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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Constantes

Dada la ecuación diferencial:

󰆒󰆒 +  󰆒 +  = 0

(1)

Ec. Dif. Homogénea c/coef. Ctes.-

Proponemos una solución de la forma  =  , entonces reemplazando , 󰆒 , 󰆒󰆒 en (1) tenemos que:  =  

 󰆒 =  

 󰆒󰆒 =   

(   ) + ( ) + (  ) = 0   ( +  + ) = 0 ≠0∀ ∈ ℝ

=0

Como la función   Nunca es cero cuando x tiene valor real, entonces lo que está entre paréntesis es igual a cero

 +  +  = 0

(2)

Ecuación Auxiliar ó Ecuación Característica de la Ec. Dif. (1)

Como m1 , =

±√ 

Raíces de la Ec. Característica (2)



m2

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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria Vemos que tenemos tres formas de la solución de la ecuación (2) m1 y m2

(A) raíces reales y distintas

  − 4 > 0

depende de

m1 y m2

(B) raíces reales e iguales

  − 4 = 0

 − 4

m1 y m2

(C) raíces complejas conjugadas

  − 4 < 0

(A) Raíces Reales y Distintas

Si la ecuación diferencial:

󰆒󰆒 +  󰆒 +  = 0

(1)

Tiene una ecuación Auxiliar o característica

 +  +  = 0

Y esta ecuación tiene dos raíces reales y distintas    , llegamos a dos soluciones:

 =   

 =   

Soluciones L.I. en (−∞, ∞) y forman un cjto. Fundamental

Entonces la solución general de la ecuación (1) en ese intervalo es

 =    +    

Solución general de la Ec. Dif. Hom. c/coef. Ctes.

Ejemplo:

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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria  󰆒󰆒󰆒 + 3󰆒󰆒 − 10󰆒 = 0 Ecuación característica   + 3 − 10 = 0 Factoreando ( + 3 − 10) = 0 , =

 = 0

−3 ± 3 − 4.1. (−10) 2. (1)  = 2

, =

±√ 

=

± 

=  = −5

 =    +   +     =  +   +   

Solución General

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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria (B) Raíces Reales Repetidas

Tenemos

󰆒󰆒 +  󰆒 +  = 0

(1)

y su Ec. Característica  +  +  = 0

Como  =  , tenemos una sola solución

 =   

Podemos obtener una segunda solución a partir de la primera por el Método de Reducción de Orden  = () ()

Entonces obtenemos

 =  

Y la solución general de la ecuación (1) es:

 =    +  

Solución General

Ejemplo: 9 () − 6 () +  () = 0 Ecuación característica

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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria 9 − 6 +  = 0   (9 − 6 + 1) = 0

 = 0

 =  =  = 0

(9 − 6 + 1) = 0 , =

()±() .. .





=  = 



 =



 =

 





  =  +   +    +    +   

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Solución General

Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria (C) Raíces Complejas Conjugadas

Dada La Ec. Dif. 󰆒󰆒 +  󰆒 +  = 0

y su Ec. Característica  +  +  = 0

(1)

Y tenemos que    son raíces complejas podemos escribir:  =  +   =  −  Entonces tenemos que:  =   () +   ()

(2)

Pero como queremos trabajar con funciones reales y no con exponenciales complejas usamos la formula de Euler   = cos  +  sin 

Reemplazando   = cos  +  sin  +

  = cos  −  sin 

  +  = 2cos 

  = cos  +  sin  -

  = cos  −  sin 

  −   = 2 sin 

Como (2) es solución de (1) y  =  = 1 ;  = 1,  = −1 tenemos dos soluciones:  =  () −  ()

 =  () + () pero  =   ( +   ) = 2  cos   =   ( −   ) = 2 sin 

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Materia: Calculo Avanzado – Mecánica Prof. : Ing. Bernardo R. Soria

Entonces las funciones reales   cos  y   sin  son soluciones de (1) y forman un conjunto fundamental de soluciones en (−∞, ∞) :  =    cos  +    sin   =   ( cos  +  sin )

Solución General

Ejemplo:  󰆒󰆒 − 4󰆒 + 5 = 0 Ecuación característica   − 4 + 5 = 0 , =

()±() .. .()

=

±√ 

 = 2 +   = 2 − 

 =   ( cos  +  sin )

Solución General

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