Mechanika - Wzory - Statyka, Kinematyka, Dynamika PDF

Preview

Summary

Strzeszczenie potrzebnych rzeczy w mechanice. ...

Description

Mechanika Politechnika

Strona |1 Poznańska

MECHANIKA Mechanika ogólna zajmuje się ustalaniem ogólnych praw ruchu uproszczonych (wyidealizowanych) modeli ciał rzeczywistych, zwanych modelami mechanicznymi. Punkt materialny jest to ciało materialne, którego wymiary geometryczne mogą być zaniedbane w porównaniu z innymi wymiarami występującymi w danym zagadnieniu. Innymi słowy jest to punkt geometryczny obdarzony masą. Układ punktów materialnych jest to zbiór punktów materialnych. Bryła sztywna jest to ciało materialne, którego kształt i wymiary nie ulegają zmianie pod działaniem sił. Mechanikę dzielimy na trzy działy: Statyka – zajmuje się stanem spoczynku ciał materialnych. Stan taki występuje wtedy, kiedy wszystkie siły działające na ciała materialne się równowa Ŝą albo gdy istnieją przeszkody uniemoŜliwiające ruch tych ciał pod działaniem sił. Kinematyka – zajmuje się ruchem ciał materialnych bez uwzględnienia przyczyn wywołujących ten ruch. Wynika z tego, Ŝe kinematyka zajmuje się matematycznym opisem ruchu bez uwzględniania praw fizycznych. Dynamika – zajmuje się ruchem ciał materialnych pod wpływem sił działających na te ciała. Prawa Newtona: 1. (prawo bezwładności) - Punkt materialny, na który nie działa Ŝadna siłą lub działające siły się równowa Ŝą, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej. 2. Przyspieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły działającej na ten punkt i ma kierunek siły.

ma = F 3. 4. 5.

(prawo akcji i reakcji) - Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych mają jednakowe wartości, leŜą na prostej łączącej te punkty i są przeciwstawnie skierowane. (zasada superpozycji) - JeŜeli na punkt materialny działa jednocześnie kilka sił, to ka Ŝda z nich działa niezaleŜnie od pozostałych, a wszystkie razem działają jak jedna siła równa wektorowej sumie danych sił. (prawo powszechnego ciąŜenia lub prawo grawitacji) - Ka Ŝde dwa punkty materialne o masach m1 i m2 przyciągają się z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leŜy na prostej łączącej te punkty.

F=k

m1m2 2 r

Wektory dzielimy na: a) zaczepione – wymagają do ich określenia wszystkich czterech (wartość [moduł], kierunek, zwrot, punkt przyłoŜenia). Wektorów takich nie moŜna przemieszcza ć ani przesuwa ć. b) przesuwne – są określone za pomocą modułu, zwrotu oraz linii działania. Takie wektory mogą być przesuwane jedynie wzdłuŜ prostych, na których leŜą. c) swobodne – są określone przez moduł, zwrot oraz kierunek równoległy do ich linii działania. Oznacza to, Ŝe wektor swobodny moŜna dowolnie przemieszcza ć, równolegle do kierunku jego działania.

Mechanika Politechnika

Strona |2 Poznańska

STATYKA Aksjomaty lub inaczej zasady statyki: a) PrzyłoŜenie dwóch sił do ciała sztywnego, równych co do modułu, działających wzdłuŜ jednej prostej i o przeciwnych zwrotach, nie zmienia stanu ruchu ciała (ciało w spoczynku pozostaje w spoczynku) b) Ka Ŝdą siłę zewnętrzną przyłoŜoną do ciała sztywnego moŜna przesunąć wzdłuŜ jej linii działania, nie zmieniając przy tym stanu ruchu ciała. c) Do kaŜdego układu sił działających na ciało sztywne moŜna doda ć bez zmiany stanu jego ruchu kilka sił o wspólnym punkcie przyłoŜenia, których suma wektorowa jest równa zeru. d) Stan ruchu ciała nie ulegnie zmianie, jeŜeli kilka sił zaczepionych w jednym punkcie zastąpimy ich sumą geometryczną, i odwrotnie, gdy jedną siłę zastąpimy przez kilka sił, których suma geometryczna jest równa tej sile. Warunek konieczny równowagi dowolnego układu materialnego: Aby dowolny układ materialny mógł być w równowadze, suma wszystkich sił zewnętrznych działających na niego musi być równa zeru. Warunki równowagi zbieŜnego układu sił 1. Przestrzenny układ sił: Aby przestrzenny układ sił zbieŜnych był w równowadze, warunkiem koniecznym jest, aby suma wektorowa tego układu sił była równa zeru. n

