Resolución de problemas electrostáticos - Ecuación de Laplace y Poisson y Método de las imágenes PDF

Preview

Summary

La Cátedra de Electromagnetismo I, contiene las bases empíricas de los fenómenos eléctricos y magnéticos desde el punto de viste vectorial para un curso de Física, que en mi caso, forma parte de las carreras Profesorado en Física y Licenciatura en Física de la Universidad Nacional de Catamarca, cuyo...

Description

ELECTROMAGNETISMO I Universidad Nacional de Catamarca – FACEN (Julio del 2019) Autor: Santiago Décima

UNIDAD 2: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS Los problemas electrostáticos son aquellos que tratan con los efectos de las cargas eléctricas en reposo. Estos problemas pueden presentarse de manera diferente de acuerdo con lo que se conoce inicialmente.

Si se proporciona la distribución de la carga, tanto 𝜑 como 𝐸󰇍 se pueden encontrar mediante las fórmulas ya desarrolladas (Fórmula integral para 𝐸󰇍 o Ley de Gauss). En muchos problemas prácticos, la distribución de carga exacta no se conoce en todas partes, y las fórmulas ya estudiadas no permiten calcular 𝐸󰇍 o 𝜑 directamente. Por ejemplo, si se conocen las cargas en ciertos puntos del espacio y los potenciales de algunos cuerpos conductores, es difícil encontrar la distribución de carga superficial sobre los cuerpos conductores y/o intensidad de campo eléctrico en el espacio. Cuando los cuerpos conductores tienen una geometría simple se puede utilizar el Método de las Imágenes con gran ventaja.

En otros problemas, se pueden conocer los 𝜑 de todos los cuerpos conductores, y se desea encontrar 𝜑 y 𝐸󰇍 en el espacio circundante, así como la 𝜎 en los límites de los conductores. En este caso se deben resolver las ecuaciones diferenciales con las condiciones de contorno apropiadas. Estos son Problemas con valor en la frontera. 2.1. Ecuación de Poisson y Laplace En la unidad anterior hemos visto métodos de cálculo del campo electrostático en el vacío que se basan en ecuaciones integrales que expresan el campo y el potencial electrostáticos en función de la distribución de cargas y la ley de Gauss. En esta sección introduciremos el análisis de métodos que se basan en las ecuaciones diferenciales del campo y el potencial electrostático. La forma diferencial de la ley de Gauss lleva a la ECUACIÓN DE POISSON, que vincula directamente el potencial electrostático a las fuentes de campo, es decir, las cargas: ∇ ∙ 𝐸󰇍 = Pero, por (1.16):

𝜌(𝑟′ ) 𝜀0

∇ ∙ (−∇𝜑) =

Entonces:

𝜌(𝑟′ ) 𝜀0

𝜌(𝑟′ ) ∇ ∙ ∇𝜑 = − 𝜀0

Página | 1

ELECTROMAGNETISMO I Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa (Julio del 2019) Autor: Santiago Décima 𝜌(𝑟) (2.1) ∇2 𝜑 = − 𝜀 0

Para puntos del espacio donde no hay carga (𝜌(𝑟) = 0) vale la ECUACIÓN DE LAPLACE: ∇2 𝜑 = 0 (2.2)

El operador laplaciano se forma a partir de la divergencia del gradiente (∇ ∙ ∇). Ya que ambas operaciones involucran derivadas parciales de primer orden, la ecuación de Poisson o Laplace involucran ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden. Dependiendo del sistema de coordenadas con el que se trabaje el operador se escribirá de forma diferente. En coordenadas cartesianas: ∇2 𝜑 = ∇ ∙ ∇𝜑 = (

𝜕Φ 𝜕Φ 𝜕 𝜕Φ 𝜕 𝜕 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧 ) ∙ ( 𝑎 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑧 ∇2 Φ =

