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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA - FAC. DE INGENIERÍA - DEPARTAMENTO DE CONSTRUCCIONES

EIII U3

Carrera: INGENIERÍA CIVIL - INGENIERÍA HIDRÁULICA Cátedra:

ESTRUCTURAS III, IV y V - Asignatura: ESTRUCTURAS III

Unidad 3: Método de las Fuerzas Elaboró: MDV

Revisión: 0

Fecha: marzo de 2014

OBJETIVO Las presentes notas de clase tienen como objetivo servir de soporte al estudio del Método de las Fuerzas para la resolución de estructuras hiperestáticas. Se consideran saberes previos los teoremas energéticos, la resolución de estructuras isostáticas y elementos de cálculo matricial. En esta unidad se planteará el método en estructuras planas de barras. BIBLIOGRAFÍA Los distintos temas comprendidos en estos apuntes de clase se presentan de manera introductoria, siendo recomendable la consulta entre la bibliografía citada a continuación. [1] Arnaboldi, E. A., MÉTODO DE LAS FUERZAS, CEILP, La Plata, 1981. [2] Belluzzi O., CIENCIA DE LA CONSTRUCCIÓN. Ed. Aguilar. [3] Bignoli A., Carretero R., Fioravanti M., Guaragna M., ANÁLISIS ESTRUCTURAL, Tomo 1. Ed. Atec. 1992. [4] Gere, Timoshenko, MECÁNICA DE MATERIALES, Segunda Edición, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1986. [5] Hirschfeld, K., ESTÁTICA EN LA CONSTRUCCIÓN, Reverté, Barcelona, 1975. INTRODUCCIÓN En las unidades anteriores del curso se resolvieron estructuras isostáticas (estructuras estáticamente determinadas) utilizando las ecuaciones de equilibrio que brinda la estática. En el caso de las estructuras de barras en el plano, son 3 ecuaciones de equilibrio general más las ecuaciones de equilibrio relativo en caso de ser posible su planteo. Las estructuras hiperestáticas poseen una cantidad de condiciones de vínculo externo o interno tal que no es posible su resolución aplicando solamente las ecuaciones de equilibrio de la estática. El Método de las Fuerzas (MF) permite la resolución de las estructuras hiperestáticas, o “estáticamente indeterminadas”, al agregar las ecuaciones necesarias, que sumadas a las ecuaciones de equilibrio que provee la estática, alcanzan en número a la cantidad de incógnitas de la estructura. La hiperestaticidad, o indeterminación estática, puede surgir por la superabundancia de vínculos externos, internos, o de ambos tipos. Estructuras que poseen los vínculos externos necesarios para mantener su estabilidad resultan isostáticas desde el punto de vista de su vinculación externa, aunque pueden ser hiperestáticas respecto a su vinculación interna, como el caso de un marco cerrado. Por ejemplo, las estructuras de la figura 1 son estáticamente determinadas en los vínculos externos pero tienen indeterminación estática interna, mientras que en la figura 2 la indeterminación estática es debido a la superabundancia de vínculos externos y finalmente, en la figura 3, la superabundancia se da en los vínculos internos y externos.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 En las estructuras de pórticos, la disposición de barras en el plano que forman un marco cerrado implica tres esfuerzos (magnitudes estáticas incógnitas) que deben determinarse en alguna sección al menos para poder resolver la totalidad del marco. Como auxilio a las ecuaciones de equilibrio general (EEG) pueden presentarse las ecuaciones de equilibrio relativo (EER) siempre que la vinculación interna permita el planteo de las mismas. El grado de hiperestaticidad o grado de indeterminación estática (GIE) resultará de la diferencia entre incógnitas (internas y externas) y las ecuaciones de equilibrio planteadas. Por lo tanto GIE = VE + VI - EEG – EER Donde VE es la cantidad de incógnitas externas y VI la cantidad de incógnitas internas (3 por marco cerrado). En el caso de las estructuras reticuladas, el único esfuerzo interno que soportan las barras es el esfuerzo axial, de manera que el número de incógnitas será la cantidad de barras más los vínculos externos restringidos. Por otro lado es posible plantear U3- Método de las Fuerzas

