Distribuciones Bi, Ge y Poisson PDF

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Material de cursada de la materia Probabilidad y estadística...

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Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas

Distribución binomial negativa o de Pascal Se considera un experimento que consiste en pruebas independientes repetidas, en la que cada una puede tener como resultado un éxito con probabilidadp

o

un fracaso con probabilidad q =1 − p . La distribución de la variable aleatoria discreta X definida como el número de prueba en la que ocurre el k-ésimo éxito se denomina Binomial Negativa y está dada por:

 x − 1 k x −k f (x ) =   p q ,  k − 1

x = k , k + 1, k + 2,...

Ejemplo

Supongamos que un tubo de radio puesto en cierto tipo de equipo tiene una probabilidad de 0.2 de funcionar menos de 500 horas. Si se prueban estos tubos uno tras otro, en forma sucesiva: a.Defina la distribución probabilística de la variable aleatoria X: “Número de tubos probados hasta encontrar tres que funcionan menos de 500 horas”. b.¿Cuál es la probabilidad de que el tercer tubo que funciona menos de 500 horas sea… i. el décimoprimero probado? ii. el tercero probado? iii. cualquiera antes del sexto?

Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas

Distribución geométrica Se considera un experimento que consiste en pruebas independientes repetidas, en la que cada una puede tener como resultado un éxito con probabilidadp

o

un fracaso con probabilidad q =1 − p . La distribución de la variable aleatoria discreta X definida como el número de prueba en la que ocurre el primer éxito se denomina Geométrica y está dada por:

f ( x) = pq x −1,

x = 1,2,...

Distribución geométrica es un caso particular de la distribución binomial negativa: Ge ( p) = Bi * (1, p )

Ejemplo

Supongamos que un tubo de radio puesto en cierto tipo de equipo tiene una probabilidad de 0.2 de funcionar menos de 500 horas. Si se prueban estos tubos uno tras otro, en forma sucesiva: a.Defina la distribución probabilística de la variable aleatoria X: “Número de tubos probados hasta encontrar el primero que funciona menos de 500 horas”. b.¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario probar… i. tres tubos? ii. a lo sumo dos tubos? iii. al menos cuatro tubos?.

Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas

Proceso de Poisson 1. El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto (carece de “memoria”). 2. La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región, y no depende de resultados que ocurren fuera de ese intervalo o región. 3. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas

Distribución de Poisson Si se define la variable aleatoria discreta X como el número de resultados que ocurren en un intervalo dado o región específica se denomina variable aleatoria de Poisson cuya distribución es

f ( x) = siendo

λ

e

−λ x

λ

x!

,

x = 0,1,2,...

el parámetro que determina la intensidad de la distribución. Es el

número promedio de resultados por unidad de tiempo, distancia, área o volumen.

Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas

Distribución de Poisson – Características Sea X una variable aleatoria de Poisson con intensidad

E (X ) = λ

λ, ,

V (X ) = λ

Es decir, tanto la media como la variancia de la distribución de Poisson son iguales al parámetro λ .

Ejemplo

El número de partículas emitidas por una fuente radiactiva durante un período específico tiene una distribución de Poisson, siendo 5 el número medio de partículas emitidas por minuto. a.Escriba la distribución probabilística de la variable de interés. b.Calcule la probabilidad de que… i. en un minuto no se emitan partículas. ii. en un minuto se emitan más de nueve partículas. iii. en un minuto se emitan entre una y seis partículas, ambos inclusive. iv. en medio segundo se emitan a lo sumo dos partículas. v. en un segundo no se emitan partículas. vi. en dos minutos se emitan a lo sumo dieciocho partículas....