E1 Ejercicios resueltos vigas - MECANICA PARA INGENIEROS PDF

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Problemas7 al 7 Para la viga y las cargas mostradas en las figuras, a ) di- buje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector y b ) determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.7 7 Para la viga y las cargas mostradas en las figuras, a ) di- buje los di...

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Problemas

P

P

7.29 al 7.32 Para la viga y las cargas mostradas en las figuras, a) dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector y b) determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.

C A B a

a

w

w

Figura P7.29

C D

A B

B

C

L 4

P

A

L 2

L 2

L 4

Figura P7.31

B

L 2

Figura P7.32

C

A

7.33 y 7.34 Para la viga y las cargas mostradas en las figuras, a) dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector y b) determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.

2L 3

L 3 Figura P7.30

30 kN 20 kN 10 kN ⋅ m P

L 2

L B

A

L 2

D

C

1m

M0

Figura P7.33

B

C

B A

M 0 = PL

E

A

0.5 m 0.5 m 0.5 m

15 kN

Figura P7.34

Figura P7.35

7.35 y 7.36 Para la viga y las cargas mostradas en las figuras, a) dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector y b) determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.

40 kN

32 kN

16 kN

C

D

E

A

C

B

0.6 m 0.9 m Figura P7.36

370

6 kips 12 kips

1.5 m

D

4.5 kips

B

2 ft

2 ft

Figura P7.37

2 ft

300 lb

C

E

A 0.2 m

120 lb

2 ft

D

120 lb

E B

A

10 in. 25 in.

20 in. 15 in.

Figura P7.38

7.37 y 7.38 Para la viga y las cargas mostradas en las figuras, a) dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector y b) determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.

7.39 a 7.42 Para la viga y las cargas mostradas en las figuras, a) dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector y b) determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector. 60 kN

A

C

D

2m

1m

C

B

4 kips/ft

80 kN

30 kN/m

25 kN/m

A

D

A

2m

B C

B

2m Figura P7.40

Figura P7.39

Problemas

3m

2m

D

2 ft 8 kips Figura P7.41

7.43 Si se supone que la reacción del suelo sobre la viga AB que se muestra en la figura está dirigida hacia arriba y es uniformemente distribuida y a  0.3 m, a) dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector y b) determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.

5 ft

2 ft 8 kips

2.5 kips/ft C A

3 kN

B

3 kN 6 ft

C

A

D

12 kips

B

a

4 ft

Figura P7.42

a 1.5 m

Figura P7.43

7.44

Retome el problema 7.43 si a  0.5 m.

7.45 y 7.46 Si la reacción del suelo sobre la viga AB que se muestra en las figuras está dirigida hacia arriba y es uniformemente distribuida, a) dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector y b) determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector. 3 kips/ft

3 kips/ft C

A

3 ft Figura P7.45

D

6 ft

3 kips/ft B

3 ft

A

C

3 ft

D

6 ft

B

3 ft

w

w

P C

A

D E

B

Figura P7.46 a

7.47 Si la reacción del suelo sobre la viga AB que se muestra en la figura está dirigida hacia arriba y es uniformemente distribuida y se sabe que P  wa, a) dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector y b) determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector. 7.48 Retome el problema 7.47 si se sabe que P  3wa. 7.49 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga AB y determine la fuerza cortante y el momento flector a) justo a la izquierda de C, b) justo a la derecha de C.

a

a

a

Figura P7.47 C A

B D 200 mm

200 mm 200 mm

600 N Figura P7.49

371

372

7.50 Dos secciones pequeñas de canal DF y EH se sueldan a la viga uniforme AB de peso W  3 kN, para formar el elemento rígido estructural que se muestra en la figura. Este elemento se eleva mediante dos cables unidos en D y E. Si se sabe que θ  30° y no se toma en cuenta el peso de las secciones del canal, a) dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga AB y b) determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector en la viga.

Fuerzas en vigas y cables

C

q

q

7.51 Retome el problema 7.50 para θ  60°.

E

D

0.5 m

A F 1.5 m Figura P7.50

G 1m

B

H 1m

1.5 m

7.52 a 7.54 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga AB y determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector. C

1.5 kips

6 kips

1.5 kips

C

0.8 ft A

E

A

F B

F

D

4 in.