∑P

k

k =1

= 0 lub: n

n

∑ Pky = 0

∑ Pkx = 0

k =1

k =1

n

∑P k =1

kz

=0

2. Płaski układ sił: a. Aby płaski układ sił zbieŜnych był w równowadze, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest, by sumy rzutów tych sił na dwie osie układu współrzędnych były równe zeru. n

∑P k =1

k

=0

b. Aby płaski układ sił zbieŜnych był w równowadze, zbudowany z nich wielobok sił musi być wielobokiem zamkniętym. Twierdzenie o trzech siłach JeŜeli ciało sztywne jest w równowadze pod działaniem trzech nierównoległych sił leŜących w jednej płaszczyźnie, to linie działania tych sił muszą przecina ć się w jednym punkcie, a siły tworzyć trójkąt zamknięty. Twierdzenie o momencie wypadkowej (Twierdzenie Varignona) Moment wypadkowej układu sił względem dowolnego punktu jest równy sumie momentów sił składowych względem tego samego punktu. n

W = ∑Pk

h

k =1

PARA SIŁ Para sił – jest to układ dwóch równoległych sił o równych modułach i przeciwnych zwrotach.

P P'

Mechanika Politechnika

Strona |3 Poznańska

Równanie pary sił: Moduł momentu pary sił moŜemy zapisa ć jako:

M = Ph

Wektor momentu pary sił jest prostopadły do płaszczyzny działania obu sił, a jego zwrot określa regułą śruby prawoskrętnej. Własności pary sił: h1

1.

P' 2

P'1

Dwie pary sił leŜące na tej samej płaszczyźnie są h P równowaŜne, gdy mają równe momenty: P1h1 = P2h2 P Parę sił moŜna przesuwa ć po dowolnej płaszczyźnie równoległej do jej płaszczyzny działania Pary sił działające w jednej płaszczyźnie moŜna zastąpić parą wypadkową o momencie M, którego wartość jest równa sumie algebraicznej wartości momentów poszczególnych par: 2

1

2.

2

3.

n

M = ∑Mk k =1

4.

Układ n par sił o róŜnych płaszczyznach działania i o momencie Mk moŜna zastąpić parą równowa Ŝną o momencie równym sumie geometrycznej momentów par składowych: n

M = ∑M k k =1

Ostatnia własność pozwala sformułowa ć warunek równowagi par sił działających na ciało sztywne w róŜnych płaszczyznach: Aby pary sił działające na ciało sztywne w róŜnych płaszczyznach znajdowały się w równowadze, suma geometryczna momentów tych par musi być równa zeru. n

∑M

k

=0

k =1

DOWOLNY UKŁAD SIŁ Wektorem głównym układu sił nazywamy sumę geometryczną wszystkich sił przyłoŜoną w dowolnie obranym biegunie redukcji O: n

W = ∑Pk k =1

Momentem głównym układu sił względem bieguna redukcji O nazywamy sumę geometryczną momentów wszystkich sił względem tego bieguna:

MO =

n

∑r × P k

k

k =1

Dowolny układ sił działających na ciało sztywne moŜna zastąpić układem równowa Ŝnym składającym się z jednej siły W przyłoŜonej w dowolnie obranym biegunie redukcji) oraz pary sił o momencie

MO . Twierdzenie o momencie głównym. Moment główny dowolnego układu sił względem dowolnego bieguna O’ jest równy momentowi głównemu względem innego dowolnego bieguna O powiększonemu o moment wektora przyłoŜonego w biegunie O względem bieguna O’.

Mechanika Politechnika

Strona |4 Poznańska

Warunki równowagi dowolnego układu sił: 1.

Aby dowolny układ sił był w równowadze, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest, by suma sił i suma momentów względem dowolnego punktu były równe zeru. Aby dowolny układ sił był w równowadze, sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie układu współrzędnych oraz sumy momentów wszystkich sił względem tych osi muszą być równe zeru.