𝜕2Φ 𝜕2 Φ 𝜕2Φ + + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

(Ver apéndices para la divergencia del gradiente de una función en otros sistemas de coordenadas). 2.2. Condiciones de Borde y Unicidad de las Soluciones. Condiciones de Borde: En la práctica se presenta un problema de potencial, que consiste en una determinada función estática 𝑓(𝑟) que está definida y cumple la ecuación diferencial de Poisson dentro de un recinto de integración 𝑉 junto con condiciones de contorno definidas sobre la superficie 𝑆 frontera del recinto de integración 𝑉 y eventuales superficies internas (𝑆1 , 𝑆2 , etc.) que separan regiones de propiedades diferentes (permitividad, permeabilidad, conductividad, etc.). Las técnicas habituales de resolución llevan a postular una función potencial generalmente diferente en cada región, que sobre las superficies internas también cumplen condiciones de contorno.

Figura 2.1: Recinto 𝑉 cuya superficie frontera es 𝑆, que está dividida en 𝑆1 , 𝑆2 , etc. Página | 2

ELECTROMAGNETISMO I Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa (Julio del 2019) Autor: Santiago Décima Las condiciones de contorno son, en general, definidas por el valor o la continuidad de la función potencial sobre una superficie (condición de Dirichlet) y/o el valor o la continuidad de la derivada del potencial en la dirección normal a la superficie (condición de Neumann), o una mezcla de estas condiciones. Unicidad y otras propiedades de las Soluciones: Los problemas de potencial y las soluciones de la ecuación de Laplace tienen diversas propiedades matemáticas que facilitan su resolución. Las propiedades fundamentales son: 

Superposición: Si 𝜑1 (𝑟) y 𝜑2 (𝑟) satisfacen la ecuación de Laplace: ∇2 𝜑1 (𝑟) = 0 ; ∇2 𝜑2 (𝑟) = 0

En una determinada región del espacio, también la satisface cualquier combinación lineal:

Demostración:

𝜑(𝑟) = 𝜆1 𝜑1 (𝑟) + 𝜆2 𝜑2 (𝑟)

∇2 𝜑(𝑟) = ∇2 (𝜆1 𝜑1 (𝑟) + 𝜆2 𝜑2 (𝑟))

Y por linealidad del operador laplaciano:

∇2 𝜑(𝑟) = ∇2 (𝜆1 𝜑1 (𝑟)) + ∇ 2 (𝜆2 𝜑2 (𝑟)) ∇2 𝜑(𝑟) = 𝜆1 ∇2 𝜑1 (𝑟) + 𝜆2 ∇2 𝜑2 (𝑟) ∇2 𝜑(𝑟) = 𝜆1 (0) + 𝜆2 (0)



∇2 𝜑(𝑟) = 0

Unicidad: La solución de un problema de potencial es única. Si 𝜑1 (𝑟) y 𝜑2 (𝑟) satisfacen la ecuación de Poisson dentro de un recinto 𝑉 y cumplen las condiciones de borde del problema en estudio sobre el contorno del recinto (valor del potencial y/o su derivada normal), sólo pueden diferir en una constante aditiva: 𝜑1 (𝑟) = 𝜑2 (𝑟) + 𝐶

Demostración:

Sea 𝜓(𝑟) una función cualquiera diferenciable. Usamos el teorema de la divergencia para 𝜓(𝑟)∇𝜓(𝑟) ≡ 𝜓∇𝜓 dentro del recinto 𝑉 del enunciado: ∮ (𝜓∇𝜓) ∙ 𝑛𝑑𝑆 = ∫ ∇ ∙ (𝜓∇𝜓) 𝑑𝑉 𝑆

Y usando una identidad vectorial:

𝑉

Página | 3

ELECTROMAGNETISMO I Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa (Julio del 2019) Autor: Santiago Décima ∫ ∇ ∙ (𝜓∇𝜓)𝑑𝑉 = ∫ [(∇𝜓)2 + (𝜓∇2 𝜓)]𝑑𝑉 Tomamos ahora:

𝑉

𝑉

𝜓(𝑟) = 𝜑1 (𝑟) − 𝜑2 (𝑟)

Entonces:

