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FCBDFNBDF...

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TRIGONOMETRÍA TEMA 1

SECTOR CIRCULAR NÚMERO DE VUELTAS DESARROLLO DEL TEMA

I.

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

LR

n: N.° de vueltas: n =

Circunferencia

2pr

LR: Longitud del recorrido Nota: En el sector circular, la medida del ángulo central siempre debe estar expresada en radianes; entonces, es importante recordar:

R

Círculo

p rad 180° 200g

Longitud de la circunferencia: L = 2pR IV.

Área de círculo: A = pR2

ÁREA DE SECTOR CIRCULAR

R II.

LONGITUD DE ARCO

R

Sea q la medida de un ángulo trigonométrico. R

S=

qrad L

L

R q

S qrad L

R

V.

1 2 qR 2

S=

1 LR 2

S=

L2 2q

ÁREA DE TRAPECIO CIRCULAR

Fórmula básica L = qR q

0 < q ≤ 2p

L1

L2

AT d

III. NÚMERO DE VUELTAS QUE GIRA UNA RUEDA SIN RESBALAR

r

J L1+L2 N Od AT= K L 2 P r

q=

d

0 < q ≤ 2p

LR

SAN MARCOS

L1–L2

1

TRIGONOMETRÍA

TEMA 1

SECTOR CIRCULAR - NÚMERO DE VUELTAS

VI. PROPIEDADES

a I.

a

1rad

L = R ↔ q = 1rad

III. S: Área

S

IV. S: Área K∈R

q Kq

3S

5S

7S

S

L

a R II.

q

b

B

q =B – b n

KS

R

n

KL

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

De la figura AOB y COD son sectores

M

L1 L circulares, además = 2 y el área 3 2 del sector circular DOC es 4u2. Calcule

T

el área del trapecio circular ADCB. A O B De la figura, el área del sector circular AOT es igual al área del sector circular OB MOB. Si OA = , calcule la medida del 2 ángulo BOT. A) 30° B) 36° C) 94° D) 38° E) 40°

A) 7

B) 14

D) 12

E) 10

Resolución:

Resolución:

L1 L2 =k = 3 2

Resolución: OB Sea m]BOT = q; OA = 2 → 2OA = OB

L1 = 3k

En el sector circular

L2 = 2k

AOF → (5) = (2q)(5)

O

2k

q C

Dato:

M

SCOD =

r

r °– q 180 q 2r A r O Dato: SAOT = SMOB

SADCB =

En el sector circular EOD → J ED = K L

1N (8) = 4 u O 2P

Graficando el sector COD C 8

Respuesta: 5u2 O Problema 3

TEMA 1

En el sector circular

SADCB = 5u2

C

L1 B

TRIGONOMETRÍA

O

D

5u F

5u 2q q

B

2

12 8

A

A L2

1 rad 2

q=

COD → EC = (1)(8) = 8 u

B

5(2q) 5k2 (3k)2 (2k)2 = – = 2q 2q 2q 2q

Respuesta: 36°

C

3k

Incógnita

Resolviendo q = 36°

O

2q = 1

(2k)2 = 4 → k2 = 2 q 2q

B

1 (180°– q)r2 = 1 (q)(4r2) 2 2

D

A

D

Sea OA = r → OB = 2r

Problema 2

PRE UNMSM 2013–II

PRE-UNMSM 2012–II

UNMSM 2012–II

T

C) 18

Del gráfico mostrado AOB y COD son sectores circulares. Indique el perímetro del sector circular COD. A) 27 u B) 26 u C) 25 u D) 28 u E) 24 u

E

Perímetro = 28

Respuesta: 28 u D

SAN MARCOS

TRIGONOMETRÍA TEMA 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS DESARROLLO DEL TEMA

I.

Se cumple:

CONCEPTOS PREVIOS

Triángulo ABC (Recto en B)

A.

Razones Recíprocas

SenA . CscA = 1 CosA . SecA = 1 TanA . CotA = 1

C

a

b

•

a y c (longitud de los catetos)

•

b (longitud de la hipotenusa)

Ejemplos: •

1 Csc20° Cos50° . Sec50° = 1

•

Tanx . Coty = 1 → x = y

• B • • •

A c b>a∧b>c m∠A + m∠C = 90° a2 + c2 = b2 (Teorema de Pitágoras)

Sen20° =

B. Razones Complementarias (Co-razones)

De las definiciones, en (II) se observa: II.

