Es función impar. Identidades fundamentales de la trigonometría hiperbólica. 𝟏) 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 1.

𝟐) 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 + 𝑡𝑔ℎ2 𝑥 = 1.

𝟑) 𝑐𝑡𝑔ℎ2 𝑥 − 𝑐𝑠𝑐ℎ2 𝑥 = 1.

𝟒) 𝑡𝑔ℎ 𝑥. 𝑐𝑡𝑔ℎ 𝑥 = 1.

𝟓) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥 ± 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥. 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑦 ± 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑦. 𝟔) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥 ± 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥. 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑦 ± 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑦. 𝟕) 𝑠𝑒𝑛ℎ 2𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 . 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 .

𝟖) 𝑐𝑜𝑠ℎ 2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥.

𝟗) 𝑠𝑒𝑛ℎ

𝟏𝟎) 𝑐𝑜𝑠ℎ

𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 − 1 = ±√ 2 2

𝟏𝟏) 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 ± 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛ℎ ( 𝟏𝟐) 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠ℎ (

Prof. Lucy Salazar Rojas

𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 1 𝑥 =√ 2 2

𝑥∓𝑦 𝑥±𝑦 ) . 𝑐𝑜𝑠ℎ ( ). 2 2

𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 ). ) . 𝑐𝑜𝑠ℎ ( 2 2

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo

𝑥+𝑦 𝑥 − 𝑦 ). ) . 𝑠𝑒𝑛ℎ ( 2 2 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥 ± 𝑦) 𝟏𝟒) 𝑡𝑔ℎ 𝑥 ± 𝑡𝑔ℎ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥. 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑦 𝟏𝟑) 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛ℎ (

Derivada de Funciones Hiperbólicas. Teorema. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 una función diferenciable. Su derivada es: 𝑓′(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥.

Demostración. 𝑒 𝑥 − (−𝑒 −𝑥 ) 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 ) = = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥. 𝑓′(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)′ = ( = 2 2 2 ′

∴ 𝑫𝒙 (𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙 .

Teorema. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 una función diferenciable. Su derivada es: 𝑓′(𝑥) = (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)′ = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥.

Demostración. 𝑓′(𝑥) = (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)′ = (

𝑒 𝑥 + (−𝑒 −𝑥 ) 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥. = ) = 2 2 2 ′

∴ 𝑫𝒙 (𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙 .

Teorema. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔ℎ 𝑥 una función diferenciable. Su derivada es: Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo 𝑓′(𝑥) = (𝑡𝑔ℎ 𝑥)′ = 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥. Demostración.

𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 ′ (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)(𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)′ − (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)′ 𝑓′(𝑥) = (𝑡𝑔ℎ 𝑥)′ = ( ) = (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)2 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 =1

⏞ 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥) − (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)(𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠ℎ = = 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥

𝑓′(𝑥) =

1 = 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥

∴ 𝑫𝒙 (𝒕𝒂𝒏𝒉 𝒙) = 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙 .

Teorema. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔ℎ 𝑥 una función diferenciable. Su derivada es: 𝑓′(𝑥) = (𝑐𝑡𝑔ℎ 𝑥)′ = −𝑐𝑠𝑐ℎ2 𝑥.

Demostración. 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 ′ (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)′ − (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 )(𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)′ 𝑓′(𝑥) = (𝑐𝑡𝑔ℎ 𝑥)′ = ( ) = (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)2 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥

𝑓′(𝑥) =

(𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)(𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥) − (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 )(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 ) 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥

−(𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥) −1 = 𝑓′(𝑥) = = −𝑐𝑠𝑐ℎ2 𝑥. 2 2 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo ∴ 𝑫𝒙 (𝒄𝒕𝒈𝒉 𝒙) = −𝒄𝒔𝒄𝒉𝟐 𝒙 .

Teorema. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 una función diferenciable. Su derivada es: 𝑓′(𝑥) = (𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥)′ = −𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥. 𝑡𝑔ℎ 𝑥.

Demostración. 𝑓′(𝑥) = (𝑠𝑒𝑐ℎ

𝑥 )′

1 ′ −(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)′ −𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 ) = = =( (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)2 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥

−1 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝑓′(𝑥) = ( )( ) 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥. 𝑡𝑔ℎ 𝑥.

∴ 𝑫𝒙 (𝒔𝒆𝒄𝒉 𝒙) = −𝒔𝒆𝒄𝒉 𝒙. 𝒕𝒈𝒉 𝒙 .

Teorema. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑥 una función diferenciable. Su derivada es: 𝑓′(𝑥) = (𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑥)′ = −𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑥. 𝑐𝑡𝑔ℎ 𝑥.

Demostración. 1 ′ −(𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)′ −𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 = 𝑓′(𝑥) = (𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑥)′ = ( ) = (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)2 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥

Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo −1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥) = −𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑥. 𝑐𝑡𝑔ℎ 𝑥. 𝑓′(𝑥) = ( ) (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥

∴ 𝑫𝒙 (𝒄𝒔𝒄𝒉 𝒙) = −𝒄𝒔𝒄𝒉 𝒙. 𝒄𝒕𝒈𝒉 𝒙 .