∮ [(𝜑1 − 𝜑2 )∇(𝜑1 − 𝜑2 )] ∙ 𝑛 𝑑𝑆 𝑆

= ∫ [∇(𝜑1 − 𝜑2 )2 + (𝜑1 − 𝜑2 )∇2 (𝜑1 − 𝜑2 )]𝑑𝑉 𝑉

Pero la integral del primer miembro es cero porque 𝜑1 (𝑟) y 𝜑2 (𝑟) satisfacen las condiciones de borde sobre la superficie contorno 𝑆 del recinto de integración. Entonces están fijos ya sea eñ valor del potencial (condición de Dirichlet – lo que anula el primer factor de integrando) o el valor de su derivada normal, asociada al gradiente (condiciónn de Neumann – lo que anula el segundo factor del integrando). Además, la segunda integral del segundo miembro es también cero, porque 𝜑1 (𝑟) y 𝜑2 (𝑟) satisfacen la ecuación de Poisson, con lo cual: Queda entonces:

∇2 (𝜑1 − 𝜑2 ) = ∇2 𝜑1 − ∇ 2 𝜑2 = 0 ∫ ∇(𝜑1 − 𝜑2 )2 𝑑𝑉 = 0 𝑉

Y como el integrando es no negativo y el recinto de integración es arbitrario, es necesario que el integrando sea nulo, de donde: ∇(𝜑1 − 𝜑2 )2 = 0 → ∇(𝜑1 − 𝜑2 ) = 0

De esta manera:



∇𝜑1 − ∇𝜑2 = 0 → ∇𝜑1 = ∇𝜑2 𝜑1 (𝑟) = 𝜑2 (𝑟) + 𝐶

Armonicidad (Teorema de Earnshaw): Si dentro de un recinto el potencial satisface la ecuación de Laplace este potencial no puede tener extremos dentro del recinto.

Demostración:

Sea 𝜑(𝑟) una funcion diferenciable que cumple la ecuación de Laplace dentro de un recinto 𝑉: ∇2 𝜑(𝑟) = 0 y sea 𝑟0 un punto cualquiera dentro de 𝑉. Si 𝜑(𝑟0 ) fuera un extremo de la función potencial, entonces tendriamos:

Página | 4

ELECTROMAGNETISMO I Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa (Julio del 2019) Autor: Santiago Décima Máximo:

Minimo:

𝜕2𝜑 𝜕2𝜑 𝜕 2 𝜑 | < 0 → ∇2 𝜑 ( 𝑟 ) < 0 0 | < 0 ; | < 0 ; 𝜕𝑧 2 𝑟0 𝜕𝑥 2 𝑟0 𝜕𝑦 2 𝑟0 𝜕2𝜑 𝜕2𝜑 𝜕2𝜑 | ≫ 0 → ∇2 𝜑(𝑟0 ) > 0 | | >0 ; >0 ; 𝜕𝑧 2 𝑟0 𝜕𝑦 2 𝑟0 𝜕𝑥 2 𝑟0

Pero ninguna de estas situaciones es posible porque dentro del recinto 𝜑(𝑟) satisface la ecuación de Laplace y entonces: ∇2 𝜑(𝑟0 ) = 0. Por lo tanto 𝑟0 no puede ser un extremo, y como es un punto cualquiera del recinto, ningún punto puede ser extremo. Interpretación del Teorema de Earnshaw: 

No existen mínimos ni máximos de potencial dentro de un recinto donde vale la ecuación de Laplace, es decir, donde no hay cargas.



Los extremos sólo pueden darse en la frontera del recinto. Un extremo de potencial equivale a un punto donde el campo (el gradiente del potencial) es nulo. Por lo tanto, no puede haber puntos de campo nulo en un recinto donde se satisface la ecuación de Laplace.



Los puntos de campo nulo corresponden a "puntos de equilibrio" del campo.



En tales puntos una carga de prueba no sufre fuerza alguna y queda en equilibrio y, si lo estaba, en reposo.



El teorema de Earnshaw dice que en un campo laplaciano no hay puntos de equilibrio, y las cargas de prueba sufren siempre fuerzas que las aceleran.

2.3. Método de las imágenes El método de imágenes, introducido por Lord Kelvin en 1848, se usa comúnmente para determinar 𝜑, 𝐸󰇍 y 𝜌, debido a cargas en presencia de conductores.