Sen A = Cos C Tan A = Cot C Sec A = Csc C

DEFINICIÓN

Con respecto a la m∠A • • • • • •

Sen A = Cateto opuesto = a Hipotenusa b Cateto adyacente = c Cos A = Hipotenusa b Cateto opuesto a = Tan A = Cateto adyacente c Cot A = Cateto adyacente = c Cateto opuesto a Hipotenusa b = Sec A = Cateto adyacente c Hipotenusa b Csc A = = Cateto opuesto a

m∠A + m∠C = 90°

Ejemplos: • Sen70° = Cos20° • Sec(30° + x) = Csc(60° – x) • Cos(90° – a) = Sena • Secq = Csc(90° – q) • Tan (x + 10°) = Cot3x → x + 10° + 3x = 90° 4x = 80° x = 20° En General: R.T (b) = CO – RT (90° – b)

III. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRI-

C.

El valor de una razón trigonométrica solo depende de la medida del ángulo de referencia

GONOMÉTRICAS

Sabemos: C.O. Tanq = C.A.

Dado un triángulo ABC (recto en B) C a

m

b

b

a

q B

SAN MARCOS

c

n

A

3

TRIGONOMETRÍA

Tanq =

a m = b n

TEMA 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

IV. TANGENTE Y COTANGENTE DEL ÁN-

V.

GULO MITAD

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

C b

A.

Exactos

a k 2

A

1k

B

c

45° 1k

A Tan = Csc A – Cot A 2 A = Csc A + Cot A 2

Cot

45°

60°

2k

1k

Demostración: C A/

D

A

A/2 A

b

30° k 3

2

b

a

c

B

B.

Aproximados

5k

•

Se prolonga el lado BA hasta el punto "D" tal que AD = AC.

•

Formamos un triángulo isósceles uniendo "D" y "C"

•

Del triángulo DBC

53° 3k

37° 4k

JAN b + c b c Cot K O = = + 2 a a a L P

74°

25 k

JA N Cot K O = Csc A + Cot A L2 P

7k

16° 24 k

Observación: Triángulos pitagóricos mas usados. VI. TABLA DE VALORES NOTABLES

5

13

9

61 60

21

Sen

40

12

11

41

8

60°

45°

37°

53°

1/2

3/2

2/2

3/5

4/5

2/2

4/5

3/5

Cos

3/2

1/2

Tan

3/3

3

1

3/4

4/3

Cot

3

3/3

1

4/3

3/4

Sec

2 3/3

2

2

5/4

5/3

Csc

2

2 3/3

2

5/3

5/4

17 15

29 20

TEMA 2

30°

TRIGONOMETRÍA

4

SAN MARCOS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

P = (2 + 3 ) (2 – 3

Halle el valor de: N N J Sen60° – Sen30° N P2 + 3 P KL Sen60° + Sen30°OP A) 0

B) 1

D) 3

E)

2– 3

J N Tg K a O = k L2 P b

→∴ P = 1

Respuesta: k b

Respuesta: 1

3

Problema 2 En el triángulo BAC de la figura,

Problema 3 En la figura, AD = 12cm, Halle BC B

AC = b cm y BC – AB = k cm donde J N b > k, halle Tg K a O L2P C

Resolución: Planteamiento Sabemos: 60°

30° 105° A

2k 30°

Procedimiento Sea: 2– 3

J Sen60° – Sen30° N P = PN2 + 3 NPK Sen60° + Sen30° O L P 3 2 3 2

J 1K – K 2L J 1 + KK 2L

J J K 3 – 1K K P = PN2 + 3 NP K K 3 + 1K L L

A) 2k

B) kb

k D) a

E) 1

2– 3

J K 3 – 1K L P = N2 + 3 N L P P 2

B) 3( 3+1) D)

3–1

E) 3( 3 –1)

k b

UNMSM 2009–I

UNMSM 2012–I

Resolución: Análisis de datos:

B 6

P

Sabemos: Tg JK q NO = Cscq – Cotq L 2P

6 3 A

x 6

45° 30° 60° D 12

C

Operación del Problema Se traza DP ⊥ AB

C b

J2 2– 3

C)

