Ecuaciones de Poisson y Laplace PDF

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Teoría del tema...

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

ECUACIONES DE POISON Y DE LA PLACE DEDUCCION DE LAS ECUACION DE POISSON Y DE LAPLACE Obtener Obtenerlalaecuación ecuaciónde deLaplace Laplacees essumamente sumamentesencillo sencilloaaparir parirde delalaforma formapuntual puntualde delala Gauss.

·D =

ρν

(1)

D  E

(2)

∇

De la definición de D,

Y de la relación de gradiente E =− ∇V

(3)

Por sustitución se tiene

· D = ∇· (  E ) = −∇· (  ∇ V)=

∇

ρν

O   v . V  



(4)



Para Para una una región región homogénea homogénea en en la la que que

 es constante.

La La ecuación ecuación (4) (4) es es la la ecuación ecuación de de poisson, poisson, pero la operación “ doble  “debe interpretarse interpretarseyy desarrollarse, desarrollarse,al almenos menosen encoordenadas coordenadascartesianas, cartesianas,antes antesde deque quel ecuación pueda ser útil. En

coordenadas cartesianas,

Y por lo tanto,

L

ió

∇ ∇

b

i

ibi

2

d  ((

i i dd

“d “d l l

dd dd ”)”)



 En coordenadas cartesianas. Si 

v





0 , lo que indica una densidad de carga volumétrica cero, pero se permite que e

cargas cargaspuntuales, puntuales,densidad densidadde decarga cargalineal linealyydensidad densidadde decarga cargasuperficial superficialcomo comofuentes fuente campo localizadas en llugares ugares bien definidos, entonces 2

 0



(7)

2 Que Que constituye constituye la la llamada llamada ecuación ecuación de de Laplace. Laplace. La La operación operación  se llama el laplaciano

En En coordenadas coordenadas cartesianas cartesianas la la ecuación ecuación de de Laplace Laplace es es

(Rectángulo) (8) 2

Y la forma de   V en coordenadas cilíndricas y esféricas puede o obtener btener usando las expresiones para la divergencia y el gradiente, gradiente, obtenidas obtenidas para para dichos dichos sistemas sistemas de de coordenadas. Como Como referencia, referencia, el el laplaciano laplaciano en en coordenadas coordenadas cilíndricas cilíndricas es es

 V  2

  V      1

 1   

2

  V   V    z      2

2

2

2

(Cilíndricas) (9)

Y en coordenadas esféricas es

V 2

1 r

2

  V  r  r  r  r 2

 V  sen   sen     r 1

2

 V  (Esférica) (10) sen    2

1

2

2

2

Estas Estas ecuaciones ecuaciones pueden pueden desarrollarse desarrollarse más más efectuando efectuando las las derivadas derivadas parciales parciales idéntica idéntica embargo embargo con con frecuencia frecuencia es es más más útil útil tenerlas tenerlas en las las formas formas dadas dadas previamente; previamente; es es más; más; mucho más más fácil desarrollarse desarrollarse después, después, en en caso caso necesario, necesario, que que recomponer recomponer de de nuevo nuevo lo lo términos. La Laecuación ecuaciónde deLaplace Laplaceabarca abarcamucho, mucho,dado dadoque, que,como comose seaplica aplicaaatodos todoslos loscasos casosen enlos lo cuales cuales la ladensidad densidad de de carga carga volumétrica volumétrica es es cero, cero,asegura asegura que que cualquier cualquier configuración configuración 2

concebible concebible de de electrodos electrodos oo conductores conductores produce produce un un campo campo para para el el cual cual   V =0. Todos campos campos son son diferentes, diferentes, con con distintos distintos valores valores de de potencial potencial yy diferentes diferentes razones razones de de cam camb b  2 espaciales, espaciales, sin sin embargo embargo para para cada cada una una de de ellas ellas  V =0. Puesto que todo campo (si 

v



satisface la la ecuación ecuación de de Laplace, Laplace, parece parece imposible imposible esperar esperar que que pueda pueda invertirse invertirse el el satisface procedimiento procedimientoyyusar usartal talecuación ecuaciónpara paraencontrar encontrarun uncampo campoespecífico específicoen enel elque quese seteng ten ii tt éé ii dd ll ll llll ii áá ii ff ió ió ll ió ió