2.

Skrętnikiem nazywamy układ składający się z siły W i pary sił o momencie M S równoległym do siły

W. Warunki równowagi płaskiego układu sił: 1.

Aby płaski dowolny układ sił był w równowadze, sumy rzutów wszystkich sił na dwie osie układu współrzędnych i suma momentów tych sił względem dowolnego punktu płaszczyzny działania sił muszą być równe zeru. Płaski układ sił jest w równowadze, jeŜeli sumy momentów wszystkich sił względem trzech punktów nie leŜących na jednej prostej są równe zeru.

2.

RÓWNOLEGŁY UKŁAD SIŁ Środek układu sił równoległych – punkt przez który przechodzi wypadkowa układu sił równoległych o określonych punktach przyłoŜenia, niezaleŜnie od ich kierunku. Warunki równowagi układu sił równoległych. Układ sił równoległych jest szczególnym przypadkiem dowolnego układu sił. Z tego względu warunki równowagi przestrzennego układu sił równoległych wyznaczamy na podstawie warunków równowagi dowolnego układu sił.

ŚRODEK CIĘśKOŚCI Środek cięŜkości jest to punkt połoŜenia wypadkowej siły cięŜkości układu lub ciała materialnego. Dla układy punktów materialnych: Wektor wodzący rC środka cięŜkości C: n

∑r rC =

k

mk

k= 1

m

Współrzędne środka cięŜkości C w prostokątnym układzie współrzędnych: n

xC =

n

∑ x k mk

∑ y k mk

k =1

k= 1

m

yC =

Dla ciał o ciągłym rozmieszczeniu masy: Wektor wodzący środka cięŜkości:

∫ r dm rC =

m

m

m

n

∑z m k

zC = k = 1

m

k

Mechanika Politechnika

Strona |5 Poznańska

Współrzędne prostokątne środka cięŜkości:

∫ x dm xC = m

∫ y dm yC = m

m

m

∫ z dm zC =

m

m

JeŜeli bryła jednorodna ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii, to środek cięŜkości będzie leŜał na płaszczyźnie, osi lub w środku symetrii. Środek cięŜkości powierzchni jednorodnej.

∫ x dF

∫ y dF

F

xC =

yC =

F

F

F

∫ z dF zC =

F

F

Występujące w tych wzorach całki są całkami powierzchniowymi rozciągniętymi na całą powierzchnię F. Środek cięŜkości linii jednorodnej.

xC =

∫ x dL

∫ y dL

L

L

yC =

L

L

gdzie L jest długością linii.

∫ z dL zC =

L

L

Twierdzenie Pappusa-Guldina 1.

Pole powierzchni F, powstałej poprzez obrót jednorodnej i płaskiej linii o długości L dookoła osi leŜącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, jest równe długości linii pomnoŜonej przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej środek cięŜkości:

F = 2π hC L gdzie hC jest odległością środka cięŜkości linii od osi obrotu. 2.

Objętość bryły V, powstałej przy obrocie figury płaskiej o polu F dookoła osi leŜącej w płaszczyźnie tej figury i nie przecinającej jej, jest równe polu powierzchni figury pomnoŜonemu przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej środek cięŜkości:

V = 2π hC F przy czym hC jest tutaj odległością środka cięŜkości figury od osi obrotu. MOMENTY STATYCZNE MAS Momentem statycznym S układu punktów materialnych względem dowolnego punktu O nazywamy sumę iloczynów mas mk przez ich promienie wodzące rk . n

S = ∑ rk m k k =1

Wektor S moŜna wyrazić równieŜ jako: n

n

n

k =1

k =1

k =1

S = ∑ x k m k i + ∑ y k m k j + ∑ z km k k Współrzędne tego wektora nazywamy momentami statycznymi względem płaszczyzn yz, zx, xy, które oznaczamy odpowiednio przez Syz, Szx i Sxy. n

n

n

S yz = ∑ x k mk

S zx = ∑ y k mk

S xy = ∑ z k mk

k =1

k= 1

k =1

Mechanika Politechnika

Strona |6 Poznańska

Momentem statycznym układu punktów materialnych względem dowolnej płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas punktów przez ich odległości od tej płaszczyzny. Dla bryły sztywnej:

