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TEMA 3: DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Introducci´ on: Derivada de una funci´ on real de variable real 1. Funciones diferenciables Derivadas parciales 1.2 Diferenciabilidad 1.3 Propiedades de las funciones diferenciables 1.1

2. Derivadas direccionales y vector gradiente

1 / 15 Introducci´ on: Derivada de una funci´ on real de variable real

Introducci´ on: Derivada de una funci´ on real de variable real Sean I ⊂ R un intervalo abierto, a ∈ I y f : I → R. Se dice que f es derivable en a si el siguiente l´ımite existe y pertenece a R: f (x) − f (a) Notaci´on ′ = f (a) ≡ Derivada de f en a lim x→a x −a f(x) f(x)-f(a) f(a)

x-a y=f(x)

a x Interpretaci´ on geom´ etrica: f ′ (a) es la pendiente de la recta tangente a G (f ) en el punto (a, f (a)) 2 / 15 1. Funciones diferenciables

1.1 Derivadas parciales

1. Funciones diferenciables 1.1 Derivadas parciales Definici´ on. Sean D ⊂ R2 conjunto abierto, (a, b) ∈ D y f : D → R. La derivada parcial de f respecto a x en (a, b) es el siguiente l´ımite, si existe y pertenece a R:

z

. z

f (x, b) − f (a, b) Notaci´on ∂f = (a, b) . lim x→a ∂x x −a La derivada parcial de f respecto a y en (a, b) es el siguiente l´ımite, si existe y pertenece a R: lim

y →b

f (a, y) − f (a, b) y −b

Notaci´ on

=

(a,b,f(a,b)) z

f(x,b)

f(a,y)

z

f(x,y)

y

∂f (a, b) . ∂y x

(a,y)

.

(x,b)

(a,b)

Interpretaci´ on geom´ etrica: ∂f (a, b) es la pendiente de la recta tangente a G (f ) en el ∂x punto (a, b, f (a, b)) en la direcci´on del eje X . An´alogamente, se interpreta∂y∂f(a, b).

3 / 15

1. Funciones diferenciables

1.1 Derivadas parciales

Observaci´ on. Las derivadas p parciales de una funci´on en un punto pueden no existir. Por ∂f (0, 0) no existen. ejemplo, dada f (x, y) = x 2 + y 2 , las derivadas parciales ∂f (0, 0) y ∂y ∂x

La derivada parcial como modelo matem´ atico para la F´ısica Si f es una funci´on que modela una magnitud escalar (temperatura, densidad, altitud, ∂f etc.) sobre una regi´on plana, ∂x (a, b) representa la variaci´on o raz´on de cambio de dicha magnitud si desde la posici´on (a, b) se incrementa la variable x. De la misma forma, se ∂f interpreta ∂y (a, b). Definici´ on. Sean D ⊂ Rn c. abierto, a¯ = (a1 , . . . , an ) ∈ D, f : D → R e i ∈ {1, . . . , n}. La derivada parcial i -´ esima, o derivada parcial respecto a la variable xi , de f en el punto a¯ es el siguiente l´ımite si existe y pertenece a R: f (a1 , a2 , . . . , ai −1 , xi , ai +1, . . . , an ) − f (¯ a) Notaci´on ∂f = lim (¯ a). xi →ai xi − ai ∂xi La funci´ on derivada parcial i-´esima de f es la funci´on definida como sigue: o ∂f n ∂f (¯ a ) −→ R : a¯ ∈ D : ∃ ∂x i ∂xi ∂f (¯ a) a¯ −→ ∂xi 1. Funciones diferenciables

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1.1 Derivadas parciales

C´ alculo de las derivadas parciales x ) para todo x¯ ∈ Di Sea f funci´on de n variables y sea i ∈ {1, 2, . . . , n} tal que existe∂x∂fi (¯ con Di ⊂ Dom(f ). 1. C´ alculo de la funci´ on derivada parcial i -´ esima Para calcular la funci´on ∂x∂fi : Di → R, en la expresi´on f (x1 , x2 , . . . , xn ) se considera que s´olo xi es una variable, mientras que el resto son interpretadas como constantes. As´ı, se obtiene una funci´on φ de variable xi . Si φ es derivable en alg´un intervalo abierto donde se puedan aplicar las reglas de derivaci´on entonces, derivando φ mediante dichas reglas, ∂f ; en otro caso, se debe utilizar la definici´on de derivada parcial. se obtiene φ′ = ∂xi 2. C´ alculo de la derivada parcial i-´ esima en un punto ∂f Para calcular (¯ a), con a¯ = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ D, como alternativa a la definici´on, si es ∂xi posible, se procede como sigue: Se calcula la funci´on derivada parcial i -´esima de f aplicando las reglas de derivaci´on. Se particulariza la expresi´on obtenida sustituyendo xj por aj ∀j = 1, 2, . . . , n. 5 / 15 1. Funciones diferenciables

