Distrib velocidad f laminar sist radial ejercicio 12 PDF

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son algunos de los ejercicios claves para entender el flujo de un fluido en regimen laminar, en sistemas de coordenadas rectangulares, cilindricas y esfericas...

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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.

Sistemas radiales.

Ejemplo 2.36. Flujo laminar de una película que desciende por el exterior de un tubo circular. En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeño tubo circular, para descender después por la parte exterior del mismo. Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de película de espesor  r , tal como se indica en la figura. Obsérvese que las flechas de y se toman siempre en la dirección r positiva al efectuar el balance, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la dirección r negativa. a) Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales) es

vz 

g R2 4

  r 2  r  2 1     2 a ln    R    R 

b) Obtener una expresión de la velocidad volumétrica de flujo en la película. c) Demostrar que el resultado de (b) se transforma en la ecuación Q 

 gW 3 si el 3

espesor de la película es muy pequeño.

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.

Sistemas radiales.

r z

L

 , r



r R

aR

R

aR Solución. Condiciones: Estado estacionario. Flujo laminar. Fluido Newtoniano. Propiedades del fluido constantes (  ,  ). Efectos de borde despreciables. Flujo en dirección z ( v r  0 , v   0 , v z  0 ). La velocidad varía en función de r : v z  vz (r) . Balance de cantidad de movimiento.

2 r L r z r  2  r L r z

r r

 2  r  r L  g z  2  r  r ( p 0  pL )  0

(2.33)

g z es la componente gravitacional en la dirección del flujo. En este caso g z  g .

2 r L r z r  2 r L r z

r  r

 2  r  r L  g  2  r  r ( p 0  pL )  0

(2.36-1)

No existe gradiente de presión entre los extremos ( p 0  p L ): Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.

2  r L  r z r  2 r L  r z

r  r

 2 r  r L  g  0

Sistemas radiales.

(2.36-2)

Al dividir entre 2  L :

r  rz r  r  rz

r r

 r r  g  0

r rz r  r rz

r  r

 r  r  g

r rz

r r

 r rz r  r  r  g

r  rz

r  r

 r  rz



r

  gr

r

r  rz

r  r

 r  rz

r r  g r

r

r

Tomando el límite cuando  r  0 en la ecuación anterior: lim

rr z

r  r

 r r z

r

r

 r 0

 lim ( g r)  r 0

Aplicando la definición de derivada:

d (r r z )   g r dr Al separar las variables en la ecuación anterior:

d ( r r z )   g r d r Integrando ambos miembros de la ecuación:

 d ( r

rz

)    g r dr

 d( r

rz

)   g r d r

La integración conduce a:

r 2  r  r z   g    C1  2

rz 

g 2

r

C1 r

(2.36-3)

Condición de borde: Para r  a R ,  r z  0 . Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.

Sistemas radiales.

Al sustituir en la ecuación (2.36-3): 0

g 2

(a R ) 

C1 aR

Al despejar C1 en la ecuación anterior: C1 g (a R )  2 aR

C1   C1  

g 2

(a R ) 2

 g a 2 R2

(2.36-4)

2

Al sustituir (2.36-4) en (2.36-3):

rz 

rz

g 2

r

C1 r

  g a 2R 2     2 g   r  2 r

rz 

rz 

  g a 2R 2  1  r   2 2 r 

g

g

r  2 

a 2R 2   r 

(2.36-5)

La ecuación (2.36-5) es la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento. Fluido Newtoniano:

 r z  

d vz dr

(2.36-6)

Al sustituir (2.36-6) en (2.36-5): 

d vz dr



g

r  2 

a 2R 2   r 

Al separar las variables en la ecuación anterior: Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.

d vz  

Sistemas radiales.

a 2R 2  g d r  r  r  2 

Al integrar ambos miembros de la ecuación:

 d vz  

 g  a 2R 2  dr r  2   r 

vz  

g 2

vz  

g  a2 R2   r d r  r d r  2  

vz  

dr  g  r d r  a 2R 2     2  r 

 a 2 R2  r   r

 d r 

La integración conduce a:

 g r2   a 2 R 2 ln r   C 2 vz   2  2 

(2.36-7)

Condición de borde: Para r  R , v z  0 . Al sustituir en la ecuación (2.36-7):

0

  g ( R) 2  a 2 R 2 ln ( R)  C2  2  2 

Al despejar C2 en la ecuación anterior:

  g  R2   a 2R 2 lnR  C2  2  2 

(2.36-8)

Al sustituir (2.36-8) en (2.36-7):

vz  

 g r2   a 2 R 2 ln r   C 2 2  2 

vz  

   g R2 g r2    a2 R2 ln r    a 2 R 2 ln R  2  2   2  2

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.

vz 

g 2

 R2 r2   a 2 R2 ln R   a 2 R 2 ln r  2   2

vz 

g 2

 R2 r 2    a 2 R 2 (ln r  ln R)   2  2 

vz 

 g  R2 r 2  r    a2 R2 ln    2  2 2  R 

vz 

g 4

vz 

 g R2 4

 r2  r  2  1 2  2 a ln     R   R

vz 

 g R2 4

  r 2  r  2 1     2 a ln     R    R 

Sistemas radiales.