Ejemplo. Calcular la derivada de:

𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥. 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥.

Solución. 𝑓′(𝑥) = 𝑥 (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)′ + 𝑥 (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)′(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥) + (𝑥)′(𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 ) 𝑓′(𝑥) = 𝑥 (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)(𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥) + 𝑥 (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 )(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 ) + (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)

𝑓′(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 + (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)

𝑓′(𝑥) = 𝑥 (𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥) + (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥).

Ejemplo. Calcular la derivada de: 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑡𝑔ℎ 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥. Solución. 𝑓′(𝑥) = 𝑥 (𝑡𝑔ℎ 𝑥)′ + (𝑡𝑔ℎ 𝑥)(𝑥)′ + 𝑒 𝑥 (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)′ + (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)(𝑒 𝑥 )′

𝑓′(𝑥) = 𝑥 (𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥) + 𝑡𝑔ℎ 𝑥 + 𝑒 𝑥 (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥) + (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)(𝑒 𝑥 )

𝑓′(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 + 𝑡𝑔ℎ 𝑥 + 𝑒 𝑥 (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥). 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨. Calcular la derivada de: 𝑓(𝑥) =

𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 1 + 𝑙𝑛 𝑥

Solución. Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo 𝑓′(𝑥) =

(1 + 𝑙𝑛 𝑥)(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)′ − (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥)(1 + 𝑙𝑛 𝑥 )′ (1 + 𝑙𝑛 𝑥)2

𝑓′(𝑥) =

𝑥 (1 + 𝑙𝑛 𝑥)(𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥) − 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝑥 (1 + 𝑙𝑛 𝑥 )2

1 (1 + 𝑙𝑛 𝑥)(𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥) − (𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥) 𝑥() = 𝑓′(𝑥) = (1 + 𝑙𝑛 𝑥)2

Derivada de Orden Superior. Definición. Sea 𝑓 una función diferenciable, entonces 𝑓′(𝑥) se llama primera derivada de 𝑓.

Si 𝑓′ es una función diferenciable, entonces la derivada de 𝑓′ se llama segunda derivada de 𝑓, y se denota:

𝑓′′(𝑥) ,

𝑑2 𝑦 , 𝑑𝑥 2

𝐷𝑥 2 [𝑓(𝑥)].

𝑑3 𝑦 , 𝑑𝑥 3

𝐷𝑥 3 [𝑓(𝑥)].

Si 𝑓′′ es una función diferenciable, entonces la derivada de 𝑓′′ se llama tercera

derivada de 𝑓, y se denota:

𝑓′′′(𝑥) , …

Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Análisis matemático

Universidad Nacional de Trujillo

La n-ésima derivada de 𝑓, es la derivada de la (𝑛 − 1)-ésima derivada de 𝑓, y

se denota:

𝑓

(𝑛) (

𝑥) ,

𝑑𝑛 𝑦 , 𝑑𝑥 𝑛

𝐷𝑥 𝑛 [𝑓(𝑥)].

Ejemplo. Hallar todas las derivadas de la función 𝑓 (𝑥) = 8𝑥 4 + 5𝑥 3 − 𝑥 2 + 7 Solución. 𝑓′(𝑥) = 32𝑥 3 + 15𝑥 2 − 2𝑥.

𝑓′′(𝑥) = 96𝑥 2 + 30𝑥 − 2. 𝑓′′′(𝑥) = 192𝑥 + 30.

𝑓 (4) (𝑥 ) = 192.

𝑓 (5) (𝑥 ) = 0. …

𝑓 (𝑛) (𝑥 ) = 0,

para 𝑛 ≥ 5.

Ejemplo. Si 𝑓(𝑥) = √𝑥 . Determinar 𝑓 𝑛 (𝑥).

Prof. Lucy Salazar Rojas

http://lucy-math.ucoz.com

Universidad Nacional de Trujillo

Análisis matemático

Solución. En este caso se debe dar una forma general para la derivada de orden 𝑛, partiendo de las regularidades que se presentan en las primeras derivadas que se calculen. Así: 1

𝑓 (𝑥) = 𝑥2 .

1 −1 𝑓′(𝑥) = 𝑥 2 . 2

(2.2−1) 1 3 1 𝑓′′(𝑥) = − 𝑥 −2 = − 2 𝑥 − 2 . 4 2

3 5 3 (2.3−1) 𝑓′′′(𝑥) = 𝑥 −2 = 3 𝑥 − 2 . 2 8

15 7 15 (2.4−1) 𝑓 (4) (𝑥 ) = − 𝑥 −2 = − 4 𝑥 − 2 . 2 16 𝑓 (5) (𝑥 ) =

105 −9 105 −(2.5−1) 2 𝑥 2= 5 𝑥 . 32 2

… 𝑓

𝑛(

𝑥) =

(−1)𝑛+1 1.3.5.7 … . (2𝑛 − 3) −(2𝑛−1) 2 , 𝑥 2𝑛

Prof. Lucy Salazar Rojas

𝑛 ≥ 2.

http://lucy-math.ucoz.com...