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dos ecuaciones de equilibrio por nudo más las 3 ecuaciones de equilibrio general. Entonces, el GIE de una estructura reticulada lo obtendremos como sigue: GIE = VE+NB-EEG-2*NN. Donde NB es el número de barras y NN el número de nudos. Ejemplo 3.1. Hallar el GIE del pórtico de la figura 4. VE=5

VI= 3 x 3 = 9

EEG= 3

EER=3  GIE = 5 + 9 – 3 – 3 = 8

Ejemplo 3.2. Hallar el GIE de la estructura reticulada de la figura 5. VE=4

NB= 11

NN= 6

 GIE = 4 + 11 – 2*6 = 3

Si utilizamos la expresión para estructuras porticadas: VE=4

VI= 6 x 3 = 18 EEG= 3 EER=16  GIE= 4 + 18 – 3 – 16 = 3

Obtenemos el mismo resultado, sin embargo el recuento de marcos cerrados no es tan evidente a veces por la superposición de barras en el gráfico (las barras cruzadas no están en contacto entre sí en el punto central). Ejemplo 3.3. Hallar el GIE de la viga continua de la figura 6. VE=5

VI= 0

EEG= 3 EER=0  GIE = 5 – 3 = 2

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Ej. 3.1. Hallar el grado de indeterminación estática de las estructuras de la figura.

Nota: tener en cuenta que un nudo articulado permite el planteo de n-1 ecuaciones de equilibrio relativo, siendo n la cantidad de barras que concurren al nudo. Las simbologías siguientes son equivalentes. (son 3 EER)

Recordar que el planteo de ecuaciones de equilibrio relativo en ambos lados del vínculo interno producirán ecuaciones linealmente dependientes. Una característica de las estructuras hiperestáticas es la generación de esfuerzos debidos a las acciones elásticas como la variación de temperatura y los desplazamientos impuestos de vínculos. La superabundancia de vínculos resulta en la aparición de esfuerzos internos y reacciones de vínculo (en caso de hiperestaticidad de vínculos externos). La definición de las condiciones de borde en el modelo matemático de una estructura es de fundamental importancia a la hora de evaluar los efectos debidos a las cargas de tipo elástico. Gran parte de las patologías que podemos observar en las construcciones corrientes son efectos debidos a este tipo de acciones, por ejemplo fisuras en mamposterías, grietas en pavimentos y solados, fisuras en bordes de azoteas, etc. EL MÉTODO DE LAS FUERZAS Plantearemos un procedimiento para la resolución de estructuras estáticamente indeterminadas denominado “Método de las fuerzas” o “Método de las compatibilidades”. El método aporta la cantidad de ecuaciones necesarias, que sumadas a las ecuaciones que ofrece la estática, resultan un cantidad suficiente para la resolución de la estructura. A estas ecuaciones se les llama “ecuaciones de compatibilidad” y surgen a partir de la restitución de las condiciones cinemáticas en una estructura Método de las Fuerzas