Mediante este método, evitamos resolver la ecuación de Poisson o de Laplace, y utilizamos el hecho de que una superficie conductora es una equipotencial.

Página | 5

ELECTROMAGNETISMO I Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa (Julio del 2019) Autor: Santiago Décima

Figura 2.2: Esquema de método de las imágenes.

Al aplicar este método siempre se deben cumplir dos condiciones: 

La carga (o cargas) imagen debe estar ubicada en la región conductora.



La carga (o cargas) imagen debe ubicarse de manera tal que en la superficie conductora el potencial sea cero o constante.

La primera condición es necesaria para satisfacer la ecuación de Poisson, y la segunda condición asegura que se cumplan las condiciones de contorno.

Página | 6

ELECTROMAGNETISMO I Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa (Julio del 2019) Autor: Santiago Décima

APÉNDICES

Identidades del operador diferencial 𝛁:

Para una función que sólo depende de la distancia 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2: 𝜑(𝑟) 𝑜 𝐹(𝑟): ∇=

𝑟𝑑 (7.1) 𝑟 𝑑𝑟

Tabla 7.1: Identidades del operador diferencial 𝛁 ∇ ∙ ∇𝜑 = ∇2 𝜑

(7.1.1)

∇ × ∇𝜑 = 0

(7.1.3)

(7.1.2)

∇ ∙∇ ×𝐹= 0

(7.1.4)

∇ × (∇ × 𝐹) = ∇(∇ ∙ 𝐹) − ∇2 𝐹 ∇(𝜑𝜓) = (∇𝜑)𝜓 + 𝜑(∇𝜓)

∇(𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹 ∙ ∇)𝐺 + 𝐹 × (∇ × 𝐺) + (𝐺 ∙ ∇)𝐹 + 𝐺 × (∇ × 𝐹) ∇ ∙ (𝜑𝐹) = (∇𝜑) ∙ 𝐹 + 𝜑(∇ ∙ 𝐹)

(7.1.5) (7.1.6) (7.1.7) (7.1.8)

∇ ∙ (𝐹 × 𝐺) = (∇ × 𝐹) ∙ 𝐺 − (∇ × 𝐺) ∙ 𝐹 ∇ × (𝜑𝐹) = (∇𝜑) × 𝐹 + 𝜑(∇ × 𝐹)

∇ × (𝐹 × 𝐺) = (∇ ∙ 𝐺)𝐹 − (∇ ∙ 𝐹)𝐺 + (𝐺 ∙ ∇)𝐹 − (𝐹 ∙ ∇ 󰇍󰇍 )𝐺

(7.1.9)

(7.1.10)

Relación entre los distintos sistemas de coordenadas: Cartesianas

Cilíndricas

Esféricas

𝑥

𝑟 cos 𝜙

𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙

Página | 7

ELECTROMAGNETISMO I Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa (Julio del 2019) Autor: Santiago Décima 𝑦

𝑟 sin 𝜙

𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙

𝑎𝑥

cos 𝜙 𝑎𝑟 − sin 𝜙 𝑎𝜙

sin 𝜃 cos 𝜙 𝑎𝑟 + cos 𝜃 cos 𝜙 𝑎𝜃 − sin 𝜃 𝑎𝜙

𝑎𝑧

𝑎𝑧

cos 𝜃 𝑎𝑟 − sin 𝜃 𝑎𝜃

𝑧

𝑎𝑦

𝑧

𝑟 cos 𝜃

sin 𝜙 𝑎𝑟 + cos 𝜙 𝑎𝜙

sin 𝜃 sin 𝜙 𝑎𝑟 + cos 𝜃 sin 𝜙 𝑎 𝜃 + cos 𝜙 𝑎𝜙

Cilíndricas

Cartesianas

Esféricas

𝑟

√𝑥 2 + 𝑦 2

𝑟 sin 𝜃

𝑧

𝑟 cos 𝜃

𝜙 𝑧

𝑎𝑟

𝑦 tan−1 ( ) 𝑥

𝜙

cos 𝜙 𝑎𝑥 + sin 𝜙 𝑎𝑦

sin 𝜃 𝑎𝑟 + cos 𝜃 𝑎𝜃

𝑎𝜙

− sin 𝜙 𝑎𝑥 + cos 𝜙 𝑎𝑦 𝑎𝑧

cos 𝜃 𝑎𝑟 − sin 𝜃 𝑎𝜃

Esféricas

Cartesianas

Cilíndricas

𝑟

√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

√𝑟 2 + 𝑧 2

𝑎𝑧

𝜃

cos −1 (

𝑧

√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

𝑎𝜃

)

