Dynamika punktu materialnego - równia pochyła PDF

Preview

Summary

Zadania domowe z dynamiki punktu materialnego o równi pochyłej...

Description

Dynamika punktu materialnego – równia pochyła

Zad.1. Na równi pochyłej o zmiennym kącie nachylenia leży drewniany klocek, który zaczyna się zsuwać z równi przy kącie 30o. Oblicz współczynnik tarcia statycznego. Rozwiązanie: Dane: α=30o

Szukane: fs=?

Na ciało znajdujące się na równi pochyłej działa siła ciężaru, którą możemy rozłożyć na dwie składowe: F1 i F2. F1 – działa równolegle do powierzchni równi i jest nazywana siłą ściągającą. Jej wartość możemy obliczyć analizując związki trygonometryczne w trójkącie o bokach F1, F2 i Q, oraz znając kąt α:  =

 

Czyli  =  Ciało zaczyna zsuwać się z powierzchni równi gdy wartość tej siły ta w niewielkim stopniu przewyższy wartość siły tarcia T. Współczynnik tarcia statycznego (czyli tarcia

występującego miedzy powierzchniami, które się względem siebie nie przemieszczają) obliczamy korzystając z warunku:  =  Siła tarcia opisana jest wzorem:  =  ∙  Gdzie FN jest wartością siły nacisku ciała na podłoże. Na poziomej powierzchni siła nacisku jest równa ciężarowi ciała, jednak na powierzchni równi pochyłej siła nacisku to składowa ciężaru prostopadła do powierzchni równi czyli F2. Obliczamy ją korzystając ponownie ze związków trygonometrycznych:  =

 

Czyli:  =  Siłę tarcia statycznego możemy opisać formułą:  =  ∙  =  ∙  ∙  I wsółczynnik tarcia statycznego:  =

    =  = 0,58 = =    cos   

Zad.2. Z równi pochyłej zsuwa się ciało. Jakie jest przyspieszenie tego ciała jeśli kąt nachylenia równi wynosi 30o, a współczynnik tarcia f=0,2. Rozwiązanie: Dane: α=30o f=0,2

Szukane: a=?

Wykonujemy bardzo podobny rysunek do tego z poprzedniego zadania. Ponieważ ciało zsuwa się w dół równi pochyłej na rysunku tym wartość siły ściągającej jest większa niż siły tarcia.

Ciało porusza się w dół równi pochyłej pod wpływem wypadkowej dwóch sił działających w kierunku ruchu czyli Fs i T.  =  −  Korzystając ze związków opisanych w poprzednim zadaniu możemy wartość siły wypadkowej zapisać następująco:  =  −   = ( − )

Z drugiej zasady dynamiki pamiętamy, ze siłą wypadkowa wywołuje przyspieszenie ciała:  =  Czyli:  = ( − )  = ( − )  = 9,81   (0,5 − 0,2 ∙ 0,87) = 3,2  

Zad.3. Jaką siłę należy przyłożyć do ciała ważącego m=100 kg, aby wciągnąć je ruchem jednostajnym w górę równi pochyłej o kącie nachylenia 30o, jeżeli współczynnik tarcia wynosi f=0,1? Rozwiązanie: Dane: m=100 kg α=30o f=0,1

Szukane: F=?

Ciało ma poruszać się ruchem jednostajnym, czyli wypadkowa sił działających na to ciało w kierunku ruchu powinna wynosić 0.

 =  −  −  = 0 Czyli:  =  +   =   =   = ( + )  = 100  ∙ 9,81   (0,5 + 0,1 ∙ 0,87) = 575,8 

Zad.4. Jaką siłę należy przyłożyć do ciała ważącego m=100 kg, aby wciągnąć je w górę równi pochyłej o kącie nachylenia 30o z przyspieszeniem a=2 m/s2? Współczynnik tarcia wynosi f=0,1. Rozwiązanie: Dane: m=100 kg α=30o f=0,1 a=2 m/s2 Szukane: F=? Rysunek możemy wykonać w taki sam sposób jak w poprzednim zadaniu.

Ciało ma tym razem poruszać się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli wypadkowa sił działających na to ciało w kierunku ruchu powinna różnić się od zera.

 =  −  −  Ta siła wypadkowa nadaje przyspieszenie ciału:  =  Czyli:  =  −  −   =  +  +   = ( +  + )  = 100  ∙ (9,81   ∙ 0,5 + 0,1 ∙ 9,81 

  ∙ 0,87 + 2) = 775,8 ...