capítulo. En otros tipos de problemas, las condiciones de frontera toman la forma de va específicos de deE E(de (de manera manera alterna, alterna, una una densidad densidad de de carga carga superficial, superficial, ) sobre una s

superficie superficie cerrada, cerrada, oo una una combinación combinación de de valores valores de de V y E. Antes Antesde deaplicar aplicarla laecuación ecuaciónde deLaplace Laplaceoola lade depoisson poissonen envarios variosejemplos, ejemplos,es esnecesario necesario detenerse detenerse un un momento momento para para mostrar mostrar que que si si una una respuesta respuesta satisface satisface la la ecuación ecuación de de Lapl Lap las las condiciones condiciones de de frontera, frontera, entonces entonces esta esta es es la la única única respuesta respuesta posible. posible. Seria Seria decepcio trabajar trabajar en enun un problema problema con con la la ecuación ecuación de de Laplace Laplace resolviéndola resolviéndola correctamente correctamente por porm m de dos métodos distintos y obtener dos respuestas respuestas diferentes. diferentes. Se Se demostrara demostrara que que lo lo an an no puede suceder y que las respues respuestas tas deben ser equivalent equivalentes. es.

TEOREMA DE LA UNICIDAD Supóngase Supóngase que que se se tiene tiene dos dos soluciones soluciones de de la la ecuación ecuación de de Laplace, Laplace,V 1yV 2,, ambas ambas funcion funcion generales generales de de las las coordenadas coordenadas utilizadas. utilizadas. Por Por consiguiente.

 V  0  2

1

Y 2

 0   V2 

De lo cual

V

2



1



V2  0 

Cada Cada solución solución debe debe satisfacer satisfacer también también las las co condiciones ndiciones las frontera, y si se representan valores del potencial sobre las fronteras por Vb, entonces el valor valor de V1 de sobre la fron es V1b y el valor de V2sobre sobre la la frontera frontera es es V2 b , y ambos deben ser idénticos a Vb 

O V1b

V2b  0 





Utilizamos Utilizamos la la identidad identidad vectorial, vectorial,





 VD

V

 . D

D.

 V   

La La cual cual es es válida válida para para cualquier cualquier escalar escalar VV yy de de cualquier cualquier vector vector D. D. en en la la presente presente aplicac aplicac seleccionará V1 V2 como el escalar y  V1 V2 como el vector, es decir,

 V  V   V  V   V V  . V V    V V . V V  1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

Esta expresión debe integrarse sobre sobre todo el volumen encerrado por las superficies superficies se se f



  V V  . V  V  dv     V  V 

 2



1

2

1

2

1

vol

vol

2

dv



El Elteorema teoremade dela ladivergencia divergenciapermite permitereemplazar reemplazarla laintegral integralde devolumen volumendel dellado ladoizquier izquie la la identidad identidadpor porla la integral integralcerrada cerrada de de superficie superficie sobre sobre la lasuperficie superficieque que rodea rodea el elvolume volum superficie superficie tiene tiene fronteras fronteras ya ya especificadas especificadas en enlas las cuales cualesV 1b V 2b, por consiguiente 

.  V  V  V  V  dv   V  V  V  V  . dS  0            1

2

1

1b

2

vol

S

2b

1b

b 2



Uno Uno de de los los factores factores de de la la primera primera integral integral del del lado lado derecho derechode de (11) (11) es es . (V 1 V 2) O O 

2

(V1  V2 ) que, que, por porhipótesis, hipótesis, debe debe anularse, anularse, yypor por lo lo que que la la integral integral también también es es cero. cero

consecuencia, consecuencia, la laintegral integral de de volumen volumen restante restante queda queda igualada igualada aa cero: cero:  2

 V V  d v  0  1

2

vol

Existen Existen en en general generaldos dos razones razones por porlas las cuales cuales una unaintegral integral se seanula: anula: ooel el integrando integrando (la (la cantidad cantidad debajo debajode de símbolo símbolode de la la integral) integral)es es cero cero en en todo todo punto, punto,oo el el integrando integrandoes es pos po en enunas unasregiones regionesyynegativas negativasen enotras, otras, fe femanera maneraque queas ascontribuciones contribucionesse secancela cancela (V1 algebraicamente. algebraicamente. En En este este caso, caso, la la primera razón es la que debe ser válida porque[∇ [ (V 2 V2)] no puede ser negativo. Por lo tanto,  2

