Distribusi Binomial Negatif dan Distribusi Geometrik PDF

Preview

Summary

MAKALAH STATISTIKA MATEMATIKA DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DAN DISTRIBUSI GEOMETRIK Dosen Pembimbing: Abdul Aziz,M.Si Nama Kelompok: 1. Nurul Anggraeni Hidayati (14610002) 2. Nur Azlindah (14610005) 3. M. Helmi P. (14610020) 4. Roikhatul Jannah (14610021) 5. Siti Ainur Rohmah (14610030) JURUSAN MATEM...

Description

MAKALAH STATISTIKA MATEMATIKA

DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DAN DISTRIBUSI GEOMETRIK

Dosen Pembimbing: Abdul Aziz,M.Si

Nama Kelompok: 1. 2. 3. 4. 5.

Nurul Anggraeni Hidayati Nur Azlindah M. Helmi P. Roikhatul Jannah Siti Ainur Rohmah

(14610002) (14610005) (14610020) (14610021) (14610030)

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2016

1. Distribusi Binomial Negatif (Negative Binomial)

1.1 Definisi Distribusi ini berkaitan dengan suatu percobaan yang diulang beberapa kali secara bebas sehingga mendapatkan sukses yang ke- . Dimana sukses terakhir adalah akhir percobaan. Secara khusus, untuk distribusi geometrik.

=

distribusi ini sama dengan

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial negatif termasuk distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan yang saling bebas. Percobaan akan mengikuti distribusi binomial jika dalam setiap percobaan selalu memiliki dua kejadian yang mungkin, yakni ”Sukses” atau ”Gagal”. Dimana dua kemungkinan tersebut selalu memiliki nilai probabilitas yang sama. Dalam praktiknya, sukses dan gagal dapat didefinisikan sesuai keperluan, Misal: 1.

Lulus (sukses), tidak lulus (gagal)

2. Setuju (sukses), tidak setuju (gagal) 3. Barang bagus (sukses), barang sortiran (gagal) 4. Puas (sukses), tidak puas (gagal)

Percobaan akan mengikuti distribusi binomial negatif jika: 1. Percobaan terdiri atas

usaha yang saling independen atau saling bebas,

maksudnya hasil suatu percobaan tidak akan berpengaruh terhadap hasil percobaan selanjutnya. 2. Tiap percobaan hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal. 3. Probabilitas sukses dan gagal untuk tiap percobaan adalah tetap, yaitu probabilitas gagal adalah

−

dan

Variabel random yang menyatakan banyaknya percobaan agar terjadi sukses ke-

merupakan variable random binomial negatif.

1.2 Fungsi Peluang Secara umum jika yang ke-r,

sebagai banyak percobaan sehingga didapat sukses

menyatakan peluang sukses, dan

menyatakan peluang gagal.

Sehingga diperoleh pdf atau fungsi kepadatan peluang dari − −

=

= , + , + , + ,..

atau

− −

=

Fungsi

−

adalah

−

−

= , + , + , + ,..

disebut fungsi kepadatan peluang (distribusi binomial

negative) dari peubah acak X diskrit, jika memenuhi kedua syarat fungsi peluang ; 1. Untuk syarat yang pertama jelas bahwa 2. ∑

=

Proof ∑

= ∑∞= ( = (

=( = =

− −

)

− −

)

= ∑∞=

− −

+ −

+⋯ +( +

+

−

+(

)

−

− −

−

+ − −

+ !

!

!

)

+(

+(

−

−

+ − −

−

)

+(

! − !

! − !

! − !

−

−

−

+ − −

=

)

−

−

+

+ −

−

)

)

−

−

+(

+ −

+

+⋯ + !

! − !

+⋯

−

+ −

+ −

)

+(

+ !

+ − −

−

+(

+ − −

− + −

)

+( −

! − !

+

+ !

)

! − !

−

− + −

)

−

+⋯

+

−

+⋯

=

= =

=

− !

{ +

+⋯} { +

−

!

( − − �

−

! − !

)

=

+

+

=

�

+

+

!

− +

�

− !

=

+

+

−

+

+

−

! − !

!

+

+

! − !

− !

−

+⋯}

−

�

Dari pembuktian diatas dapat di ketahui bahwa fungsi

merupakan

fungsi kepadatan peluang dari peubah acak X diskrit. Peubah acak semacam ini disebut bersebaran binomial negatif (negative binomial), di notasikan ~

sebagai ; ,

,

, dan fungsi kepadatan peluangnya ditulis sebagai

. sehingga ~

,

↔ =

Dimana

=

=

; ,

=(

= , + , + ….