D

B

E

5 in.

0.8 ft

45 lb

G

120 lb

G 9 in. 1.2 ft

1.2 ft

1.2 ft

1.2 ft

300 mm 300 mm 300 mm 400 N

400 N

A

B C

D

E

150 mm 300 mm 300 mm

150 mm

Figura P7.54

60 kips

L Figura P7.58

C

D

E

7.57 Para la viga del problema 7.47 determine a) la relación k  P/wa para la cual el valor absoluto máximo del momento flector en la viga es mínimo y b) el valor correspondiente de |M|máx. (Vea la sugerencia del problema 7.55.)

7.59 Para la viga que se muestra en la figura, determine a) la magnitud P de las dos fuerzas ascendentes tal que el valor absoluto máximo del momento flector en la viga sea mínimo y b) el valor correspondiente de |M|máx. (Vea la sugerencia del problema 7.55.)

a

P

7.56 Para la viga del problema 7.43 determine a) la distancia a para la cual el valor absoluto máximo del momento flector en la viga es mínimo y b) el valor correspondiente de |M| máx. (Vea la sugerencia del problema 7.55.)

a

B

P

F

A

B

7.60 Si P  Q  150 lb, determine a) la distancia a para la cual el valor absoluto máximo del momento flector en la viga AB es mínimo y b) el valor correspondiente de |M|máx. (Vea la sugerencia del problema 7.55.) Q

P 2 ft

2 ft

Figura P7.59

2 ft

Figura P7.53

7.58 Una viga uniforme será elevada mediante los cables de una grúa unidos en A y B. Determine la distancia a desde los extremos de la viga hasta los puntos donde los cables deberían estar unidos si el valor absoluto máximo del momento flector en la viga es mínimo. (Sugerencia: Dibuje el diagrama de momento flector en términos de a, L y el peso w por unidad de longitud, y después iguale los valores absolutos de los momentos flectores máximos de signo positivo y negativo que se hayan obtenido.)

A

60 kips

6 in.

7.55 Para el elemento estructural del problema 7.50, determine a) el ángulo θ para el cual el valor absoluto máximo del momento flector en la viga AB es mínimo y b) el valor correspondiente de |M|máx. (Sugerencia: Dibuje el diagrama de momento flector e iguale los valores absolutos máximos positivos y negativos que se obtengan en el diagrama.)

Figura P7.52

400 N

6 in.

2 ft

2 ft

30 in. A

C

30 in. D B

a

Figura P7.60

7.61 Retome el problema 7.60, y ahora suponga que P  300 lb y Q  150 lb.

7.6. Relaciones entre carga, fuerza cortante y momento flector

*7.62 A fin de reducir el momento flector de la viga en voladizo AB que se muestra en la figura, se fijan de manera permanente un cable y un contrapeso en el extremo B. Determine la magnitud del contrapeso para la cual el valor absoluto máximo del momento flector en la viga es mínimo, así como el valor correspondiente de |M|máx. Considere a) el caso en el que la carga distribuida se aplica permanentemente sobre la viga y b) el caso más general en el que la carga distribuida puede aplicarse o retirarse.

w

A

B

L

W Figura P7.62

*7.6. RELACIONES ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

Si una viga sostiene más de dos o tres cargas concentradas, o cuando soporta cargas distribuidas, es muy probable que el método para graficar las fuerzas cortantes y los momentos flectores descrito en la sección 7.5 se vuelva muy laborioso. La elaboración del diagrama de fuerza cortante y, especialmente, la del diagrama de momento flector, se simplificarán en gran medida si se toman en consideración ciertas relaciones que existen entre la carga, la fuerza cortante y el momento flector. Considérese una viga simplemente apoyada AB que soporta una carga distribuida w por unidad de longitud (figura 7.11a), y sean C y C dos puntos sobre la viga separados por una distancia x entre sí. La fuerza cortante y el momento flector ubicados en C estarán representados, respectivamente, con V y M, las cuales se supondrán positivas; la fuerza cortante y el momento flector localizados en C serán representados mediante V  V y M  M. Ahora se separa el tramo de viga CC y se traza su diagrama de cuerpo libre (figura 7.11 b). Las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo libre incluyen una carga de magnitud w x y las fuerzas y los pares internos que actúan en C y C. Como se ha su puesto que la fuerza cortante y el momento flector son positivos, las fuerzas y los pares estarán dirigidos en la forma indicada por la figu ra.