 V1  V2    0  Y





 V1 V2  0 

V1 −V 2 es cero en todos partes, entonces V 1 −V 2 no pue Por último, si el gradiente de V cambiar con ningún de las coordenadas y V1



V2



cons tantes 

SiSies esposible posibledemostrar demostrarque queesta estaconstante constantees escero ceroestaría estaríademostrada demostradalalaprueba. prueba.El Elval va constante constante se se determina determina con con facilidad facilidad considerado considerado un un punto punto sobre sobre la la frontera. frontera. Ahí, Ahí, VV − 1 V1b − V2b == 0, 0, lo lo que que indica indica que que efectivamente efectivamente la la constante constante es es cero, cero, yy por por lo lo tanto tanto V1



V2 

Es Es decir, decir, las las dos dos soluciones soluciones son son en en esencia esencia la la misma. misma. El El teorema teorema de de unicidad unicidad también también se se aplica aplica aa la la ecuación ecuación de de poisson, poisson, pues pues sisi ∇V 1 = −ρν ∇2V2 = −ρ ν/e, e,entonces entonces como antes ∇2(V1 − V2) = 0. Las condiciones de frontera exige



condiciones de frontera dadas, se tiene resuelto el problema de una vez y para siempre Ningún otro meto puede dar una respuesta diferente.

EJEMPLOS DE LA SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE PROBLEMA_1 Supóngase Supóngase que quefísico VV es es solo solo función función de de XX yyse se guardara guardara para para más más tarde tarde la la preocupación preocupación por po cuál cuálproblema problema físico se seestá está resolviendo resolviendo cuando cuando se setenga tenga loa loanecesidad necesidad de delas lascondicion condicion frontera. frontera. La La ecuación ecuación de Laplace Laplace se se reduce reduce aa 2

 V x

2

 0 

YY la laderivada derivada parcial parcial se se puede puede reemplazar reemplazarpor por una una ordinaria, ordinaria,ya ya que que VV no no es es función función de deY Z, 2

 V x

2

  0

Integrando dos veces, se obtiene primero V  A  x

Y después V=Ax+B

(12)

Donde Donde AA yy BB son son constantes constantes se se integración. integración. La La ecuación ecuación (12) (12) contiene contiene dos dos de de estas estas constantes, constantes, como como se se esperaría esperaría en en la la solución solución de de una una ecuación ecuación deferencial deferencial de de segund segund orden. orden. Estas Estas constantes constantes se se determinan determinan aa solo solo de de las las condiciones condiciones de de frontera. frontera. ¿Qué ¿Qué condiciones condiciones de de frontera frontera se se deben deben dar? dar? Se Se está está en en libertad libertad de de escogerlas, escogerlas, puest pues ningún ningún problema problema físico físico se se ha ha especificado especificado todavía, todavía, aa excepcionar excepcionar de de la la hipótesis hipótesis orig orig de deque queel elpotencial potencialvaria varia solo solocon conX, X, se seintentara intentaraahora ahora visualizar visualizartal talcampo. campo.Quizás Quizásy sospeche sospeche la la respuesta; respuesta; sin sin embargo embargo se se obtendrá obtendrá por por métodos métodos exactos. exactos. Puesta Puesta que que el el campo campo varia varia solo solo con con XX yy no no es es función función de de YY ni ni Z, Z, entonces entonces VV será será cons cons sisi XX es es constantes constantes o, o, en en otras otras palabras, palabras, las las superficies superficies se se describen describen dándole dándole aa XX un un va v constante. constante. Estas Estas superficies superficies son son planos planos paralelos paralelos normales normales al al eje eje X. X. el el campo campo es es ento ent el el de de un un condensador condensador de de placas placas paralelas, paralelas, yy tan tan pronto pronto como como se se especifique especifique el el poten poten en en cualquier cualquier pareja pareja de de planos planos se se puede puede evaluar evaluar las las constantes constantes de de integración. integración. enx = x1 y V = V2 enx enx = x2. Estos valo Para Para tratar tratar el el problema problema en en general, general, sea sea V = V1 enx sustituyen en (12), lo que da

V  A B

V



A



B



 Se pudo haber obtener una una respuesta más sencilla sencilla eligiendo eligiendo condiciones condiciones de de frontera frontera m en x x  = d, entonces sencilla. sencilla. Por Por ejemplo, ejemplo, si si se se fijan fijan los los valores valores V = 0 en enx x = 0 y V = V 0 A