A) 3 3 C) 2 3

Análisis de datos

2– 3

J J JJ K 3 – 1 KK 3 – 1 K K KK P = PN2 + 3NP K K 3 + 1 KK 3 – 1 K L L LL

B

C

D

Resolución:

Se racionaliza

SAN MARCOS

a

A

k 3

J K K P = PN2 + 3NP L J K K L

2– 3

C) 2 UNMSM 2014–I

k

P =1

J N Tg K a O = a – c ; por dato (a – c = k) b L2 P

2– 3

2– 3

A

APD notable (30° y 60°)

a

→ AP = 6 3 y DP = 6 a c

J N Tg K a O = Csca – Cota L 2P

B

DPB notable 45° → PB = 6 En el

ABC

Sen30° =

Del gráfico J N Tg K a O = a – c b L 2P b

x 6 3 +6

→ 3( 3 + 1)

Respuesta : 3( 3+ 1)

5

TRIGONOMETRÍA

TEMA 2

TRIGONOMETRÍA TEMA 3

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES - ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN DESARROLLO DEL TEMA

I.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

II.

NOTABLES

A.

Exactos

45° k 2

Sen

60° 2k

1k

45°

1k

30°

60°

45°

37°

53°

1/2

3/2

2/2

3/5

4/5

2/2

4/5

3/5

Cos

3/2

1/2

Tan

3/3

3

1

3/4

4/3

Cot

3

3/3

1

4/3

3/4

Sec

2 3/3

2

2

5/4

5/3

Csc

2

2 3/3

2

5/3

5/4

30°

1k

B.

R AZ O NES TR IG O NO MÉTR ICAS D E ÁNGULOS NOTABLES

k 3

Aproximados

53° 5k

3k

37° 4k

III. ÁNGULOS VERTICALES

Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira) y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasifican en: ángulos de elevación y ángulos de depresión. (ver gráficos).

74° 25 k

7k

16° 24 k

aall issuu v aa V

8°

2

7k

SAN MARCOS

6

2

k

k

6 –

5

ee Línn a a L nea horizontal Línea

L

82°

75°

+

2

H

h h 15°

4k

a : Ángulo de elevación

6

TRIGONOMETRÍA

TEMA 3

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN

visuales; una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja. Luego "q" es el ángulo formado por las dos visuales.

Línea horizontal L bb LLínín eeaa

vVisis uuaa ll

q b : Ángulo de depresión Consideración: En el gráfico adjunto. "q" es el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note que deben trazarse las dos

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 En base a los datos de la figura calcular Tanq. B

NIVEL INTERMEDIO

60° 3n

A) 1,2 D) 4,0

D n A

q

Problema 2 Resolver: x + 3Tan45° 2Sen37° + 1 = x – 3Tan45° 2Sen37° – 1

C

B) 2,4 E) 5,8

C) 3,6

Resolución: Planteamiento:

NIVEL DIFÍCIL

A)

3 4

C)

3 6

E)

B)

3 5

D)

3 7

Sabemos:

Resolución: 1

Análisis de los datos: • Por el punto (D) se traza la perpendicular DP (P en AC). • El triángulo DPC es notable de 30º y 60º. • Sea n = 2. • La longitud del lado del triángulo ABC es 8. En el triángulo rectángulo sombreado 3 (APD): Tanq = 7 3 Respuesta: 7

SAN MARCOS

2 Tan45° = 1

45°

3 8

Resolución: Planteamiento: • Completando los datos, el triángulo ABC es equilátero. • Las alternativas del problema son números, entonces es conveniente asignar un valor a (n).

Problema 3 Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura del poste es de 30 m. ¿A qué distancia del poste se encuentra el punto de observación? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

1

3

5

53° 4

Planteamiento: Sabemos:

45° Tan37° = 3 5

30m 37°

37°

x

Por aritmética: a+b m+n a m = = → b n a–b m–n

3

5

53° 4

Análisis de los datos: Aplicando la teoría de proporciones: x 2Sen37° = 3Tan45° 1 Reemplazando y operando convenientemente: 3 18 x =2 →x= → x = 3,6 3(1) 5 5

Análisis de los datos: Considerando el triangulo notable de 37° y 53°, tomamos Tg37° en el gráfico del problema. Tg37° =

30 3 30 → x = 40m → = x x 4

Respuesta: C) 3,6

7

37°

TRIGONOMETRÍA

Respuesta: D) 40m

TEMA 3

TRIGONOMETRÍA TEMA 4

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DESARROLLO DEL TEMA

I.