S = ∫ r dm m

S yz = ∫ x dm

S zx = ∫ y dm

S xy = ∫ z dm

m

m

m

Moment statyczny a środek masy:

rC

S m

xC =

S yz m

yC =

S zx m

zC =

S xy m

...dla figur płaskich:

S y = ∫ x dF

S x = ∫ y dF

F

xC =

F

Sy F

yC =

Sx F

KINEMATYKA Równanie r = r (t ) = x (t )i + y (t ) j + z (t )k nazywamy wektorowym równaniem ruchu, a trzy równania: x = x(t) y = y(t) z = z(t) , równowa Ŝne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi równaniami ruchu. Tor ruchu to hodograf wektora wodzącego r .

∆r

dr

lim ∆ t = dt

=v

∆t →0

Prędkością punktu nazywamy pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:

v=

dr dt

Po zapisaniu prędkości w prostokątnym układzie współrzędnych:

v = v x i + v y j + vz k vx =

dx dt

vy =

dy dt

vz =

dz dt

PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PUNKTU W NATURALNYM UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH es – wersor kierunku stycznego do danej krzywej en – wersor kierunku normalnego do danej krzywej eb – wersor kierunku binormalnego do danej krzywej

Mechanika Politechnika

Strona |7 Poznańska

JeŜeli dane jest wektorowe toru w funkcji drogi l mierzonej wzdłuŜ toru: r = r(l) to wersory te opisane są wzorami:

es =

dr dl

en = ρ

eb = es × en

d2 r dl 2

gdzie ρ jest promieniem krzywizny. Prędkość

v=

dl zatem: v = v es dt

Przyspieszenie:

a=

dv d 2r es + v2 dt dt

po podstawieniu do tego wzoru na wersor normalnej:

d 2 r en = dl 2 ρ

otrzymamy wzór na przyspieszenie punktu w naturalnym układzie współrzędnych:

a=

dv v2 es + en ρ dt

lub:

a = a s + an Z otrzymanego wzoru wynika, Ŝe przyspieszenie moŜe mieć dwie składowe: styczną i normalną (skierowaną do środka krzywizny).

as =

dv v2 , an = dt ρ

Wartość przyspieszenia całkowitego obliczymy ze wzoru:

a = a s2 + an2 ZMIANA UKŁADÓW ODNIESIENIA Zmiana wersorów:

i ' = p x' xi + p x' y j + p x' zk    j' = p y' x i+ p y' y j + p y' z k   k ' = p z 'x i + p z 'y j + p z 'z k   gdzie:

px 'x = i'⋅ i = cos( x' , x)   p x 'y = i '⋅ j = cos(x ' , y )  px 'z = i ' ⋅ k = cos( x ', z)   ... 

Mechanika Politechnika

Strona |8 Poznańska

Dla wyznaczenia połoŜenia układu współrzędnych x’, y’, z’ względem układu x, y, z wystarczy poda ć 6 niezaleŜnych wielkości: - trzy współrzędne wektora rO ' ( xO ' , y O ' , z O ' ) - trzy niezaleŜne kosinusy kierunkowe (px’x, px’y, ...) Zmiana promienia wodzącego:

r' = x' i' + y' j' + z' k' r = rO ' + r ' = xO ' i + yO ' j + zO ' k + x ' i '+ y ' j '+ z ' k ' ...współrzędne wektora:

x = r ⋅ i = x O' + x ' p x' x + y ' p y' x + z ' p z' x   y = r ⋅ j = y O' + x' p x' y + y' p y' y + z' p z ' y   z = r ⋅ k = z O ' + x ' p x 'z + y ' p y 'z + z ' p z 'z  

PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE DOWOLNEGO PUNKTU BRYŁY W RUCHU OGÓLNYM Ruch postępowy Ruch bryły sztywnej nazywamy postępowym, jeŜeli dowolna prosta sztywno związana z bryłą pozostaje w czasie ruchu stale równoległa do połoŜenia początkowego.

d rO' = v O' dt d 2 rO ' d vO ' a= = = a O' dt2 dt

v=

- wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te same prędkości v O ' i przyspieszenia

a O ' w tej samej chwili czasu. - tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt - dla opisu ruchu postępowego bryły wystarczy poda ć równanie ruchu jednego punktu bryły, np. początku ruchomego układu współrzędnych O ' , rO ' = rO ' (t ) Ruch obrotowy Ruch bryły sztywnej nazywamy obrotowym, jeŜeli istnieje jedna prosta związana z bryłą, której punkty w czasie ruchu pozostają w spoczynku.