V0 

d

V

V0x 

d





B=0

(13)

Supóngase Supóngaseque quela laprimera primerameta metaes esencontrar encontrarla lacapacitancia capacitanciade deun uncondensador condensadorde deplac pla paralelas. paralelas.Se Seha haresuelto resueltola laecuación ecuaciónde deLaplace, Laplace,obteniendo obteniendo(12) (12)con conlas lasdos dosconstantes constante ¿deben evaluar o dejarse cómo cómo están? Por Por pr presunción, esunción, no no está está interesado interesado en en el el campo campo potencial potencialmismo, mismo,sino sinosolo soloen enlalacapacitancia, capacitancia,yyse sepueda puedacontinuar continuarexitosamente exitosamentecon conAA simplificar simplificarel el álgebra álgebra con con un un poco poco de de previsión. previsión. La La capacitancia capacitancia está está dada dada por por el el cocient cocient carga cargaentre entrelaladiferencia diferenciade depotencial, potencial,entonces, entonces,sisise seelige eligelaladiferencia diferenciade depotencial potencialco co ,, lo loque que es es equivalente equivalente aa fijar fijaruna una condición condición de de frontera, frontera, se se puede puede escoger escoger luego luegouna una seg se condición condición de de frontera, frontera, se se puede puede escoger escoger luego luego una una segunda segunda condición condición de de frontera, frontera, cualq cual que quesea, sea,que queayude ayudeaasimplificar simplificarlolomás másque quese sepueda puedalalaforma formade delalaecuación. ecuación.Esta Estaes eslala de ser del segundo conjunto de condiciones de frontera que produjeron (13), la diferenc diferen potencial fue fijada como V0;; la la colocación colocaciónde de estas estas placas placas se se hizo hizo de de llaa manera manera más si enx x = 0. posible utilizando V = 0 en Utilizando Utilizando(13) (13)aún aúnse senecesario necesariolalacarga cargatotal totalsobre sobrecada cadaplaca placaantes antesde deque quesea seafactible factib encontrar encontrar la la capacitancia. Después Después de que las condiciones de de frontera frontera se se han han seleccionado, seleccionado, los los pasos pasos necesarios necesarios ss 1. 2. 3. 4. 5.

Dado V utilícese E = −∇V para encontrar E Utilice D E para encontrar de D Evalúese Evalúese D en en cada placa placa del del condensador, D = D S = D N a N. Reconózcase que ρ S =  D N. Encontrar Q por medio de una unaintegración integraciónde desuperficie superficiesobre sobrela laplaca placadel delcondensado condensado 



Q  sdS  s

Al aplicarlos, se tiene

V

E



V0

x

V0  

d

d



ax



 aN

DN

Q

a X 

 



V



V0

 

0

d

s



d

s 

dS  

V0 S d



YY la la capacitancia capacitancia es es

C

Q  S 

V0



d



Se Se empleara empleara este este procedimiento procedimiento varias variasveces veces en enlos los ejemplos siguientes.

EJEMPLO_2 EJEMPLO_2 Puesto Puestoque quela laelección elecciónde decampos camposque quevaríen varíensolo solocon conYYoocon conZZen encoordenadas coordenadascartesia cartesi no no conducen conducen aa la la solución solución de de problemas problemas nuevos, nuevos, se se pasara pasara aacoordenadas coordenadas cilíndricas cilíndricas en en siguiente siguiente ejemplo. ejemplo. Nuevamente Nuevamente las las variaciones variacionescon con respecto respecto aa Z no constituyen nada n suponiendo solo variaciones con respecto a  , la ecuación de Laplace se transforma e

  V   0        1

Como  esta en el denominador, se excluye  =0 de la solución, multiplicando por  e integrando dV 



d

A 

Realegrando e integrando de nuevo, V



A ln  B 

Las Las superficies superficies equipotenciales equipotenciales están están por por =constante =constanteyyson soncilindros, cilindros,yyel elproblema problemaes es un un condensador condensador coaxial coaxial oo una una línea línea de de transmisión transmisión coaxial. coaxial. Eligiendo Eligiendo una una diferencia diferencia de de b> a, se obtiene potencial V0 ,, yy utilizando V = V0 enρ = a, V = 0 en ρ = b, b V



V0

   ln  b / a ln b /

(16)



 DN

V0



a

 







a ln b / a

V

aL

ln

/

 0 2 

Q



a

C

b



ln b / a