 2  r  2 2 2  R  r  2 a R ln     R  

(2.36-9)

La ecuación (2.36-9) es la distribución de velocidad. b) Caudal. 2

Q 

0



aR

R

vz r d r d 

(2.36-10)

Al sustituir (2.36-9) en (2.36-10): 2

aR

Q

 

Q

g R 2 4

Q

g R 2 4

0

R

g R 2 4

   g R2  4   2

aR

0

R

 



aR

R

  r 2   r  2 1    2a ln   r d r d   R    R 

 r2  2 1 2  2 a (ln r  ln R)  r d r d  R 

2  r2  2  1 2  2a (lnr  ln R ) r d r 0 d   R 

 r2  2 R 1 R 2  2 a (ln r  ln R)  r d r (2 )    g R2 aR  r 2 2 Q  1 2  2a (ln r  ln R) r d r  R 2  R 

Q

aR

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.

Sistemas radiales.

Q

 r2   g R2 aR  2 ( 1 2 ln )    2 a2 ln r r d r a R  2  R R 2  

Q

aR   g R2  1 (1 2 a 2 ln R)  r d r  2  R R 2 



aR

R

r 3d r  2 a 2

aR

R

 r ln r d r 

La integración conduce a:

 2   g R2   (1 2 a 2 ln R)  r Q  2 2  



aR

R

 1  r4    R2  4  

aR

R

2   2   2 a 2  r ln r  r   2 4  

aR

R

   

  a 2 R2  R 2  1  a 4 R 4  R 4       2  (1 2 a2 ln R)   2 4   g R2    R   Q  2 2 2 2 2 2  2  ln (a R )  R ln R a R  R     2 a 2  a R    2 4    

 a 2R 2 R 2 a 4 R2 R2  4 2 2 2 a R R a R R ln ln         g R2  2 2 4 4   Q 2  4 2  a 4 R 2 a 2 R2 2 2     a R a R a R R ln ( ) ln   2 2 Al asociar términos semejantes:

Q

   g R 2  2 2 R2 3a 4R 2 4 2 2 2      a 4R 2 ln (a R )  a 2R 2 lnR  ln ln a R a R R a R R  2  4 4 

Q

  g R2 2

Q

  g R 2  2 2 R 2 3 a4 R2 a R    a 4R 2 lna 2   4 4

Q

  g R 4  2 1 3a4 a    a 4 ln a 2   4 4

Q

  g R4 (4 a 2  1  3 a 4  4 a 4 ln a ) 8

  2 2 R2 3 a4 R2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2  a R  a R R a R R ln ln ln ln ln     a R a  a R R  a R R   4 4  

  

   (2.36-11)

c) El caudal se puede escribir como: Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.

Sistemas radiales.

  g (R ) (R 3 ) (4 a 2  1 3 a 4  4 a 4 ln a ) . Q 8 Por analogía entre el sistema rectangular y el sistema cilíndrico: Ancho de la película: W  2 R , de donde R 

W 2

Espesor de la película es   a R  R  R (a  1) , de donde R3 

3 (a  1) 3

.

Al sustituir R y R3 en la ecuación del caudal:

 W  3     3   2    ( a  1)  (4 2 1  3 4  4 4 ln ) a a a a 8

  g  Q

Q

 g W  3  4 a 2  1 3 a 4  4 a 4 ln a    16   ( a 1) 3 

Finalmente, al calcular el límite cuando a  1 :

Q

 4 a2  1  3 a4  4 a4 ln a   gW 3 lim   16  a 1  (a 1) 3 

Por la regla de L´Hopital:

Q

 8a  12a 3  16 a 3 ln a  4 a 3   gW  3 lim  16  a 1  3 (a  1) 2 

Q

 8a  8a 3  16a 3 ln a   gW  3 lim  16  a 1  3 (a  1) 2 

Aplicando L´Hopital nuevamente:

 8  24a 2  48a 2 lna  16a 2   gW  3 Q lim   6 (a  1) 16  a 1   Q

 8  8a 2  48a 2 ln a   gW  3 lim   6 (a  1) 16  a 1  

Aplicando L´Hopital nuevamente:

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.

Sistemas radiales.

 gW 3   16 a  96 a ln a  48 a  Q  lim  6 16  a 1   Q

 gW 3  32 a  96 a ln a   lim  6 16  a 1  

Al evaluar el límite:

Q

 gW  3  32  lim   a 1  16   6

 gW  Q 3

3

Esta es la ecuación correspondiente al caudal para una película descendente, quedando demostrada de esta manera la relación entre los sistemas rectangulares y radiales en condiciones límite.

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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