9 - Mecánica Rotacional PDF

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Unidad 9...

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Primer Cuatrimestre de 2017

Departamento de Tecnología y Administración

Carrera: Ingeniería en Informática

Asignatura: Física I

Guía Teórico-Práctica Nº 9

[Mecánica Rotacional] Partículas y Cuerpo Rígido Elaboración: Gustavo Montero Juan Cruz Moreno Paulina Armagno

Física I Índice Dinámica rotacional de la partícula............................................................................................... 3 Momento angular ..................................................................................................................... 3 Torque o Momento de una fuerza ............................................................................................ 4 Variación del momento angular y su relación con los torques ................................................. 5 Completitud de la definición de Estado de Equilibrio ............................................................... 7 Ejercicios y Problemas propuestos........................................................................................... 9 Dinámica del Cuerpo Rígido ........................................................................................................ 12 Modelo de Cuerpo rígido ........................................................................................................ 12 Momento angular para un cuerpo rígido en rotación ............................................................ 12 Algunos momentos de inercia................................................................................................. 14 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos ............................................................................ 14 Energía Cinética de un cuerpo en rotación ............................................................................. 17 Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil ................................................................... 23 Trabajo y Potencia en movimiento rotacional ........................................................................ 24 Teorema del Trabajo y la Energía Cinética en el movimiento rotacional ............................... 25 Ejercicios y Problemas propuestos.......................................................................................... 26

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Física I Dinámica rotacional de la partícula Momento angular Todas las magnitudes asociadas al movimiento rotacional que hemos visto hasta aquí son análogas a las magnitudes estudiadas en el movimiento lineal o de traslación de una partícula. Una de esas magnitudes -a partir de la cual hemos formulado la Segunda Ley de Newton- es la cantidad de movimiento y su análogo para el movimiento rotacional es el momento angular, una cantidad vectorial que se define a partir de su relación con el momento lineal (o cantidad de movimiento) de igual forma que lo hacen el momento y la fuerza para una partícula. Pero vayamos con calma, definamos primero el momento angular. Para una determinada masa constante , velocidad , cantidad de movimiento  y vector posición  relativo al origen O de un sistema de Coordenadas asociado a un Marco de Referencia inercial, definimos el momento angular 󰇍 de la siguiente forma: 󰇍  

que se lee como el momento angular 󰇍 es el producto vectorial entre la posición  y la cantidad de movimiento .

Al igual que lo visto en el caso de la velocidad angular, debemos entender al resultado de este producto vectorial como el de un vector perpendicular al plano que contiene a los vectores  y  (Figura 1), en el sentido que da la “regla de la mano derecha”, y cuyo módulo está dado por | 󰇍| || ||

Figura 1: Representación vectorial del momento angular de una partícula.

siendo el ángulo comprendido entre la dirección del vector posición y el de la cantidad de movimiento. El momento angular representa el estado dinámico El momento rotacional así como la cantidad de movimiento el momento angular se expresa en las lineal (o momento lineal) representa el estado dinámico siguientes unidades: traslacional. [ 󰇍] ( ) (

)

El estado dinámico representa el estado dinámico rotacional de la partícula, está expresando cómo está rotando una dada partícula alrededor de un eje. Como vemos, su módulo plantea cuán rápido está rotando: dos partículas de igual masa rotando a la misma 3

Física I distancia del eje tendrán diferente módulo de momento angular de acuerdo a cuál se mueva más rápido (considerando ||) y en qué dirección se mueve (considerando ). Sin embargo conociendo solo el módulo del momento angular no puedo saber si la partícula rota muy rápido cerca del eje (gran valor de || y escaso valor de ||) o rota muy despacio pero muy lejos (pequeño || y gran valor de || ). Por otro lado el signo de nos indica en qué sentido gira la partícula respecto al eje: dextrógiro (en el sentido de las agujas del reloj) o levógiro (en el sentido contrario a las agujas del reloj).

Torque o Momento de una fuerza Hasta este punto hemos estudiando las características de los movimientos circulares, sin preguntarnos por las causas. Del estudio de la dinámica, vista anteriormente, sabemos que una fuerza neta provoca un cambio en la cantidad de movimiento de los cuerpos (formalizado en la Segunda ley de Newton), pero en este caso no se trata de un movimiento traslacional, sino más bien de que una fuerza hace que un cuerpo rote por un punto describiendo un movimiento circular. La magnitud y dirección de la fuerza son importantes, pero también lo es la posición en la que se aplica la fuerza sobre el cuerpo (punto de aplicación) respecto al eje de rotación sobre el cual girará el cuerpo. Esta idea puede parecer confusa ahora, pero es algo que aplicamos constantemente. Por ejemplo, intuitivamente nosotros sabemos que para cerrar una puerta no basta con aplicar una fuerza sino dónde y cómo la aplicamos. Es decir una fuerza 󰇍󰇍󰇍 aplicada sobre el canto de la

puerta en la dirección del panel de la puerta no nos permitirá cerrarla. De manera similar, sabemos que las fuerzas 󰇍󰇍 y 󰇍󰇍󰇍 aplicadas perpendiculares al panel de la puerta, nos permitirán cerrar la puerta, pero el módulo de 󰇍󰇍󰇍 debe ser mucho más grande que el de 󰇍󰇍󰇍 para cerrarla de igual modo. Es que la forma más efectiva (la que requiere

󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑭𝟐

󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑭𝟏 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑭𝟑

󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑭𝟐

󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑭𝟏 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑭𝟑

Figura 2: ¿Cuál es la manera de abrir una puerta con el menor esfuerzo posible?.

menos esfuerzo de nuestra parte) es aplicar una fuerza lo más lejos posible del eje de rotación (Figura 2). Es por eso que los picaportes se sitúan lo más alejado posible de las bisagras!!

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Física I En definitiva lo que estamos identificando es que para poner a rotar a un cuerpo, o mejor planteado: para cambiar el estado rotacional de un objeto, necesitamos una acción del entorno – una fuerza – pero aplicada con características particulares. Definiremos entonces la esa acción del entorno particular como torque o momento de una fuerza, expresada como   

que similarmente implica que el toque  es el producto vectorial entre la posición  y la fuerza  , donde  representa la posición del punto en el cual se aplica la fuerza respecto al eje de rotación.

El torque es entonces un vector de dirección perpendicular al plano que contiene a los vectores  y  y cuyo sentido queda definido por la “regla de la mano derecha”. A su vez, el módulo del vector está dado por

|| || | |

donde es el ángulo que forman los vectores  y  . Con esta definición está claro que las unidades del torque están dadas por [] ( )( )

De la definición de torque podemos establecer ciertas conclusiones: 





El mayor torque lo logramos con fuerzas aplicadas perpendicularmente a la posición, hecho evidente ya que es cuando alcanza el máximo valor la función . Y de manera similar, una fuerza paralela o antiparalela al vector  no genera torque porque es cuando tiene valor nulo. La cantidad || se conoce también como brazo efectivo de palanca, de manera tal que el módulo del torque resulta en el producto entre la fuerza aplicada y el brazo efectivo de palanca (Figura 3).

Como en el caso del momento angular, el signo  respecto al Sistema de Coordenadas, evidencia si la fuerza actúa en el sentido dextrógiro (como las agujas del reloj) o levógiro (contrario al giro de las agujas del reloj).

θ

󰇍𝑭 󰇍

𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒓 󰇍

θ

Figura 3: Vista del plano del torque de una fuerza, donde se observa el brazo de palanca.

Variación del momento angular y su relación con los torques En la sección anterior establecimos que los cambios de estado rotacionales de un cuerpo están asociados a los torques del entorno sobre él. Profundicemos un poco en esta 5

Física I idea. Diremos que las acciones del entorno aplicadas sobre el objeto de estudio modelizado como partícula cambian el estado dinámico rotacional del mismo respecto al eje de rotación considerado. Esta idea se expresa matemáticamente como 󰇍

∑ 󰇍

()

Valen algunas importantes aclaraciones acerca de esta expresión: 

Cuando establecimos que eran las acciones del entorno aplicadas sobre el objeto de estudio, es necesario entender que estas acciones no pueden estar aplicadas en la dirección que une la partícula con el eje de rotación. Esto es algo que ya vimos en la definición de torque, ya que si  y  son paralelos o antiparalelos el torque resulta nulo.

Deducción: Si planteamos la variación del momento angular de un cuerpo modelizado como partícula respecto del tiempo, es decir la derivada

𝑑𝐿󰇍 , 𝑑𝑡

tenemos a

partir de la definición de momento angular: 𝑑𝐿󰇍 𝑑(𝑟 𝑝) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

pero sabemos que

𝑑𝑟

𝑑𝑟 𝑑𝑝 𝑝 + 𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑣 con lo cual tenemos el término 𝑣 𝑝, que resulta nulo

porque el vector 𝑝 es por definición siempre paralelo al vector 𝑣 (al ser paralelo el ángulo comprendido entre ellos es 0). 𝑑𝑡

Por otro lado tenemos por la Segunda Ley de Newton que tenemos entonces

󰇍 𝑑𝑝 𝑑𝐿 𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝐹 𝑖 󰇍𝑖 , por lo que

