Dispensa n.5 Regressione - Copy PDF

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Appunti presi a lezione, utili per la preparazione all'esame...

Description

UNIVERSITA’

LUM JEAN MONNET

FACOLTA’ DI ECONOMIA

APPUNTI DI STATISTICA

DOCENTE

PROF. MARIATERESA CUOCCIO

Dispensa n.5 Premessa:la presente dispensa non sostituisce il libro di testo ma lo integra.

REGRESSIONE Per lo studio della dipendenza di un carattere Y ,……, dal carattere X con h modalità introduciamo le h DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE ( ) date da: (

)

dove le

{

sono le frequenze marginali della X

Analogamente

considerare k le DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE ( ) di un carattere X dal carattere Y con k modalità ,…… , date da: ( dove le

)

possiamo

{ sono le frequenze marginali della Y 5.1

Esempio: consideriamo i dati di pag. 3.5 Y

Frequenze marginali

0

1

2

3

0,4

0

0

0,4

4

0,2

0,1

0,2

0,5

5

0,1

0

0

0,1

0,7

0,1

0,2

1

X

Frequenze marginali

Con indice di correlazione lineare ( )=0,29. Avremo che: (

) {

(

) {

(

) {

{

{

{

5.2

analogamente (

( (

) {

{

) {

{

{

) {

5.3

Si definisce FUNZIONE DI REGRESSIONE la funzionelache ad delle ogni distribuzioni modalità del condizionate carattere associa media (

).

Nel caso dell’esempio proposto: (

(

(

)

)

)

0 0

0

5.4

RETTA DI REGRESSIONE (detta anche RETTA DEI MINIMI QUADRATI o RETTA INTERPOLANTE)

) per Dati ( punti sperimentali risultati di osservazioni, si consideri la retta generica di equazione

che approssimi al meglio tali punti

5.5

Sia P( ) un punto di tale retta e pertanto avrà coordinate P( ). Sia d la distanza tra ciascun punto A ed il suo corrispondente B sulla retta quindi si avrà: (

)

Poiché d indica una approssimazione non è importante il segno di tale quantità ma la sua entità, pertanto considereremo tali quantità elevate al quadrato. Sia L la somma di tutte le distanze così ottenute: ∑[

(

)]

5.6

Dicesi retta di regressione o retta dei minimi quadrati la retta che minimizza la quantità L ovvero la retta di equazione:

dove

() ( )

() e ()

I coefficienti

sono determinati attraverso il

METODO DEI MINIMI QUADRATI.

Per ottenere i valori delle quantità e sopra indicati è necessario minimizzare la quantità sopra citata ∑[

(

)] 5.7

A tal fine che deriviamo rispetto ad e imponiamo tali derivate siano nulle. (

∑[

(

∑[

{

)]

()

)]

()

Analizziamo la (1) ∑

∑

[

(

(

) ∑

∑

)]

∑

(ricordando la definizione di media) () ( ) dividendo per ed esplicitando rispetto ad si ottiene ()

()

5.8

e

Analizziamo la (2)

∑

∑ [ (

(

)

)]

∑ ∑ – ∑ (ricordando la definizione di media congiunta) ( ) () ( ) dividendo per e sostituendo il valore precedentemente ricavato si ottiene: ( )– [ ()–

( )– ( ) ( )

( )] ( ) ()

di

( )

( )

(ricordando la definizione di covarianza e raccogliendo la )

5.9

( ) ( )

[()

( )

()

( )]

()

C.V.D.

Osservazioni: si noti che il sistema delle due derivate risolto ammette quale soluzione il punto (a,b) che sarà necessariamente di minimo in quanto punto estremante di una funzione quadratica e quindi limitata inferiormente.

5.10

Applicando considerato avremo:

quanto esposto nella funzione di

() ∑

= 0,5

() ∑

= 3,7

( ) ∑ ( ) () ( )

∑

=2

( ) ( ) ( ) = 0,15 ( ) – ( ) = 0,41 0,29

5.11

all’esempio regressione

Quindi ( )

()

()

()

0,5 –

Avremo quindi la retta di regressione:

5.12

L’INDICE DI DETERMINAZIONE:

con

( ) [ ]

Se

avremo caratteri indipendenti

Se retta

avremo massima efficienza della

Nell’esempio considerato ( ) E quindi possiamo concludere che abbiamo una retta scarsamente efficace. 5.13...