Derivada Direccional final PDF

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Derivada Direccional – Aplicaciones 1. Calcular la derivada direccional por definición de la función  (  ,  ) =  +  con respecto a la dirección  = ( 1,2) en el punto  = ( 1,0) . Solución Para calcular la derivada direccional por definición debemos asegurarnos que el vector  tenga norma igual a 1, si esto no se cumple se normaliza y recién aplico la definición. ‖‖ = ‖( 1,2) ‖ = √1 + 4 = √5 ≠ 1, por lo tanto normalizo el vector . Ahora el vector normalizado será  =

( ,)

√

= 󰇡



,



√  √

󰇢

Entonces aplicamos la definición de derivada direccional  ( , ) = lim

→

 (  +  ,  +  ) −  ( , ) 

Reemplazando en el punto y con la nueva dirección normalizada nos queda:

( 1,0) = lim →

= lim

1+ 

→

Por lo tanto la   ( 1,0) =

 1 + 

1

√5

,

2

√5 

 − ( 1,0)

2 1 1 2  + +  −1  3 5 √5 √5 √5 = lim √ =  →  √5



√

La derivada direccional también se puede calcular aplicando la siguiente igualdad:  (  ) = ∇(  ) .  , esto siempre que se cumpla que la función  ∈  en   

Si trabajamos en ℝ entonces ∇(  , ) =  ( ,  ) ,  ( ,  )  Si trabajamos en ℝ entonces ∇ (  ) = 󰇡 ( ) ,  ( ), ( ) 󰇢

2. Calcular la derivada direccional de la función ( ,  ) =  +  con respecto a la dirección  = ( 1,2 ) en el punto  = ( 1,0 ) . Solución En este ejercicio no me aclaran de que manera obtener la derivada direccional entonces puedo aplicar la definición o bien ( , ) = ∇ (  , ) .  lo cual es válido porque la función

( , ) =  +  es clase 1 (es decir se cumple la condición suficiente de diferenciabilidad en el punto) en (1,0). Entonces anteriormente ya normalizamos la dirección por lo tanto  = 󰇡



,



√ √

Ahora calculamos la derivada direccional aplicando

󰇢.

 (  , ) = ∇( , ) .  =  ( , ) ,  (  , ) .  Como ( , ) =  +  las funciones derivadas parciales serán:  ( , ) = 1 y  ( , ) = 1

evaluando en el punto (1,0), obtenemos que ∇ ( 1,0) = ( 1,1) . Entonces  ( 1,0) = ∇ ( 1,0) .  =  ( 1,0) ,  ( 1,0) . 󰇡



,



√ √

󰇢=( 1,1) . 󰇡



,



√ √

󰇢=



√

+



√

=



√

. Como

podemos observar llegamos al mismo resultado del ejercicio anterior donde habíamos aplicado la definición. De ahora en más ocuparemos  (  ) = (  ) .  para calcular las derivadas direccionales ya que las funciones con las que estamos trabajando son de C1.  ) = (  ) . = ‖(   ) ‖ ( ) Propiedades de la derivada direccional   ( 

1. La función  crece más rápidamente cuando cos( ) = 1 o cuando  es la dirección

del gradiente ∇ . Es decir, en cada punto P de su dominio,  crece más rápidamente

en la dirección del vector gradiente ∇ ( ) . La derivada direccional máxima en esta dirección es:  ( ) = ∇ ( ) .  = ‖∇ (  ) ‖ cos( 0) = ‖∇( ) ‖   á

2. De manera similar,  decrece más rápidamente en la dirección de −∇. La derivada en esta dirección es   ( ) = ∇ ( ) .  = ‖∇ (  ) ‖ cos(  ) = −‖∇ ( ) ‖

3. Cualquier dirección  ortogonal a un gradiente ∇ ≠ 0, es una dirección de cambio 

nulo en , pues en ese caso  es igual a  y

 ( ) = ∇ (  ) .  = ‖∇ ( ) ‖ cos( / 2 ) = 0

Estas propiedades valen tanto en ℝ ó en ℝ  .

Muchas veces lo complicado es determinar la dirección, pero ya que dependiendo el ejercicio pueden existir diversos casos, por ejemplo: 

Dirección que une dos puntos: Ejemplo: dirección que va desde (1,3) a (2,5), es el vector formado por la diferencia de los mismos y normalizado.  = ( 2,5) − ( 1,3) = ( 1,2) Por lo tanto normalizando el vector  = (



,



√  √

)



Dirección paralela a una curva o dirección tangente a una curva Sea una función  = ( ) en un punto (  ,  ) Sabemos que para encontrar la recta tangente a la curva debemos calcular la derivada de la función y al evaluarla en el punto encontramos la pendiente de la recta tangente, es decir: ´ = ′(  ) . Por otro lado conocemos otra forma de determinar la pendiente de una recta cualquiera por ejemplo:

=

∆

∆

=





es la pendiente de una recta

con dirección  = ( ∆, ∆) Entonces comparando la pendiente de la recta tangente obtenida con la derivada, con la pendiente 

∆ ∆

podríamos determinar la dirección  y al normalizar este conseguiremos

la dirección paralela a la función. Dirección que forma un ángulo  con el eje x Utilizar el vector  = ( ,  ) porque este vector dirección ya está normalizado....