𝑟 ∑ 𝐹 󰇍𝑖 ∑ 𝜏󰇍󰇍 𝑖 𝑖

Es decir en definitiva ∑ 󰇍󰇍 𝜏𝑖 𝑖



𝑑𝑝

𝑖

𝑑𝐿󰇍 𝑑𝑡

Esta expresión (A) es análoga a la Segunda Ley de Newton para la dinámica traslacional: ∑ 󰇍



Razón por la cual la expresión (A) es conocida como la Segunda Ley de Newton para la dinámica de las rotaciones. 6

Física I 

La expresión (A) nos dice claramente que el estado rotacional (dado por el momento angular) de una partícula en rotación permanecerá constante o invariable en el tiempo salvo que actúe un momento externo neto sobre la misma. El momento ejercido por una fuerza externa sobre una partícula en rotación será equivalente a la variación del momento angular respecto al tiempo.



Al igual que en muchas expresiones anteriormente estudiadas, podemos resignificar el signo igual. Además del obvio significado matemático, le agregamos un significado físico: representa la frontera entre el entrono (dado por los torques) y el objeto de estudio (dado por su cambio de estado rotacional).



Se debe considerar que la expresión (A) es válida sólo en Marcos de Referencia Inerciales, que es donde está definido el concepto de fuerza.



El utilizar la expresión (A implica también tener en cuenta cuál es el eje de rotación, respecto al cual se define el estado dinámico rotacional.

Completitud de la definición de Estado de Equilibrio Considerando que hemos definido las funciones de estado que representan el estado del objeto de estudio modelizado como partícula en movimientos de traslación y rotación alrededor de un eje, podemos completar el concepto de estado de equilibrio en Dinámica. Diremos que un objeto modelizado como partícula se encuentra en estado de equilibrio dinámico cuando simultáneamente su cantidad de movimiento  y su momento angular 󰇍

permanecen constantes, es decir

󰇍  y (B) De acuerdo a la Segunda Ley de Newton y su equivalente en rotaciones, el estado de equilibrio tiene como consecuencia que simultáneamente también se cumple: 󰇍󰇍 (C) 󰇍󰇍 y

Al igual que cuando definimos anteriormente equilibrio dinámico en traslaciones, debemos enfatizar que la Un objeto modelizado como partícula se encuentra en definición de equilibrio es la dada estado de equilibrio dinámico cuando por la expresión (B), porque se simultáneamente su cantidad de movimiento 𝐩 󰇍 y su desprende de observar al Objeto  momento angular 𝐋 permanecen constantes. de Estudio. La condición dada por la expresión (C) es una consecuencia de que se cumpla (B).

Ejemplo 1

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Física I Un plomero aficionado, que no puede aflojar una junta, ensarta un tramo de tubo en el mango de su llave de tuercas y aplica todo su peso de 900 N al extremo del tubo parándose sobre él. La distancia del centro de la junta al punto donde actúa el peso es de 0.80 m, y el mango y el tubo forman un ángulo de 19° con la horizontal. Calcule la magnitud y la dirección del momento que el plomero aplica en torno al centro de la junta. El objetivo del plomero es “aflojar” la tuerca, es decir hacerla girar sobre un eje que pasa por su centro. El giro de la tuerca es exacatmente el mismo que el de la pinzas de la llave, es decir que rotar la llave alrededor del dentro de las pinzas conlleva a girar la tuerca. Estudiaremos entonces la rotación de la llave alrededor del eje que pasa por el centro de las pinzas (es el mismo eje que pasa por el centro de la tuerca). Es claro entonces que este problema está enmarcado en la Dinámica rotacional. Haremos algunas aproximaciones que modelizarán nuestra situación. Consideraremos a la llave sin masa (si no deberíamos considerar el torque del peso de la llave también) y nuestro objeto de estudio será el extremo de la llave sobre la cual aplicamos la fuerza con el pié. El extremo de la llave es lo que modelizaremos como partícula. Al no tener masa, despreciamos la interacción con la Tierra, por lo que la única fuerza aplicada sobre la partícula será la del pie ( ), está fuerza es la que pondrá a girar nuestra partícula alrededor del eje

(que significa que girará la tuerca).

Comenzaremos realizando un diagrama de cuerpo aislado, para lograr un mejor entendimiento de todas las magnitudes que entran en juego en esta situación:

𝜃

󰇍 𝒓

𝛽

󰇍 𝑷 𝑬 𝑭

𝛼 𝐿

Para determinar el módulo del momento de la fuerza aplicada  usamos la definición ya planteada: || || | |

De acuerdo al diagrama podemos identificar que tendremos || (

)(

||

)

+

. Por lo que

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Física I Alternativamente podríamos haber llegado al mismo resultado determinando el brazo de palanca . De acuerdo al diagrama y a la definición de brazo de palanca, observamos que

Sin embargo, apelando al conocimiento dela función . Con lo cual tenemos (

Por lo que

( ) tenemos que

)

|| | |

es decir el resultado que encontramos previamente.