1.2 Diferenciabilidad f derivable en a ⇐⇒ ∃f ′ (a) = lim

f (x)−f (a) x−a x→a

1.2 Diferenciabilidad

|f (x)−(f (a)+f ′ (a)(x −a))| |x−a| x→a

⇐⇒ lim

= 0, esto es,

cerca de a, f (x) se aproxima por la funci´on polin´omica r(x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) cerca de (a, f (a)), G (f ) se parece a la recta de ecuaci´on y = f (a) + f ′ (a)(x − a) Diferenciabilidad de funciones de dos variables: El plano tangente Definici´ on. Sea D ⊂ R2 conjunto abierto, una funci´on f : D → R es diferenciable en (a, b) ∈ D si existen las derivadas parciales de f en (a, b) y, adem´as,      ∂f ∂f (a , b)(x − a ) + (x, y) − f (a, b) + (a, b)(y − b) f  ∂x ∂y = 0. lim k(x, y) − (a, b )k (x,y )→(a,b) Esto significa: cerca de (a, b), f se aproxima por la funci´on polin´omica ∂f ∂f π(x, y) = f (a, b) + (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b). ∂y ∂x cerca de (a, b, f (a, b)), G (f ) se parece al plano de ecuaci´on ∂f ∂f z = f (a, b) + (a, b)(y − b), (a, b)(x − a) + ∂y ∂x denominado plano tangente a G (f ) en el punto (a, b, f (a, b)) 6 / 15

1. Funciones diferenciables

z

1.2 Diferenciabilidad

z

z

plano tangente a G( f ) en (a,b,f (a,b)) . z

f(x,y) y

y

.

(a,b) punto de diferencibilidad

x (0,0) punto de no diferencibilidad

.

x

i hx2h+yh2

Definici´ on. Sean D ⊂ R2 conjunto abierto, (a, b) ∈ D y f : D → R. Si f es diferenciable en (a, b) ∈ D, se llama matriz jacobiana de f en (a, b) a la matriz   ∂f ∂f Notaci´ on = Jf (a, b). (a, b) (a, b) ∂x ∂y La aplicaci´on lineal df (a, b) : R2 → R, definida para cada (u, v ) ∈ R2 por    ∂f ∂f ∂f ∂f u (a, b) = (a, b) u + df (a, b)(u, v ) = (a, b) (a, b) v , v ∂x ∂x ∂y ∂y se llama diferencial de f en (a, b). 7 / 15 1. Funciones diferenciables

1.2 Diferenciabilidad

Diferenciabilidad de funciones de n variables Definici´ on. Sean D ⊂ Rn conjunto abierto, a¯ = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ D y f : D → R. Se ∂f dice que f es diferenciable en a¯ si para todo i ∈ {1, 2, . . . , n} existe ∂x (¯ a) y se verifica: i   n   P ∂f f (¯ a) − (¯ a)(xi − ai )   x ) − f (¯ ∂xi i =1 = 0. (1) lim x¯→¯ a k¯ x − a¯k Si f es diferenciable en todo punto x¯ ∈ D, se dice que f es diferenciable en D. n P ∂f f (¯ x ) − f (¯ a) − (¯ a)(xi − ai ) ∂xi i =1 = 0. Observaci´ on. El l´ımite (1) es equivalente a lim x¯→¯ a k¯ x − a¯k Definici´ on. Sean D ⊂ Rn conjunto abierto y f : D → R. Si f es diferenciable en a¯ ∈ D, se llama matriz jacobiana de f en a¯ a la matriz   ∂f ∂f ∂f Notaci´ on = Jf (¯ a). (¯ a) . . . (¯ a) (¯ a) ∂xn ∂x2 ∂x1 La aplicaci´on lineal df (¯a) : Rn → R, definida para cada v¯ = (v1 , v2 , . . . , vn ) ∈ Rn por n ∂f P (¯ a)vi , se llama diferencial de f en a¯. df (¯ a)(¯ v) = 8 / 15 i =1 ∂xi 1. Funciones diferenciables