𝑧 cos −1 ( ) √𝑟 2 + 𝑧 2

Página | 8

ELECTROMAGNETISMO I Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa (Julio del 2019) Autor: Santiago Décima 𝑥 cot −1 ( ) 𝑦

𝜙

𝜙

𝑎𝑟

cos 𝜙 𝑎𝑟 − sin 𝜙 𝑎𝜙

sin 𝜃 𝑎𝑟 + cos 𝜃 𝑎𝑧

𝑎𝜙

𝑎𝑧

𝑎𝜙

𝑎𝜃

sin 𝜙 𝑎𝑟 + cos 𝜙 𝑎𝜙

cos 𝜃 𝑎𝑟 − sin 𝜃 𝑎𝑧

Operador diferencial en distintos sistemas de coordenadas: Coordenadas cartesianas (𝒙, 𝒚, 𝒛): ∇𝜑 =

∇× 𝐹= (

𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 𝜕𝑥 𝑥 𝜕𝑦 𝑦 𝜕𝑧 𝑧

∇∙ 𝐹=

𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑧 + + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑧 ) 𝑎 − ) 𝑎𝑥 + ( − ) 𝑎𝑦 + ( − 𝜕𝑦 𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ∇2 𝜑 =

𝜕2 𝜑 𝜕2𝜑 𝜕2 𝜑 + + 𝜕𝑥2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧2

Coordenadas cilíndricas (𝒓, 𝝓, 𝒛): ∇𝜑 =

∇×𝐹= (

𝜕𝜑 1 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝑎𝑟 + 𝑎𝜙 + 𝑎 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜙 𝜕𝑧 𝑧

∇ ∙ 𝐹=

1 𝜕 1 𝜕𝐹𝜙 𝜕𝐹𝑧 (𝑟𝐹𝑟 ) + + 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝜙 𝑟 𝜕𝑟

1 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝐹𝜙 𝜕𝐹𝑟 1 𝜕(𝑟𝐹𝜙 ) 𝜕𝐹𝑟 𝜕𝐹𝑧 ] 𝑎 − ) 𝑎 + ( ) 𝑎 + [ − − 𝜕𝜙 𝑧 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜙 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝜙 ∇2 𝜑 =

1 𝜕 𝜕𝜑 1 𝜕2𝜑 𝜕2𝜑 (𝑟 ) + 2 + 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜙2 𝜕𝑧2

Coordenadas esféricas (𝒓, 𝜽, 𝝓):

∇ ∙ 𝐹=

∇𝜑 =

𝜕𝜑 1 𝜕𝜑 1 𝜕𝜑 𝑎𝑟 + 𝑎𝜃 + 𝑎 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙 𝜙

1 𝜕𝐹𝜙 1 𝜕(sin 𝜃 𝐹𝜃 )𝐴𝜙 1 𝜕 2 (𝑟 𝐹𝑟 ) + + 2 𝑟 sin 𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜃 Página | 9

ELECTROMAGNETISMO I Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa (Julio del 2019) Autor: Santiago Décima ∇×𝐹=

1

𝜕(sin 𝜃 𝐹𝜙 ) 𝜕𝐹𝜃 1 𝜕(𝑟𝐹𝜃 ) 𝜕𝐹𝑟 ] 𝑎𝜙 1 1 𝜕𝐹𝑟 𝜕(𝑟𝐹𝜙 ) ] 𝑎𝜃 + [ ] 𝑎𝑟 + [ − 𝜕𝜃 − − [ 𝜕𝑟 𝜕𝜙 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙 𝑟 𝑟 sin 𝜃 1 𝜕 𝜕𝜑 1 𝜕 𝜕𝜑 1 𝜕2𝜑 ∇2 𝜑 = 2 (𝑟 2 )+ 2 (sin 𝜃 )+ 2 2 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙2