Para definir la dirección del vector  utilizamos la regla de la mano derecha. Al rotar el vector  para alinearse con  encontramos que la dirección de  es

la que corresponde a un vector “que sale de la hoja” hacia a vos.

󰇍 𝝉

󰇍󰇍 𝑭

󰇍 𝒓

Ejercicio de Aplicación I

Dos fuerzas  y  se aplican sobre dos nudos de una varilla sin masa. Calcule el momento de la fuerza neta alrededor del punto O para las dos fuerzas aplicadas como en la figura. La varilla y las dos fuerzas están en el plano de la página. ¿Qué consideraciones estás haciendo? Rta: ||

. La varilla gira en sentido horario

Ejercicios y Problemas propuestos Ejercicio 1 Tenemos una balanza cuyos brazos tienen masa despreciable, de la cual colgamos masas de valores M1 y M2 a) Suponiendo que M1 = M2 ¿Cómo harías para lograr que esta balanza no se incline hacia ningún lado?¿Y si M1 < M2 ?

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Física I R2

R1

M1

M2

b) ¿Qué modelo estás usando para representar a la balanza? ¿Por qué? c) ¿Qué relación plantearías entre R1, R2, M1 y M2? ¿Por qué? d) ¿Qué condiciones establecerías ahora para decir que la balanza está “en equilibrio”? e) ¿Cómo harías para lograr que esta otra balanza esté “en equilibrio”? ¿Qué relación plantearías ahora entre R1, R2, R3, M1, M2 y M3? ¿Por qué? R2

R3

M3

M2

R1

M1

f) ¿Qué cambiaría si consideramos que la barra no tiene masa?¿Por qué?

Ejercicio 2 En la figura se esquematiza un subibaja en el que están sentados una nena, que pesa 300 N, y un nene de 600 N de peso. Indicá las fuerzas que están actuando sobre cada uno de ellos en un esquema adjunto. ¿Qué modelo estás usando? ¿Por qué? Considerá ahora al subibaja como objeto de estudio. Indicá las fuerzas que están actuando sobre él en un esquema adjunto. ¿Qué modelo estás usando para representarlo? ¿Por qué? ¿Cómo se podría lograr que el sube y baja esté en equilibrio? ¿Por qué? Calculá los torques individuales que producen los pesos de la niña y el niño sobre el sube y baja. ¿En qué estado está el sube y baja? ¿Por qué?

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Física I Calculá la posición respecto del punto de apoyo a la que se debe sentar otro niño de 400 N para que el sube y baja esté en equilibrio.

6m

3m

Ejercicio 3 El antebrazo de la figura está a 90° con respecto al brazo y sostiene en la mano una masa de 10 kg. Las distancias marcadas corresponden a A= 3,3 cm y B=33 cm. Despreciando el peso del antebrazo determinar: a) ¿Cuál es el torque producido por la masa de 10 kg alrededor de la articulación del codo (punto O )? b) El bíceps branquial ejerce una fuerza  sobre el antebrazo en el punto A de manera tal que el antebrazo se encuentra en equilibrio. ¿Cuál es el torque alrededor de O producido por esta fuerza?¿Cuál es el  módulo de ?

c) Repetir los cálculos anteriores para ángulos de 60° y 20°. ¿Qué podés decir de la fuerza de tu músculo al variar el ángulo?

O

A B

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Física I Dinámica del Cuerpo Rígido Modelo de Cuerpo rígido Hemos establecido la cinemática y la dinámica rotacional para una partícula y sistema de partículas. Notablemente identificamos una simetría entre los cambios de estados dinámicos rotacionales y traslacionales, ya que podemos definir una función de estado para rotaciones que es el momento angular. Y de manera análoga a lo establecido en la Segunda ley de Newton, los cambios de estado dinámicos en rotaciones son también debidas a acciones netas del entorno, esta vez modelizadas a través de torques. Sin embargo, así como no era un problema estudiar la traslación de un cuerpo, no ocurre lo mismo para la rotación. Es que la rotación de un objeto involucra no solo a la masa sino al eje a partir del cual rota. Claramente no es lo mismo la rotación de un cilindro alrededor de un eje que pase por el centro de sus tapas, que la rotación alrededor del centro longitudinal de su barra. Para poder analizar esto debemos modelizar al objeto de estudio de manera tal que su forma y distribución de masa pueda ser reflejada. El modelo elegido para estos casos es el de cuerpo rígido, que consiste en pensar al objeto de estudio como un sistema de partículas en el cual todas las partículas que lo componen mantienen constante la distancia entre ellas. Esta definición implica que los cuerpos rígidos no pueden de...