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hiperestática en la cual se liberan vínculos (internos y/o externos) para convertirla en un isostático (estructura “fundamental”). En forma sintética, los pasos del procedimiento se pueden listar: 1º- planteo de la estructura fundamental. Se liberan vínculos de manera de transformar la estructura hiperestática en un isostático. 2º- se calculan los desplazamientos en las direcciones liberadas debidos a las cargas externas actuantes en el fundamental. 3º- se calculan los desplazamientos en las direcciones liberadas debidos a magnitudes estáticas (desconocidas y adoptadas a priori con valor unitario) actuando en las direcciones liberadas en el fundamental. Esto se realiza para cada una de las incógnitas separadamente. 4º- se plantean las ecuaciones compatibilizando, en cada dirección liberada, los desplazamientos producidos por las cargas externas más los producidos por las incógnitas (unitarias) con los desplazamientos de la estructura original. 5º- se despejan las incógnitas del método. 6º- se resuelven los efectos sumando los efectos en cada una de las estructuras fundamentales. Nota: se considera un comportamiento lineal de la estructura ya que se utiliza el principio de superposición de efectos (PSE) tanto en el planteo del sistema de ecuaciones de compatibilidad como en la determinación de efectos en el hiperestático. Desarrollaremos el método en una estructura de un grado de indeterminación estática. La estructura fundamental se halla liberando el vínculo externo simple, de esta manera se altera la compatibilidad de la estructura en la dirección liberada. La fuerza a colocar en dicho vínculo (reacción de vínculo vertical para este caso) deberá ser de un valor tal que produzca un desplazamiento igual y opuesto al de las cargas externas de manera de recomponer la compatibilidad (desplazamiento vertical nulo en el nudo central)

La ecuación de compatibilidad queda:

e01  f 11  x1  0

Donde:

e01 : es el desplazamiento en la estructura fundamental, correspondiente con la dirección de la incógnita X1, provocado por las cargas exteriores. El subíndice “0” indica que se trata de la estructura fundamental con las cargas externas aplicadas, mientras que el segundo subíndice indica la dirección en donde se mide el desplazamiento (desplazamiento o giro correspondiente con la incógnita hiperestática). Las unidades son de longitud y de ángulo plano (metro y radián por ejemplo). Se puede hallar por medio del Teorema de la Fuerza Virtual (TFV)

f11 : desplazamiento en la estructura fundamental, correspondiente con la dirección de la incógnita X1, provocado por la aplicación unitaria de X1. Se denomina “flexibilidad” y se puede definir la flexibilidad f ij como la magnitud cinemática en una dirección i provocada por una causa estática unitaria actuando en la dirección j. Tiene la dimensión de un desplazamiento por unidad de fuerza (o giro por unidad de momento) ya que en el cálculo interviene una causa unitaria adimensional. Por ejemplo [m/kN] o [rad/kN]. Se puede hallar por medio del TFV.

x1 :es la incógnita hiperestática. Tiene unidades de fuerza (kN o kNm por ejemplo) De la ecuación se despeja x1 

 e01 f11

El segundo miembro de la ecuación, denominado eh1 representa el desplazamiento en la estructura hiperestática en la dirección de la incógnita X1. En este caso es igual a cero pues el vínculo no se desplaza, pero será distinto de cero cuando exista un desplazamiento de vínculo impuesto en correspondencia con la dirección de alguna incógnita hiperestática. Notas: La estructura fundamental del método es un isostático (estructura estáticamente determinada) obtenido al liberar restricciones externas y/o internas. Pueden plantearse por lo tanto infinitos fundamentales liberando GH vínculos, siempre que no se produzcan vinculaciones aparentes.

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Cada una de las estructuras fundamentales se encuentra en equilibrio, por lo tanto la suma de todas ellas será también equilibrada para cualquier valor de la incógnita X1. Es decir, habrá infinitas soluciones equilibradas en la resolución de la estructura hiperestática, pero sólo una será, además, compatible y será aquella que verifique la ecuación planteada. Para avanzar en el método de manera general, plantearemos la resolución de la siguiente estructura de GH=3. Ejemplo 3.4. Resolver la siguiente estructura utilizando el método de las fuerzas. Datos: Sección de la columna: rectangular 30 cm x 40 cm Sección de la viga: rectangular 30 cm x 60 cm. Material: E=30 GPa. Resolución: Verificamos el GIE:

VE=6

VI=0

EEG= 3 EER=0



GIE= 6 – 3 = 3

Las características geométricas de las secciones: Columna: Ic=0.3x0.43/12=0.0016 m4 Viga: Iv=0.3x0.63/12=0.0054 m4 Se propone la siguiente estructura fundamental, liberando restricciones y poniendo en evidencia las incógnitas hiperestáticas elegidas.