1.3 Propiedades de las funciones diferenciables

1.3 Propiedades de las funciones diferenciables Proposici´ on 1. (Diferenciabilidad de las funciones b´asicas) 1. Si c ∈ R, la funci´on f (¯ x ) = c es diferenciable ∀¯ a ∈ Rn , siendo Jf (¯ a) = (0 · · · 0). 2. Dada i ∈ {1 a ∈ Rn siendo  , 2, . . . , n}, la proyecci´on i -´esima  Πi es diferenciable ∀¯ i i i (¯ a) ∂Π (¯ a) . . . ∂Π JΠi (¯ a) = ∂Π (¯ a) = (0 · · · 0 1 0 · · · 0). ∂x1 ∂x2 ∂x n

i)

Proposici´ on 2. (Propiedades aritm´eticas de las funciones diferenciables) Sean D ⊂ Rn conjunto abierto, a¯ ∈ D y f , g : D → R.  Se verifica: f + g es diferenciable en a¯.    f y g son diferenciables en a¯ =⇒ f · g es diferenciable en a¯.  f   es diferenciable en a¯, si g (¯ a) 6= 0. g

Consecuencia de las proposiciones 1 y 2: Toda funci´on polin´omica de n variables es diferenciable en Rn . En particular, toda aplicaci´on lineal de Rn en R es diferenciable en Rn . P(¯ x) , con P y Q polinomios en n variables, es Toda funci´on racional f (¯ x ) = Q(¯ x) n n 9 / 15 diferenciable en R \{¯ x ∈ R : Q(¯ x ) = 0}, su dominio.

1. Funciones diferenciables

1.3 Propiedades de las funciones diferenciables

Proposici´ on 3. (Regla de la cadena) Sean f una funci´on de n variables y φ una funci´on ◦ ◦ de una variable tales que Im(f ) ⊂ Dom(φ). Si a¯ ∈ Dom(f ) y f (¯ a) ∈ Dom(φ), se verifica: f es diferenciable en a¯  =⇒ φ ◦ f es diferenciable en a¯. φ es derivable en f (¯ a) Proposici´ on 4. (Relaci´on entre diferenciabilidad y continuidad) Sean D ⊂ Rn , a¯ ∈ D y f : D → R. Se verifica: f diferenciable en a¯ =⇒ f continua en a¯.

z Observaci´ on.

G(f )

El rec´ıproco de la proposici´on 4 no es cierto. p Por ejemplo, la funci´on f (x, y ) = x 2 + y 2 es continua en (0, 0) pero no es diferenciable en dicho punto.

h+y h2 f(x,y) i h x2

y

.

x 1. Funciones diferenciables

10 / 15 1.3 Propiedades de las funciones diferenciables

n

Definici´ on. Sean D ⊂ R un conjunto abierto y f : D → R, se dice que f es de clase ∂f , y es continua, uno en D, y se denota f ∈ C 1 (D), si para todo i = 1, 2 . . . , n existe ∂xi en todo punto a¯ ∈ D. Proposici´ on 5. Sean D ⊂ Rn un conjunto abierto y f ∈ C 1 (D), entonces f es diferenciable en todo punto a¯ ∈ D. Observaci´ on. El rec´ıproco de la proposici´on 5 no es cierto. Por ejemplo la funci´on  1  (x 2 + y 2 ) sen si (x, y) = 6 (0, 0) 2 x + y2 f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0) es diferenciable en R2 y f ∈ / C 1 (D) pues

∂f ∂f no son continuas en (0, 0). y ∂x ∂y

11 / 15 2. Derivadas direccionales y vector gradiente

2. Derivadas direccionales y vector gradiente Definici´ on. Sean D ⊂ R2 conjunto abierto, (a, b) ∈ D y f : D → R. Si (u, v ) ∈ R2 es un vector unitario, se llama derivada direccional de f en (a, b) seg´ un (u, v ) al siguiente l´ımite, si existe y es un n´umero real: f ((a, b) + t(u, v )) − f (a, b) Notaci´on = D(u,v )f (a, b). lim t→0 t z

Interpretaci´ on geom´ etrica Supongamos que ∃D(u,v )f (a, b) y sea r = {(a + tu, b + tv ) : t ∈ R} la recta que pasa por (a, b) con vector director (u, v ). Entonces la curva C en G (f ) que proyecta sobre r tiene recta tangente en el punto (a, b, f (a, b)). Si rC es dicha recta, resulta que D(u,v )f (a, b) representa la pendiente de rC orientada seg´un el sentido de (u, v ).