− ) −

adalah peluang terjadi sukses ke

Distribusi peluang dari peubah acak dengan menggunakan transformasi

−

−

pada percobaan ke .

dapat dinyatakan dengan bentuk lain, =

− , dimana

menyatakan jumlah

kegagalan sebelum terjadi sukses . Distribusi peubah acak Y dapat dinyatakan

dengan

=

=

; ,

=(

+ − ) −

= , , , ,…

Kata binomial negatif didapat dari hubungan distribusi peluang dari peubah acak dengan bentuk lain yang sudah dijelaskan sebelumnya, lebih lengkapnya sebagai berikut: (

+

−

)= −

−

= −

− − −

… − − − …

+

Suatu peubah acak � berdistribusi negatif binomial bila (untuk suatu

bilangan bulat �

, dan suatu p dengan

�

Dalam percobaan tertentu dikatakan

menyatakan peluang gagal sehingga

=

menyatakan peluang sukses, dan

dapat dikatakan

− , dimana

percobaan yang dilakukan bebas satu sama lain.

1.3 Parameter Distribusi a. Mean/Ekspektasi �

=

keterangan: = Jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke− = Peluang sukses proof: =∑

�

= ∑∞=

(

− −

= ( − ) − + − ( − ) = ( =

= =

=

=

− −

)

+

+⋯

−

+

−

{ +

+

{ +

+

{ +

{ +

−

)

+

+

= ∑∞=

−

−

+ +

+

!

− −

(

+ ( − +⋯

+

(

−

( − − )! − ! !

! − !

!

!

−

− ! − !

−

−

+

+

+ −

+

+

)

+ − −

)

)

−

−

−

+

+

+

! − !

+ !

−

−

(

+ + −

+ )

−

+ !

( + − − )! − !

+ !

+

+

+ −

− +

+

+

−

+ !

−

+ ⋯}

−

+ ⋯}

− − !

+ ⋯}

+⋯

!

−

+ ⋯}

=

=

{ +

+

− −

=

�

b. Varian

�+

=

=

−

=

+

+

− +

�+

+

=

�

+ ⋯}

− �+

−

=

keterangan: = Jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke− = Peluang sukses proof: �(

−

) =∑

= ∑∞= =

=

=

+ +

+

+

+

+

−

= =

+

− − −

ǃ

ǃ − ǃ + ǃ

ǃ − ǃ +

+

+

(

+ ( + ( − )

= + ⋯} =

−

ǃ

) −

−

−

−

+

−

{ +

+

− −

)

−

−

−

+

+

− + +⋯

+

− − �+

−

+⋯

+

+

+

−

�+

+ −

)

−

+ ǃ

+

+

+

− +

+

−

ǃ − ǃ

ǃ

+⋯

ǃ

(

ǃ

+

−

+

�(

−

)=�

−

=�

−�

=�

=�

− �

−�

�

=�

−�

Penjabaran diatas sesuai dengan teorema ekspektasi. �

= �(

−

=

+

=

+ −

=

+ −

Var (x) = � =

−

+

−� –

−rp

=

+

−

+ −

)+ �

−

=

c. Fungsi Pembangkit Momen =

�

−

Keterangan:

�

−

p=Peluang Sukses Proof: =�

=∑ =

�� � �

+

= ∑∞=

� +

�

−

(

− −

)

−

−

+

− � +

(

+ ) −

−

+⋯

=

= =

=

=

�

{ +

�

{ +

�

{ +

�

��

− −

− −

� � !

(

!

! − ! − !

! − ! �

−

− −

)+

�

+

�

+

+

!

+ !

! − !

(

+

�

−

− !

! − !

−

−

+⋯}

) +⋯}

+⋯}

�� �

��

1.4 Contoh Aplikasi Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.

Contoh soal binomial negatif Dalam suatu turnamen bola voli pertandingan dinyatakan berakhir jika salah satu tim sudah memperoleh tiga kali kemenangan. Missal tim A sedang berhadapan dengan tim B. bedasarkan data yang diperoleh dari pertandingan= . , pada tiap

pertandingan sebelumnya diperoleh bahwa

pertemuan dan anggap merupakan kejadian bebas. Berapakah peluang bahwa pertandingan berakhir dalam empat pertemuan? Diketahui:

=

=

=

=

= .

= .

Ditanyakan: Peluang pertandingan berakhir pada empat pertemuan? Pertandingan akan berakhir jika A menang atau B menang. Artinya, pertandingan akan berakhir jika A berhasil memperoleh 3 kali kemenangan atau B berhasil memperoleh 3 kali kemenangan. P(A menang dalam pertandingan) + P(B menang dalam pertandingan)

Jawab:P(A menang dalam pertandingan) =

∗

; ,

=( ) .

.

=

=

=

∗

; , .

! !

. !

!. !

=

.

.

.

= .

∗

; ,

=( ) .

.

P(B menang dalam pertandingan)= = =

=

=

∗

!

. !

!. !

= .

.

.

.

)

) .