Previo al planteo de las ecuaciones de compatibilidad se procede al cálculo de los desplazamientos (giros relativos y absolutos en este caso) en el fundamental, en las direcciones liberadas, debido al estado de cargas externas y a los valores unitarios de las incógnitas. Se hallan los valores e01 , e 02 y e03 y las flexibilidades f ij utilizando el teorema de las fuerzas virtuales (TFV). Para esto se tendrá en cuenta solamente el esfuerzo de momento flector por resultar poco significativo el aporte del trabajo interno de deformación que realizan el corte y el esfuerzo axial. Los diagramas de momento flector serán de utilidad en este procedimiento por eso los expresamos a continuación:

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Para el cálculo de los e0i utilizaremos la expresión derivada del TFV, adoptando como sistema deformante SD la estructura fundamental con las cargas externas ya que es en ese sistema donde se encuentran las magnitudes cinemáticas que queremos hallar. Como sistema equilibrado SE adoptaremos convenientemente la estructura fundamental con magnitudes estáticas unitarias en la dirección de la incógnita buscada. Para la resolución de las integrales utilizaremos las tablas que se pueden encontrar en la bibliografía recomendada.

1  e 01 

1 1 M 0 M 1dx   EI EI c

4



0

M 0 M 1 dx 

1 1 1 1 4kNm(1)4m  4kNm(1)4m 3 EI c 3 30GPa 0.0016m 4

e01  11.10 5 rad el signo negativo significa que el giro absoluto tiene el sentido opuesto al sentido asignado a la incógnita X1.

1  e 02  

1 1 M 0 M 2 dx   EI EI c



4

0

M 0 M 2 dx 

1 EI v



6

0

M 0 M 2 dx 

1 1 1.5 1 4kNm ( 1)4m  15 kNm( 1)6 m  3 EI c 6 EI v

1.5 1 1 1 15kNm ( 1)6m  25 10  5 rad 4 kNm( 1)4 m  4 6 30 GPa  0.0054 m 4 3 30 GPa  0.0016 m

Nota: como las incógnitas unitarias se adoptaron adimensionales el primer miembro de la ecuación del TFV queda directamente igual al valor del desplazamiento buscado con las unidades correspondientes.

e03  13.9  10 5 rad Los desplazamientos (giros) en el fundamental, en las direcciones liberadas, debido a valores unitarios de las incógnitas forman la matriz flexibilidad. Se hallan los valores utilizando el TFV con la expresión f ij 

1 M i M j dx EJ 

Para el cálculo de f 11 se adopta como SD el sistema 1, en donde se encuentra la magnitud cinemática buscada, y como SE se adopta el mismo sistema 1, ya que en éste se ubica una magnitud estática unitaria correspondiente con la incógnita buscada.

1  f 11 

1 1 M 1M 1dx   EI EIc

1 1

4

 M M dx  3 EI 0

1

1

(1)(1)4m 

c

1 1 ( 1)(1)4m 3 30GPa  0.0016m 4

5

f11  2.78  10 rad El resto de los valores se indican en la matriz flexibilidad. El vector e hi contiene los valores de desplazamientos en la estructura original correspondientes con las incógnitas hiperestáticas adoptadas. En este ejemplo el vector es nulo pues no hay giros absolutos en los vínculos externos ni tampoco existe un giro relativo en la unión de barras. Entonces, en la dirección de cada una de las incógnitas se plantea una ecuación de compatibilidad.

e101  f11 X 1  f12 X 2  f13 X 3  eh1 e 02  f 21 X 1  f 22 X 2  f 23 X 3  e h2 e03  f 31 X 1  f 32 X 2  f 33 X 3  eh3 Método de las Fuerzas

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En forma matricial

e 01

f 11

f 12

f 13

e 02  f 21 e 03 f 31

f 22

f 21  X 2  eh 2 f 33 X 3 eh 3

f 32

X1

eh 1

e 0  F  X  eh Donde:

e0 :

vector desplazamientos en el fundamental debidos a las cargas exteriores.