z

(a,b,f (a,b))

f(x,y)

.

rC C

y (u,v) x

r

. (a,b)

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2. Derivadas direccionales y vector gradiente

Observaci´ on. Para esta interpretaci´on geom´etrica de D(u,v )f (a, b) es imprescindible que el vector (u, v ) sea unitario. Tambi´en (−u, −v ) es vector director de r y determina rC , pero (u, v ) y (−u, −v ) producen orientaciones opuestas en rC , as´ı D(−u,−v )f (a, b) = −D(u,v )f (a, b). Luego, la derivada direccional D(u,v )f (a, b) es la pendiente de la recta tangente a G (f ) en (a, b, f (a, b)) determinada por la direcci´on y sentido de (u, v ). Definici´ on. Sean D ⊂ Rn conjunto abierto, a¯ ∈ D y f : D → R. Si v¯ ∈ Rn es un vector unitario, se llama derivada direccional de f en a¯ seg´ un v¯ al siguiente l´ımite, si existe y es un n´umero real: f (¯ a + t¯ v ) − f (¯ a) . Dv¯ f (¯ a) = lim t→0 t Observaci´ on. i) ∂f ∂f (¯ a) = Dv¯ f (¯ ei ), donde e¯i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn . a) =⇒ Si ∃ (¯ ∂xi ∂xi Por derivada direccional de f en a¯ en la direcci´on y sentido de v¯ 6=0,¯ no unitario, se entender´a Dv¯/k¯v k f (¯ a).

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2. Derivadas direccionales y vector gradiente

∂f (¯ a) ∀i = 1, ..., n, Definici´ on. Sean D ⊂ Rn conjunto abierto, a¯ ∈ D y f : D → R. Si ∃ ∂x i   ∂f ∂f ∂f a) se llama vector gradiente de f en a¯ entonces ∇f (¯ a) = ∂x1 (¯ a), ∂x2 (¯ a), . . . , ∂xn (¯

Proposici´ on 6. Sean D ⊂ Rn conjunto abierto, a¯ ∈ D y f : D → R. Se verifica:

f diferenciable en a¯ =⇒ ∃Dv¯ f (¯ a) ∀¯ v ∈ Rn unitario. ∂f ∂f (¯ a) vn = ∇f (¯a) · v¯ (¯ a ) v1 + · · · + Adem´as, Dv¯ f (¯ a) = ∂xn ∂x1 Observaci´ on: ∃Dv¯ f (¯a) ∀¯ v ∈ Rn unitario =⇒ / f diferenciable en a¯ Geom´etricamente (n=2): Pueden existir las rectas tangentes a G (f ) en un punto seg´un todas las direcciones y no existir plano tangente a la gr´afica en dicho punto. Si f no diferenciable en a¯, aunque existan ∇f (¯a) y Dv¯ f (¯ a) para alg´un v¯, en general, ∇f (¯ a) · v¯ 6= Dv¯ f (¯ a) Un ejemplo que ilustra ambas afirmaciones:   xy 2 si (x, y) 6= (0, 0) , f (x, y) = x2 + y4  0 si (x, y) = (0, 0) 14 / 15

2. Derivadas direccionales y vector gradiente

Proposici´ on 6. Sean D ⊂ Rn conjunto abierto y f : D → R diferenciable en a¯ ∈ D tal ¯ Se verifica: que ∇f (¯ a) 6= 0. 1. La derivada direccional de f en a¯ es m´axima en la direcci´on y sentido del vector gradiente ∇f (¯ a), siendo su valor k∇f (¯a)k. 2. La derivada direccional de f en a¯ es m´ınima en la direcci´on y sentido opuesto al del vector gradiente ∇f (¯ a), siendo su valor −k∇f (¯ a)k. 3. La derivada direccional de f en a¯ es nula en la direcci´on perpendicular a la del vector gradiente ∇f (¯ a). z

Observaci´ on: En el caso n = 2, si f es diferenciable en (a, b) con ∇f (a, b) 6= (0, 0), entonces ∇f (a, b) es perpendicular a la recta tangente a la curva de nivel Cf (a,b) en el punto (a, b).

(a,b,f(a,b))

.

y

Vf(a,b) Cf(a,b)

. z

f(x,y)

(a,b)

Vf(a,b) y

x

Cf(a,b)

Vf(a,b)

.

(a,b)

x

Vf(a,b) 15 / 15...