dϕ dt dω d 2ϕ = 2 ε= dt dt v = ω×r '

ω=

a = ε × r ' + ϖ × (ϖ × r ') a = ε × r ' + ϖ (ϖ ⋅ r ') − ω 2 r ' a = przyspieszenie styczne + składowa przysp. normalnego równoległa do osi obrotu + składowa przysp. normalnego skierowana do obranego punktu O. JeŜeli punkt ten obierzemy w środku okręgu to:

v= ω r'

as = ε r '

an = ϖ 2 r '

Mechanika Politechnika

Strona |9 Poznańska

Ruch śrubowy Znajdowanie takich punktów C, dla których w ka Ŝdej chwili czasu wektor v C jest równoległy do wektora ω , nazywamy sprowadzaniem ruchu ogólnego bryły do ruchu śrubowego. [dziura] Ruch kulisty Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bryły, w czasie którego jeden z punktów z nią związanych jest nieruchomy. [dziura] Ruch płaski bryły Ruchem płaskim nazywamy taki ruch, w którym tory wszystkich punktów bryły są równoległe do pewnej płaszczyzny nazywanej płaszczyzną ruchu. Kinematyczne równania ruchu płaskiego moŜemy zapisa ć w postaci trzech funkcji algebraicznych: dwóch współrzędnych wektora rO oraz kąta _:

xO ' = xO ' (t ) yO ' = yO ' (t )

ϕ = ϕ ( t) vO' =

d rO ' dx O ' dy = i + O' j dt dt dt 2

dr dx 2 dy 2 aO ' = O2' = O2 ' i + O2 ' j dt dt dt Twierdzenie o rzutach prędkości: Rzuty wektorów prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na prostą przechodzącą przez te punkty są równe. Ruch złoŜony – dziura...

MOMENT BEZWŁADNOŚCI Momentem bezwładności punktu materialnego względem bieguna (punktu), płaszczyzny lub osi nazywamy iloczyn masy tego punktu i kwadratu jego odległości od bieguna, płaszczyzny lub osi. Dla układu punktów materialnych: Istnieją trzy rodzaje momentów bezwładności: 1. Biegunowe (względem punktu): n

I O = ∑ mk rk2 = ∑ mk ( xk2 + y k2 + z k2 ) k =1

2.

Względem płaszczyzn: n

I xy = ∑ mk z k2 k =1

[dla płaszczyzn yz oraz zx analogicznie]

Mechanika Politechnika

3.

S t r o n a | 10 Poznańska

Względem osi (osiowe momenty bezwładności): n

n

k =1

k =1

I x = ∑ mk hkx2 = ∑ mk ( yk2 + z k2 ) [dla płaszczyzn yz oraz zx analogicznie]

Istnieją takŜe momenty dewiacyjne, czyli mieszane. n

D xy = Dyx = ∑ mk xk yk k =1

Dla brył sztywnych: 1. Biegunowy moment bezwładności: 2 2 2 2 I O = ∫ r dm = ∫ ( x + y + z ) dm m

m

Biegunowy moment bezwładności jest równy sumie momentów bezwładności względem trzech prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez ten biegun:

I O = I yz + I zx + I xy Biegunowy moment bezwładności jest równy połowie sumy momentów bezwładności względem trzech prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun.

1 IO = ( I x + I y + I z ) 2 2.

Względem płaszczyzn:

I yz = ∫ x 2 dm m

3.

[...] Względem osi:

I x = ∫ ( y 2 + z 2 ) dm = ∫ y 2 dm + ∫ z 2 dm m

m

m

[...] Moment bezwładności względem osi jest równy sumie momentów bezwładności względem dwóch prostopadłych płaszczyzn przecinaj ących się wzdłuŜ tej osi.

I x = I zx + I xy [...] Twierdzenie Steinera: a)

b)

dla biegunowych momentów bezwładności: Moment bezwładności bryły (ciała materialnego) względem dowolnego punktu jest równy sumie momentu bezwładności w...