F: matriz flexibilidad. Es una característica del fundamental adoptado. No depende de las cargas exteriores. Es simétrica (por teorema de Maxwell) y la diagonal principal es positiva (los desplazamientos tienen el mismo signo que las cargas que los producen). X:

vector incógnita. Son magnitudes estáticas planteadas como incógnitas al proponer la estructura fundamental.

eh :

vector desplazamiento en la estructura original (hiperestática) en las direcciones de las incógnitas.

Incorporando los valores previamente calculados:

 11.1 10 5 2.78 10 5  25 10 5  1.39  10  5 13.9  10

5

0

1.39 10 5 4.01 10  5  0.62  10

5

0

X1

 0.62 10 1.23  10

5

5

0

 X2  0 X3 0

La resolución del sistema se puede expresar: X  F  1 (e h  e 0 ) , en forma simbólica, ya que no se invierten matrices en general para resolver un sistema de ecuaciones.

X 1  1.92kNm X 2  4.14kNm

Resolviendo:

X 3   9.21kNm La resolución del sistema brinda el valor de las incógnitas hiperestáticas. Esto permite obtener los efectos en cualquier sección del hiperestático utilizando superposición. Por ejemplo, el momento flector en una sección central de la viga se podrá obtener: 3

M c  M c0  M ic  X i  15 0 X 1  ( 0.5) X 2 0.5 X 3 15 ( 0.5)(4.14)  0.5 ( 9.21)  8.35kNm i 1

Los diagramas finales de esfuerzos internos y el equilibrio de nudos son los siguientes:

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Notas: -

la matriz flexibilidad es única para el fundamental adoptado ya que no depende del estado de cargas. Es una matriz simétrica definida positiva. El sistema tendrá solución y ésta será única. Para la resolución numérica podrán emplearse métodos directos como eliminación y factorización, o métodos iterados.

-

la elección arbitraria de la estructura fundamental le da un aspecto artesanal al método y resulta poco atractivo a la implementación en algoritmos computacionales.

-

cada una de las soluciones particulares (el fundamental con cada incógnita unitaria y con las cargas) están en equilibrio para cualquier valor de las incógnitas X. Por lo tanto, por el PSE, la suma estará en equilibrio también. Es decir, existen infinitos valores de X para los cuales se verifica el equilibrio, pero habrá sólo una solución que además verifica la compatibilidad.

-

las cargas de temperatura en barras, al igual que las cargas estáticas, serán aplicadas en el fundamental, modificando el vector e0 . Recordar que las cargas térmicas aplicadas en una estructura isostática no generan esfuerzos ni reacciones de vínculo. Sí producen deformaciones.

-

las cargas de movimiento de vínculo impuesto también serán aplicadas en el fundamental siempre que no correspondan con una incógnita hiperestática pues en ese caso se ha liberado el vínculo y no es posible aplicar la carga en el fundamental. Si el movimiento de vínculo impuesto coincide con la dirección de una incógnita hiperestática intervendrá directamente en las ecuaciones de compatibilidad en el vector e h . En caso de no coincidir la carga de movimiento de vínculo con una incógnita hiperestática, los efectos correspondientes con aquellas formarán el vector e 0 . Recordar que las cargas de movimiento de vínculo en estructuras isostáticas no generan esfuerzos ni reacciones. Sí generan desplazamientos como cuerpo rígido.

Ej. 3.2. Hallar los diagramas de esfuerzos característicos de la estructura de la figura. Dibujar a mano alzada la deformada de ...