−

=(

− −

)

−

=(

.

−

.

; , .

!

− −

− −

=(

=(

− −

) .

.

−

.

P(A menang dalam pertandingan) + P(B menang dalam pertandingan) = .

+ .

= .

2. Distribusi Geometrik

2.1 Definisi Distribusi geometrik adalah kasus khusus dari distribusi binomial negatif untuk

=

, yaitu distribusi peluang banyaknya percobaan yang diperlukan

untuk mendapatkan sukses pertama. Distribusi ini berpangkal pada percobaan Bernoulli dimana hanya terdapat dua kemungkinan yaitu sukses atau gagal, yang diulang berkali-kali sampai

mendapatkan sukses pertama. Dimana setiap percobaan tidak akan berpengaruh pada percobaan selanjutnya.

2.2 Fungsi Peluang Secara umum jika sukses pertama,

adalah sebagai banyak percobaan sampai mendapatkan

menyatakan peluang kejadian sukses, dan

peluan kejadian gagal. Maka diperoleh pdf dari −

=

−

−

adalah

= , , . ..

Atau

=

menyatakan

= , , . ..

Peubah acak semacam ini disebut bersebaran geometrik, ditulis sebagai ~��

, dan pdf atau fungsi kepadatan peluangnya nya ditulis sebagai

Fungsi

~��

↔

=

=

−

−

,

= , , ,…

disebut fungsi kepadatan peluang (distribusi geometrik) dari

peubah acak X diskrit, jika memenuhi kedua syarat fungsi peluang ; 1. Untuk syarat yang pertama jelas bahwa 2. ∑

=

Untuk pembuktian : ∑

= ∑∞=

=

=

−

−

+

= { +

=

− −

= ∑∞= +

−

−

=

+

−

+

=

− −

−

−

−

+

+

+

− −

−

−

+

+⋯

−

−

+⋯

+⋯}

Seperti sebelumnya, distribusi peluang dari peubah acak dengan bentuk lain, dengan menggunakan transformasi

=

dapat dinyatakan − , dimana

menyatakan jumlah kegagalan sebelum terjadi sukses . Khusus untuk distribusi geometrik,

= . Distribusi peubah acak Y dapat dinyatakan dengan =

=

=

; ,

=

=

=

=(

; ,

; ,

+

ℎ

=

−

−

)

= , , , ,…

= , , , ,…

=

= , , , ,…

Sifat tanpa memori Misal ~��

> + | >

. Maka

Proof:

> + | >

=

� �> +

=

=

�>

−( −

−( −

=

=

+

)

)

−

�≤ +

−� �≤

=

+

>

2.3 Parameter Distribusi a. Mean/Ekspektasi � keterangan: = Peluang sukses

proof:

E(X) = ∑

= ∑∞=

−

−

=

=

>

=

+

−

{ +

=

=

−

− −

=

+

−

+

+

−

+

−

+⋯

+⋯}

−

=

b. Varian �

=

−

keterangan: = Peluang sukses

proof: �(

)=∑

−

= ∑∞=

−

=

−

= = −

= = �( =

−

−

+

−

−

= + − +.. −

. .

�

−

{ +

−

)+ �

−

+ . .

−

+ . .

−

+

−

− −

+

+

− −

+⋯}

=

−

=

−

+

Var (x) = � =

−

=

− −

=

−

−�

-

c. Fungsi Pembangkit Momen =

Keterangan:

�

−

−

�

−

+

�

p=Peluang sukses proof: ��

=�

�

=∑

= ∑∞= =

= = =

�

�{ �

+

�

+

−� �

��

− −

�

�

−

−

−

−

−

+ �

�

−

+

�

−

−

+⋯}

+⋯

��

2.4 Contoh Aplikasi Area aplikasi untuk distribusi geometrik misalkan dalam mengetahui tingkat keberhasilan pengeboran minyak, dan penggalian sumur.

Contoh soal distribusi geometrik Peluang seorang pemain basket memasukkan bola kedalam keranjang adalah 0.7. karena dilanggar oleh pemain lawan maka pemain tersebut mendapatkan hadiah “3 bola”. Jika masing-masing kesempatan untuk memasukkan bola kita anggap bebas, maka berapakah peluang bahwa pemain tadi pertama kali memasukkan bola pada kesempatan ketiga? Berapakah peluang paling sedikit pemain tersebut memasukkan satu bola pada ketiga kesempatan? Diketahui:

(kejadian sukses memasukkan bola ke dalam keranjang)= =

–

=

− . = .

Misalkan “x adalah banyaknya percobaan untuk mendapatkan sukses pertama”

Ditanyakan:

a.

=

=

b. Jawab:

=

= ⋯? =

=

= ⋯? ;

=

; .

−

=

=

=

.

=

=

=

=

.

; .

= . { .

= .

.

= .
<...