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solución de problemas de tasa de interés de matemarticas finacniera...

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MATEMÁTICA FINANCIERA GRUPO 341 / 349

22 SEPTIEMBRE 2021

EQUIVALENCIA EN TASAS DE INTERÉS Juan invierte $20’000.000 en una empresa que le garantiza un rendimiento del 16% capitalizable bimestralmente. Cuál debería ser la tasa efectiva semestral que debería reconocer una corporación financiera para que la rentabilidad sea igual a la que ofrece la empresa.

Podemos, entonces, afirmar que 16% 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 es equivalente a una tasa de 8.215% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙. Esto es igual a decir 8.215% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Transformación entre tasas de interés. Equivalencias Tenemos tasa nominal y tasa efectiva. Una tasa nominal es una tasa de referencia. Normalmente, aunque no se mencione, es anual. La tasa efectiva es la que se aplica, efectivamente, en un período. La tasa nominal SE DIVIDE entre el número de períodos de conversión que tiene un año. Si la tasa nominal tiene período de referencia diferente al año, debemos considerar cuántos períodos de capitalización tiene la tasa nominal. Ejemplo: una tasa de interés de 4.5% trimestral con capitalización mensual. NO DICE que es nominal, pero reconozco que lo es porque tiene capitalización diferente al período de la tasa. 4.5% trimestral con capitalización mensual: un trimestre tiene 3 meses 4.5% = 1.5% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 3 4.5% con capitalización mensual. Esta tasa es anual. El año tiene 12 meses. 𝑖𝑚 =

4.5% 𝑖𝑚 = 12 = 0.375% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 Hallar la tasa nominal equivalente a una tasa de 𝑖 = 1.8% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

𝑖 = 3.7% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

𝑖 = 0.82% 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙

1.8% ∗ 12 = 21.6% 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

3.7% ∗ 4 = 14.8% 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

0.82% ∗ 24 = 19.68% 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

Por otro lado, una tasa de interés puede ser ANTICIPADA o VENCIDA. Es importante tener en cuenta que todos los modelos matemáticos usados en los procedimientos de la matemática financiera se dan para tasa vencidas. Pero una tasa de interés también puede ser anticipada. Hallar la tasa anticipada equivalente a una tasa de 8.5% trimestral. 8.5% trimestral

significa que es EFECTIVA y VENCIDA 𝑖𝑎 = 𝑖𝑎 =

𝑖𝑣 ∗ 100 1 + 𝑖𝑣

0.085 ∗ 100 = 7.83% 1 + 0.085

Es decir, que 8.5% trimestral equivale a 7.83% trimestral anticipado

Hallar la tasa vencida equivalente a una tasa de 7.83% trimestral anticipado 𝑖𝑣 = 𝑖𝑎 =

𝑖𝑎

1 − 𝑖𝑎

∗ 100

0.0783 ∗ 100 = 8.50% 1 − 0.0783

La condición de ANTICIPADO o VENCIDO es la segunda que se transforma y es la penúltima en transformar. Sólo cuando una tasa de interés tiene carácter de EFECTIVA y VENCIDA, podemos transformar en los períodos. Es decir, pasar de tasa mensual a trimestral, de bimestral a semestral, de anual a semestral, etc. Hallemos la tasa efectiva trimestral que equivale a 4,5% efectivo bimestral. Tasa dada: 4,5% efectivo bimestral. El año tiene 6 bimestres: m=6 Tasa pedida: tasa efectiva trimestral. El año tiene 4 trimestres: n=4 Modelo matemático 𝑚

𝑖𝑡 = [(1 + 𝑖𝑏 ) 𝑛 − 1] × 100 6

𝑖𝑡 = [(1 + 0.045) 4 − 1] × 100 = 6.83% 4.5% efectivo bimestral es equivalente a 6.83% efectivo trimestral

Hallemos la tasa efectiva trimestral que equivale a 4,5% efectivo bimestral. Tasa dada: 4,5% efectivo bimestral. Tasa pedida: tasa efectiva trimestral. Voy de bimestre a trimestre. O sea que voy de menor a mayor. En un trimestre, ¿cuántos bimestres hay? 𝑛= 3

3 2

𝑖𝑡 = [(1 + 0.045) 2 − 1] × 100 = 6.83% Halla la tasa nominal mes anticipado que es equivalente a 24% nominal trimestre anticipado. Tasa dada: 24% N T A.

tasa nominal, convierto a efectiva. El año tiene 4 trimestres 𝑖𝑒.𝑡.𝑎. =

24% = 6% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑜 4

Quitamos la característica de anticipado 𝑖𝑣 =

0.06 𝑖𝑎 ∗ 100 = ∗ 100 = 6.383% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑑𝑎 1 − 𝑖𝑎 1 − 0.06

Puedo hallar la tasa mensual. Me están pidiendo tasa nominal mes anticipado Tengo una tasa trimestral, voy a hallar tasa mensual. Voy de MAYOR a MENOR. Puedo usar el modelo de la raíz. El trimestre tiene 3 meses 3

3 𝑖𝑚 = [ √ 1 + 𝑖𝑡 − 1] ∗ 100 = [ √1 + 0.06383 − 1] ∗ 100 = 2.084% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑑𝑎

Voy a darle la característica de anticipado 𝑖𝑎 =

0.02084 𝑖𝑣 ∗ 100 = ∗ 100 = 2.041% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 1 + 𝑖𝑣 1 + 0.02084

Voy a darle la característica de Nominal. El año tiene 12 meses 𝑖𝑁𝑀𝐴 = 2.041% ∗ 12 = 24.49% 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 24% nominal trimestre anticipado, es equivalente a 24.49% nominal mes anticipado

Hallar la tasa nominal semestre anticipado que es equivalente a 21% nominal bimestre anticipado.

𝑁𝐵𝐴 → 𝐸𝐵𝐴 → 𝐸𝐵𝑉 → 𝐸𝑆𝑉 → 𝐸𝑆𝐴 → 𝑁𝑆𝐴 𝑁𝐵𝐴 → 𝐸𝐵𝐴 𝑖𝐸𝐵𝐴 =

𝐸𝐵𝐴 → 𝐸𝐵𝑉

21% = 3.5% 𝐸𝐵𝐴 6

𝐸𝐵𝑉 → 𝐸𝑆𝑉

𝑖𝑎

0.035 ∗ 100 = 3.6269% 𝐸𝐵𝑉 ∗ 100 = 1 − 0.035 1 − 𝑖𝑎 voy de menor a mayor (de bimestre a semestre). Usaré la potencia 𝑖𝑉 =

𝑖𝐸𝑆𝑉 = [(1 + 𝑖𝐸𝐵𝑉 )3 − 1] ∗ 100

𝑖𝐸𝑆𝑉 = [(1 + 0.036269)3 − 1] ∗ 100 𝑖𝐸𝑆𝑉 = 11.28% 𝐸𝑆𝑉

𝐸𝑆𝑉 → 𝐸𝑆𝐴

𝑖𝑎 = 𝑖𝑎 =

𝐸𝑆𝐴 → 𝑁𝑆𝐴

𝑖𝑣 ∗ 100 1 + 𝑖𝑣

0.1128 ∗ 100 = 10.1366% 𝐸𝑆𝐴 1 + 0.1128

El año tiene 2 semestres 𝑖𝑁𝑆𝐴 = 𝑖𝐸𝑆𝐴 ∗ 2 = 10.1366% ∗ 2 = 20.2732% 𝑁𝑆𝐴

21% nominal bimestre anticipado equivale a 20.2732% nominal semestre anticipado...