Sabemos que todo triángulo tiene seis elementos básicos, tres lados y tres ángulos.

y

Además otros elementos auxiliares como alturas, medianas, bisectrices, etc.

x

Para “y” y = Secq → y = aSecq a

q a

Resolver un triángulo consiste fundamentalmente en hallar los elementos básicos de este, para lo cual debemos conocer por lo menos tres de sus elementos (necesariamente uno de ellos no angular). II.

Para “x” x = Tanq → x = aTanq a

INTRODUCCIÓN

III. ÁREA DE REGIÓN TRIANGULAR

a

TRES CASOS

S=

S er

1.

q

Caso

Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo.

a

y

q x

a.b Senq 2

b

Para “x” x = Cosq → x = aCosq a

Ejemplo: Calcule el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB = 5 cm, AC = 6 cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37°.

Para “y” y = Senq → y = aSenq a

Resolución: 1 . 5 . 6 Sen37° 2 1 . 5 . 6 J 3N S= K O 2 L 5P

S= do

2.

5

Caso

Conociendo un ángulo agudo y longitud de su cateto opuesto.

a

q x er

6

Para “x” x = Cotq → x = aCotq a

y

3.

S = 9 u2

37°

IV. LEY DE PROYECCIONES

Para “y” y = Cscq → y = aCscq a

En todo triángulo ABC; se cumple: B aCosB + bCosA = c

Conociendo un ángulo agudo y la longitud de su cateto adyacente.

SAN MARCOS

A

8

bCosC + cCosB = a

a

c

Caso

b

aCosC + cCosA = b C

TRIGONOMETRÍA

TEMA 4

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Prueba: Trazando una altura y aplicando uno de los casos mencionados anteriormente llegamos a: B

c

a

A A

C

cCosA

Se concluye: cCosA + aCosC = b

C

aCosC b

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 De la figura S1 y S2: áreas. Calcular

S1 S2

Problema 2 .

De la figura AC = DE = a D

Respuesta: (Sena – Cosq)

S1 q A) Senq D) Csc2q

C q

S2

q

B) Cosq E) Sen2q

C) Sec2q

Resolución: Sabemos q

a

b

S

ab S= Senq 2

A

q q

n

S2

S2

Respuesta: Sec2q

SAN MARCOS

Resolución: De acuerdo con la ley de proyecciones, se sabe: Dado el triángulo ABC: aCosB + bCosA = c aCosC + cCosA = b bCosC + cCosB = a

Se sabe: m

mSenq

q

mCosq Resolución:

b

a

C q

a A

Planteamiento Aplicando la propiedad distributiva: K = aCosC + bCosC + aCosB + cCosB + bCosA + cCosA

D

b

= Sec2q

Dado un triángulo ABC y siendo "p" el semi-perímetro determinar qué representa la siguiente expresión: K = (a+b)CosC + (a+c)CosB + (b+c)CosA A) 2p B) p C) p + a D) p – a E) p + b

B

Análisis del problema:

S1

Aplicando fórmula: an Senq S1 3 a = = b S2 bn Senq 3 De la figura: S1

E

Problema 3

a

DC = b. Halla b/a. A) (Sena – Cosq) B) (Csca – Secq) C) (Tga – Ctgq) D) (Csca – Cosq) E) (Cosq – Csca)

Asignamos variables en la figura: a

aSena = aCosq + b → a(Sena – Cosq) = b b → Sena – Cosq = a

a

aSena aCosq

B

E

En el triángulo ABC, BC = Cosq → BC = aCosq a En el triángulo EBD, BD = Senq → BD = aSenq a

9

Análisis de los datos Agrupando convencionalmente: K = (aCosC + cCosA) + (bCosC+cCosB) + 14444244443 14444244443 b a (aCosB+bCosA) 14444244443 c K=a+b+c p: perímetro

Respuesta: 2p

TRIGONOMETRÍA

TEMA 4

TRIGONOMETRÍA TEMA 5

GEOMETRÍA ANALÍTICA ECUACIÓN DE LA RECTA I DESARROLLO DEL TEMA

I.

III. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

CONCEPTO
<...