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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria Ecuaciones Diferenciales Definición: Una Ecuación Diferencial es aquella que contiene derivadas o diferenciales de una ó más variables dependientes con respecto a una ó más variables independientes. Ec. Diferenciales Ordinarias: Si una ecuación incluye solo derivadas ordinarias de 1 ó mas variables dependientes respecto a 1 sola variable independiente, se dice q es una Ecuación Diferencial Ordinaria. Clasificación Ec. Diferenciales Parciales: una ecuación que contiene derivadas parciales de 1 ó más variables dependientes con respecto a 2 ó mas variables independientes se llama Ecuación Diferencial Parcial. Ejemplos: E.D.O 3

E.D.P.

dy  9 y  15 dx

u u  y x u u y u x y

(2 x  3 y ) dx  8 ydy  0

x

du dv   5x dx dx

2 u  2 u  x 2 t 2

dy 2 dy  2  3y  0 2 dx dx Clasificación según Orden: El Orden de la derivada más alta de la ecuación diferencial es lo que se llama Orden de la Ecuación Diferencial. Ejemplos: (1  x) y ''  4 xy '  96 y  cos 5 x

Segundo Orden

xy '  2 y  1  x 2

Primer Orden

x 3 y (4 )  x 2 y ''  4 xy  3 y  0

Cuarto Orden

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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria dy d2 y  1 2 dx dx

Segundo Orden

Clasificación según Linealidad: Las Ecuaciones Diferenciales Lineales se caracterizan por 2 propiedades: 1. El grado de la variable dependiente y sus derivadas es 1, esto es, el exponente de cada variable es 1. 2. El coeficiente de la variable dependiente y sus derivadas solo depende de la variable independiente. Una ecuación diferencial que no posee estas propiedades se dice que es NO LINEAL. Ejemplos: E.D.O. Lineal

E.D.O. No Lineal

(1  x) y ''  4 xy '  5 y  cos x

yy '  9 y  8  x 2 El Coef. de y' depende de la variable dep. y

d 4y  2 y2  0 El Grado de y no es 1 dx 4

x 3 y (4 )  x 2 y ''  4xy '  3y  0 (senx ) y '''  (cos x ) y '  2

Ecuación Diferencial Lineal de Orden N Es de la forma:

a n ( x)

dn y d n 1 y dy   ....  a1 (x )  a0 ( x) y  f ( x) a x ( )  1 n n 1 n dx dx dx

(A)

y la Ecuación Lineal Homogénea de Orden N asociada con (A) es

a n ( x)

d ny d n 1 y dy a x ( ) ....  a1 (x )  a0 ( x) y  0  n 1 n 1  n dx dx dx

(A1)

Aquí a n ( x )  0 y ai (x) y f (x ) son continuas en algún intervalo Abierto I en el que se desee resolver la ecuación diferencial.

Otra forma de definir (A) G ( x, y, y ' , y '' )  0

Segundo Orden

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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria ' '' ( ) G ( x , y , y , y ,...., y n )  0

Ecuaciones Lineales de segundo Orden Homogéneas A ( x ) y ''  B ( x ) y '  C ( x ) y  F ( x) Donde A,B, C y F son continuas en el intervalo abierto I A( x )  0 en cada punto de I Si dividimos en A(x ) y ''  p ( x ) y '  q ( x ) y  f ( x ) Y su homogénea asociada y ''  p ( x ) y '  q ( x ) y  0

(B)

Principio de Superposición para Ecuación Homogéneas Sean y 1 e y2 dos soluciones de la Ecuación Lineal Homogénea (B) en el intervalo I, si C1 y C 2 son constantes, entonces la Combinación Lineal

y  c1 y 1  c 2 y 2 Es también una solución de la ecuación (B) en I Demostración: y '  c 1 y 1'  c 2 y 2' ; y ''  c1 y1''  c 2 y''2 y ''  py '  qy  (c 1 y 1  c 2 y 2 ) ''  p (c 1y 1  c 2 y 2 ) '  q (c 1 y 1  c 2 y 2 )  (c 1 y1''  c 2 y 2'' )  p (c1 y1'  c 2 y '2 )  q (c1 y 1  c 2 y 2 )  c1 (y ''  py1'  qy 1 )  c 2 ( y ''  py 2''  qy 2 )  c1  0  c 2  0 Debido a que y1 e y 2 son soluciones. Entonces y  c1 y1  c 2 y 2 es también solución. NOTA: Es extensible a Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden N. Independencia Lineal de 2 Funciones

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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria Dos funciones definidas en un intervalo abierto I son linealmente independientes en I, si ninguna de ellas es múltiplo constate de la otra, o dicho de otra manera, cuando no es posible obtener alguna de ellas multiplicando la otra por una constante. Ejemplos:

L.I.

L.D

senx y cos x

f ( x)  sen2 x y g ( x)  senx cos x

e x y e 2 x

f ( x)  2 g ( x )

e x y xe x

sen 2 x  2senx cos x

senx  tgx  cte . cos x cos x  ctgx  cte . senx

Otra Definición: Se dice que un conjunto de funciones f 1 ( x ), f 2 ( x ),...., f n ( x) es linealmente dependiente en el intervalo I, si existe constantes C1 , C 2 ,....Cn no todas Cero, tal que: c 1 f 1 (x )  c 2 f 2 ( x )  ...  cn f n ( x )  0 Para todo x en el intervalo. Si el conjunto no es linealmente dependiente en I, se considera que es linealmente independiente. Ejemplo: c 1 (1,0,0)  c 2 (0,1,0)  c 3 (0,01)  0

   i , j , k L.I.