w

A

B C x

C

D ∆x a)

Relaciones entre carga y fuerza cortante. Se escribe que la suma de las componentes verticales de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre CC es igual a cero:

w∆x ∆x 2

V  (V  V)  w x  0 V  w x

w V

Al dividir ambos lados de la ecuación anterior entre x, y haciendo luego que x tienda a cero, se obtiene

dV   w dx

(7.1)

La fórmula (7.1) indica que para una viga de la forma que muestra la figura 7.11a, la pendiente dV兾dx de la curva de fuerza cortante es negativa; además, el valor numérico de la pendiente en cualquier punto es igual a la carga por unidad de longitud en dicho punto.

M

M + ∆M C ∆x

C V + ∆V b)

Figura 7.11

373

374

Fuerzas en vigas y cables

Si se integra la ecuación (7.1) entre los puntos C y D, se obtiene

冕

VD  V C  

w

xD

xC

w dx

V D  VC  (área bajo la curva de carga entre C y D) A

B C x

C

D ∆x a)

w∆x ∆x 2 w V M

M + ∆M C ∆x

C V + ∆V

b) Figura 7.11 (repetida)

(7.2) (7.2)

Obsérvese que también se pudo haber obtenido este resultado considerando el equilibrio de la porción CD de la viga, puesto que el área bajo la curva de carga representa la carga total aplicada entre C y D. Es necesario señalar que la ecuación (7.1) no es válida en un punto donde se aplica una carga concentrada; como se vio en la sección 7.5, la curva de fuerza cortante es discontinua en dicho punto. En forma similar, las ecuaciones (7.2) y (7.2) dejan de ser válidas cuando se aplican cargas concentradas entre C y D, puesto que dichas ecuaciones no toman en consideración el cambio brusco en la fuerza cortante ocasionado por una carga concentrada. Por tanto, las ecuaciones (7.2) y (7.2) sólo se deben aplicar entre cargas concentradas sucesivas. Relaciones entre la fuerza cortante y el momento flector. Regresando al diagrama de cuerpo libre de la figura 7.11b, ahora se escribe que la suma de los momentos con respecto a C es igual a cero y se obtiene

x (M  M)  M  V x  w x   0 2 1

M  V x  2 w(x) 2 Si se dividen ambos lados de la ecuación anterior entre x y se hace que x tienda a cero, se obtiene

dM  V dx

(7.3)

La ecuación (7.3) indica que la pendiente dM兾dx de la curva de momento flector es igual al valor de la fuerza cortante. Esto es cierto en cualquier punto donde la fuerza cortante tenga un valor bien definido, es decir, en cualquier punto donde no se aplique una fuerza concentrada. Además, la ecuación (7.3) también muestra que la fuerza cortante es igual a cero en aquellos puntos donde el momento flector es máximo. Esta propiedad facilita el cálculo de los puntos donde es más probable que la viga falle bajo flexión. Si se integra la ecuación (7.3) entre los puntos C y D, se obtiene

MD  MC 

冕

xD

xC

V dx

(7.4)

MD  MC  área bajo la curva de fuerza cortante entre C y D (7.4) Obsérvese que se debe considerar que el área bajo la curva de fuerza cortante es positiva en aquellos lugares donde la fuerza cortante es positiva y que el área es negativa donde la fuerza cortante es negativa. Las ecuaciones (7.4) y (7.4) son válidas cuando se aplican cargas concentradas entre C y D, y siempre y cuando se haya dibujado correctamente la curva de fuerza cortante. Sin embargo, dichas fórmulas dejan de ser válidas si se aplica un par en un punto localizado entre C y D, puesto que las fórmulas en cuestión no consideran el cambio brusco en el momento flector ocasionado por un par (véase problema resuelto 7.7).

