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Universit´ e Paris-Sud Math´ ematiques

Math 201 1er semestre 17/18

DM 1 d’analyse A pr´ eparer pour la semaine du 02 octobre 2017 Exercice 1

(2n)! . On rappelle la convention 0! = 1. (2n n!)2 1. X Le crit`ere de d’Alembert permet-il de conclure quant a` la convergence de la s´erie un ?

Soit (un )n≥0 la suite d´efinie en posant un =

n≥0

2. Montrer que ln

u

n+1



∼−

1

un  +∞  2n un+1

mencera par ´ecrire ln

. En d´eduire lim un = 0. (Pour cela, on comn→+∞

= ln(un+1 ) − ln(un ).)  (n + 1)u  n+1 3. D´eterminer un ´equivalent de ln quand n → +∞. En d´eduire lim nun = n→+∞ nun +∞. P 4. En d´eduire la nature de la s´erie n≥0 un . un

Exercice 2. On consid`ere la s´erie de terme g´en´eral : un = Pn

k=1

(−1)n , √1 + (−1)n−1 k

1. En comparant avec une int´egrale, montrer que

n ≥ 1. n X √ 1 √ ∼ 2 n quand n tend vers k k=1

+∞. P 2. En utilisant un d´eveloppement limit´e, d´evelopper un et montrer que la s´erie n≥1 un diverge....