   V  c1i  c2 j  c3 k

V es L.D.

Wronskiano: Suponga que cada una de las funciones f 1 ( x ), f 2 ( x ),...., f n ( x) posee al menos n-1 derivadas, el determinante:

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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria f1

f2



fn

' 1

' 2



f n'



( n 1) n

f

W ( f 1 , f 2 ,..., f n ) 

f

 f



(n 1) 1

f

( n 2 ) 2

 f

Se llama Wronskiano de las funciones.

Teorema: Sean y1 , y 2 ,.... y n n soluciones de la ecuación diferencial (A1), lineal homogénea y de orden n en el intervalo I, entonces el conjunto de soluciones es linealmente independientes en I si y solo si W ( y1 , y 2 ,..., y n )  0 para todo x en el intervalo I Ejemplo: y1  e 3 x ; y 2  e 3 x son soluciones de la E.D.L.H. y  9 y  0 en ( ,  ) W (e 3x ,e  3 x ) 

e 3x

e 3 x

3e 3 x

 3e 3 x

 6  0

L.I. para todo x en I

Entonces y1 e y 2 forman un conjunto fundamental de soluciones y en consecuencia y  c1e3 x  c 2e3 x

es solución gral. de la E.D. en I

Teorema de Existencia y Unicidad para ecuaciones lineales Supóngase que las funciones p, q y f son continuas en el intervalo abierto I, que contiene el punto a. Entonces, dadas cualesquiera dos números b0 y b1 la ecuación

y   p (x ) y   q( x ) y  f ( x) Tiene solución única (esto es, una y solamente una) en el intervalo entero I que satisface las condiciones iniciales y ( a)  b 0

y( a)  b1

Ejemplo: E.D.L. 1er Orden

dy  2x  3 dx

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y(1)  2

Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria Solucion: y ( x)  x 2  3 x  c

Solución General

y (1)  (1) 2  3(1)  c  2

c  2

y ( x )  x 2  3x  2

Solución Particular

Familia de Soluciones 35 30 25 20 y=x2+3x+2 y=x2+3x

15

y=x2+3x-2 10

y=x2+3x-4 y=x2+3x-6

5 0 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-5 -10

E.D.L. 2do Orden

y  3 y   2 y  0

y (0)  1

Solución y ( x )  c1e  x  c 2 e 2 x

y (0)  1

y(0)  0

y  2e  x  e 2 x

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Solución General

y (0)  0

Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria Familia de Soluciones 30

20

10

0 -2

-1

y=1,5exp(-x)-0,5exp(2x) 0

1

2

3

4

5

y=8exp(-x)-7exp(2x) y=-4exp(-x)+5exp(2x)

-10

-20

-30

-40

Solución General de una Ecuación Diferencial Homogénea Sean y1 , y 2 ,.... y n homogénea

soluciones linealmente independientes de la ecuación

y ( n)  p1 (x ) y ( n1)  ....  p1 ( x ) y  pn ( x ) y  0

(1)

En el intervalo abierto I donde las pi son continuas. Si y es cualquier solución de la ecuación (1), entonces existen valores C1 , C 2 ,....Cn tales que: y ( x )  c 1 y1 ( x )  c 2 y 2 ( x )  ....  cn yn ( x) Para toda x en I

Solución General de una Ecuación Diferencial No Homogénea

Sea y p una solución particular de una ecuación homogénea (2) y ( n)  p 1 (x )y ( n1)  ....  p 1 (x )y   p n (x )y  f (x )

(2)

En un intervalo abierto I donde las funciones pi / x) y f (x) son continuas.

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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria Sean y1 , y 2 ,.... y n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial homogénea asociada (1). Si y es alguna solución de la ecuación (2) en I, entonces existen valores C1 , C 2 ,....Cn tales que: y (x )  c 1 y1 ( x )  c 2 y 2 ( x )  ....  cn yn ( x)  y p ( x)

y c (x) Función complementaria

Solución Particular

Soluc. Gral. De la Ec Dif. No Homogénea

y( x)  y c  y p

Operador Diferencial Se representa por D 

d la operación de derivación con respecto a x de tal dx

manera que: Dy  y  

dy dx

D 2 y  y 

d 2y 2 dx

D 3 y  y  

d3 y dx3

Entonces la expresión: L  an D n  a n1 D n1  ....  a 2 D 2  a1 D  a 0

Se llama Operador Diferencial de Orden n, y cuando se aplica a cualquier función, produce: Ly  a n y n  an 1 y n  1  ....  a2 y 2  a1 y  a 0 y

Leyes Fundamentales de Operación 1. Ley Conmutativa de la Suma: A B  B  A

2. Ley Asociativa de la Suma:

( A  B )  C  A  (B  C )

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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria 3. Ley Asociativa de la Multiplicación: ( A  B)  C  A (B  C ) 4. Ley Distributiva de la Multiplicación con respecto a la Suma A  (B  C )  A  B  A  C 5. Si A y B son operadores con coeficientes constantes, entonces también satisface la Ley conmutativa de la Multiplicación A B B A

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