Ejemplo. Considere una viga apoyada AB que tiene un claro L y que soporta una carga distribuida de manera uniforme w (figura 7.12a). A partir del diagrama de cuerpo libre para toda la viga se determina la magnitud de las reacciones en los apoyos RA  RB  wL兾2 (figura 7.12b). Después, se dibuja el diagrama de fuerza cortante. Cerca del extremo A de la viga, la fuerza cortan te es igual a R A , esto es, igual a wL兾2, como puede corroborarse considerando una porción muy pequeña de la viga como un cuerpo libre. Entonces, utilizando la ecuación (7.2) se puede determinar la fuerza cortante V a cualquier distancia x a partir de A. Así se escribe V  VA  

冕

w

A

x

0

7.6. Relaciones entre carga, fuerza cortante y momento flector

冢

L

冣

wL L V  VA  wx    wx  w   x 2 2

En este sen tido, la curva de fuerza cortan te es una línea recta oblicua que cruza el eje x en x  L兾2 (figura 7.12c). Ahora considere el momento flector, primero se observa que MA  0. Enton ces, el valor M del momento flector a cualquier distancia x a partir de A se puede obtener a partir de la ecuación (7.4); así se tiene que

冕

w

冣

B wL RA = 2

wL V 2

wL2 1 L wL Mmáx       2 2 2 8 En este ejemplo, la curva de carga es una línea recta horizontal, la curva de fuerza cortante es una línea recta oblicua y la curva de momento flector es una parábola. Si la curva de carga hubiera sido una línea recta oblicua (polinomio de primer grado), la curva de fuerza cortante habría sido una parábola (polinomio de segundo grado) y la curva de momento flector hubiera sido cúbica (polinomio de tercer grado). Las curvas de fuerza cortante y momento flector siempre serán, respectivamente, uno y dos grados mayores que la curva de carga. Por tanto, una vez que se han calculado unos cuantos valores de la fuerza cortante y del momento flector, se deberán poder bosquejar los diagramas de fuerza cortante y momento flector sin tener que determinar las funciones V(x) y M(x). Los bosquejos obtenidos serán más precisos si se hace uso del hecho de que en cualquier punto donde las curvas son continuas, la pendiente de la curva de fuerza cortante es igual a w y la pendiente de la curva de momento flector es igual a V.

RB = wL 2 b)

L

La curva de momen to flector es una parábola. El máximo valor del momento flector ocurre cuando x  L兾2, pues to que V (y, por tanto, dM兾dx) es igual a cero pa ra dicho va lor de x. Si se sustituye x  L兾2 en la última ecuación, se obtiene M máx  wL 2兾8. 

En la mayoría de las aplicaciones de ingeniería sólo se necesita conocer el valor del momento flector en unos cuantos puntos específicos. Una vez que se ha dibuja do el diagrama de fuerza cortante y después de que se ha determinado el valor de M en uno de los extremos de la viga, se puede obtener el valor del momento flector en cualquier punto, calculando el área bajo la curva de fuerza cortante y utilizando la ecuación (7.4). Por ejemplo, como M A  0 para la viga de la figura 7.12, el máximo valor del momento flector para la viga se puede obtener midiendo el área del triángulo sombreado en el diagrama de fuerza cortante:

a)

A

x

M  MA  V dx 0 x w L M  w    x dx    (Lx  x 2) 2 2 0

冕 冢

B

w dx  wx

x

L 2 c) wL2 8

–

wL 2

M

L 2 d) Figura 7.12

L

x

375

1.5 kips/ft

20 kips 12 kips A

E B

C 8 ft

6 ft

D 10 ft

PROBLEMA RESUELTO 7.4 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga y las condiciones de carga mostradas en la figura.

8 ft

SOLUCIÓN 4 ft 12 kips

20 kips 12 kips Ax A

E C

B

Ay

D D

8 ft 10 ft 6 ft 20 kips 12 kips

8 ft 1.5 kips/ft

E

A B

1

C

18 kips 20 kips

D 26 kips

M V 18 kips V(kips) +18

+12

(+48)

(–16) (140) –14 M(kip ⋅ ft)

l兺MA  0: D(24 ft)  (20 kips)(6 ft)  (12 kips)(14 ft)  (12 kips)(28 ft)  0 D  26 kips D  26 kipsx  0: A  20 kips  12 kips  26 kips  12 kips 0 x兺Fy y Ay  18 kipsx Ay  18 kips  Ax  0 Ax  0 y 兺Fx  0: También se debe señalar que tanto en A como en E el momento flector es igual a cero; por tanto, se obtienen dos puntos (indicados por medio de pequeños círculos) del diagrama de momento flector. Diagrama de fuerza cortante. C...