Elemento de longitud, área, y volumen El subíndice en los elementos de área indica cual variable permanece constante, o más bien, invariable. Cartesianas

Cilíndricas

𝑑𝑙 = 𝑑𝑥𝑎𝑥 + 𝑑𝑦𝑎 𝑦 + 𝑑𝑧𝑎𝑧

𝑑𝑙 = 𝑑𝑟𝑎𝑟 + 𝑟𝑑𝜙𝑎𝜙 + 𝑑𝑧𝑎𝑧

𝑑𝑆𝑦 = 𝑑𝑥𝑑𝑧

𝑑𝑆𝜙 = 𝑑𝑟𝑑𝑧

𝑑𝑆𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑑𝑆𝑟 = 𝑟𝑑𝜙𝑑𝑧

𝑑𝑆𝑧 = 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑆𝑧 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙

𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑑𝑉 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙𝑑𝑧 Esféricas

𝑑𝑙 = 𝑑𝑟𝑎𝑟 + 𝑟𝑑𝜃𝑎𝜃 + 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙𝑎𝜙 𝑑𝑆𝑟 = 𝑟 2 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 𝑑𝑆𝜃 = 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜙 𝑑𝑆𝜙 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙

𝑑𝑉 = 𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙

En todos los casos se suele llamar a 𝜙 como el ángulo azimutal, que puede ir de 0 hasta 2𝜋, y a 𝜃 como el ángulo colatitud, que puede ir de 0 hasta 𝜋.

Página | 10

ELECTROMAGNETISMO I Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa (Julio del 2019) Autor: Santiago Décima Teoremas de identidades vectoriales: ∫ 𝑛 × ∇𝜑 𝑑𝑆 = ∮ 𝜑 𝑑𝑙 (7.2) 𝑆

𝐶

∫ ∇𝜑 𝑑𝑉 = ∮ 𝜑𝑛 𝑑𝑆 (7.3) 𝑉

𝑆

∫ ∇ × 𝐹 𝑑𝑉 = ∮ 𝑛 × 𝐹 𝑑𝑆 (7.4) 𝑉

𝑆

∫ (∇ ∙ 𝐺 + 𝐺 ∙ ∇)𝐹 𝑑𝑉 = ∮ 𝐹(𝐺 ∙ 𝑛) 𝑑𝑆 (7.5) 𝑆

𝑉

Delta de Dirac: La delta de Dirac es una funcional, es decir, es un objeto matemático definido por un conjunto de propiedades. En el caso de la delta espacial en una dimensión 𝛿 (𝑥 ), las propiedades son: 𝛿 ( 𝑥 − 𝑥0 ) = 0 ; 𝑥 ≠ 𝑥0

𝑏

∫ 𝑓(𝑥 )𝛿(𝑥 − 𝑥0 )𝑑𝑥 = { 𝑎

En tres dimensiones:

𝑓(𝑥0 ) 𝑠𝑖 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏]

𝛿 (𝑟 − 𝑟0 ) = 0 ; 𝑟 ≠ 𝑟0

∫ 𝑓(𝑟)𝛿(𝑟 − 𝑟0 ) 𝑑𝑉 = { 𝑉

0 𝑠𝑖 𝑥0 ∉ [𝑎, 𝑏]

𝑓(𝑟0 ) 𝑠𝑖 𝑟0 ∈ 𝑉 0 𝑠𝑖 𝑟0 ∉ 𝑉

Página | 11

ELECTROMAGNETISMO I Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa (Julio del 2019) Autor: Santiago Décima

BIBLIOGRAFIAS Reitz, Milford y Christy. Fundamentos de la teoría electromagnética (Tercera edición). ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA. Victoriano Lopez Rodriguez. Electromagnetismo I (Primera edición). David J. Griffiths. Introduction to electrodynamics (Cuarta edición). PEARSON

Página | 12...