Calculo II - A - UFG PDF

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Lista de Exercicios - Calculo 2A - UFG...

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Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Goiânia, 28 de maio de 2019. Profs: Alacyr Disciplina: Cálculo 2A

Lista ◮ Exercício 6. Seja w = ln(er + es + et + eu ). Mostre que:

◮ Exercício 1. Determine e faça o esboço dos domínios das seguintes funções: (a) f (x, y) = ln(9 − x2 − 9y2 ). p (b) g(x, y, z) = 1 − x2 − y2 − z 2 .

wrstu = −6er+s+t+u−4w ◮ Exercício 7. Se z = ex · seny, onde x = st2 e y = s2 t, ∂z ∂z . determine e ∂s ∂t

◮ Exercício 2. Mostre que a função

f (x, y) =

  

◮ Exercício 8. Verifique que a função

2xy , (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2

 

0,

u(x, y, z) = p

(x, y) = (0, 0)

é solução da equação de Laplace

é contínua em todo ponto, exceto na origem (0.0).

∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 ∂y ∂x2 ∂z

◮ Exercício 3. Calcule caso exista. (a)

(b)

(c)

(d) (e)

(f)

1 x2 + y 2 + z 2

x2 y . + 2y2

lim

x3 y . 2x4 + y

◮ Exercício 9. Suponha que a equação F (x, y, z) = 0 define implicitamente cada uma das três variáveis x, y e z como função das outras z = f (x, y) , y = g(x, z), x = h(y, z). Se F for diferenciável e Fx , Fy e Fz forem todas não-nulas, mostre que

lim

2x2 . 2 x + y2

∂z ∂x ∂y = −1. · · ∂x ∂y ∂z

lim

(x2 + y2 ) · sen

lim

(x2 + y2 ) · ln (x2 + y2 ).

lim

(x,y )→(0,0)

(x,y )→(0,0)

(x,y )→(0,0)

(x,y )→(0,0)

(x,y )→(0,0)

lim

x2

(x,y,z)→(0,0,0)

◮ Exercício 10. Dados a função f (x, y) = y · cos (x − y) e o ponto P0 (2, 2, 2). Determine:

1 . x2 + y 2

(a) A equação do plano tangente ao gráfico da função f no ponto P0 . (b) A equação da reta normal ao gráfico da função f no ponto P0 .

sen(x2 + y2 + z 2 ) p . x2 + y 2 + z 2

◮ Exercício 11. Determine uma do plano tangente ao paraboloide 4x2 + y2 − 16z = 0 no ponto (2, 4, 2).

∂w , onde: ◮ Exercício 4. Determine ∂xk

equação elíptico

◮ Exercício 12. Determine uma equação do plano tangente ao gráfico da função f (x, y) = x2 y no ponto (2, 1, 4).

(a) w = e(x1 +2x2 +···+nxn ) . 1 X n n . x (b) w = k

◮ Exercício 13. A temperatura num ponto (x, y) do 100xy : plano xy é dada por T = 2 x + y2

k=1

◮ Exercício 5. Seja u(x, y, y, z, w) = xeyw sen2 z. Encontre: (a)

∂u (0, 0, 0, 1, π). ∂x

(c)

∂u (0, 0, 0, 1, π). ∂z

(a) Calcule a derivada direcional no ponto (2, 1) na dire√ ! 1 3 ção do vetor u = , . 2 2

(b)

∂u (0, 0, 0, 1, π). ∂y

(d)

∂4u (0, 0, 0, 1, π). ∂w∂z∂y2

(b) Em que direção a partir de (2, 1) é máxima essa derivada e qual o valor desse máximo? 1

(c) Prove que f é diferenciável em

◮ Exercício 14. Ache a derivada direcional da função f (x, y, z) = x2 y − yz3 + z

◮ Exercício 20. Suponha que a equação F (x, y, z) = 0 define implicitamente cada uma das três variáveis x, y e z como função das outras z = f (x, y) , y = g(x, z), x = h(y, z). Se F for diferenciável e Fx , Fy e Fz forem todas não-nulas, mostre que

◮ Exercício 15. A equação de van der Waals para n moles de um gás é   n2 a P + 2 (V − nb) = nRT V

∂z ∂x ∂y · · = −1. ∂x ∂y ∂z

onde P é a pressão, V é o volume e T é a temperatura do gás. R é a constante universal do gás, a e b são constantes ∂T ∂P . características de um gás particular. Calcule e ∂P ∂V

◮ Exercício 21. (a) Mostre a função

◮ Exercício 16. Seja z = xy exp( yx ). Verifique que

z = f (x + at) + g(x − at)

∂3z ∂3z x 3 +y = 0. ∂y∂x2 ∂x

é solução da equação

◮ Exercício 17. A densidade é ρ(x, y) kg/m2 em todos os pontos de uma placa retangular no plano xy e 1 x2 + y 2 + 3

.

◮ Exercício 19. Prove que se f e g são funções diferenciáveis, então ∇(fg ) = f ∇g + g∇f.

− v = no ponto P = (1, −2, 0), na direção do vetor → (2, 1, −2).

ρ(x, y) = p

2

∂2z ∂2z = a 2. 2 ∂x ∂t

s (b) Se u = f (x, y) e x =es cos t e y =  e sent, mostre 2 2 2 ∂2u ∂ u ∂ u ∂ u que + 2 = e−2s + 2 . ∂t ∂x2 ∂y ∂s2

.

◮ Exercício 22. Dados a superfície y = ex cos z e o ponto (1, e, 0) determine:

(a) Ache a taxa de variação da densidade no ponto (3, 2), na direção do vetor v = (cos 23 π, sen 23 π). (b) Ache a direção e sentido e o valor da maior taxa de variação de ρ em (3, 2).

(a) A equação do plano tangente à superfície no ponto dado.

◮ Exercício 18. Seja

(b) As equações da reta normal à superfície no ponto dado.

f (x, y) =



(x2 + y2 )sen

(a) Determine (b) Mostre que

0

1 , x2 + y 2

se (x, y) 6= (0, 0)

◮ Exercício 23. Se duas superfícies tiverem um plano tangente comum em um ponto, elas serão tangentes naquele ponto. Mostre que as superfícies xyz = 36 e 4x2 + y2 + 9z 2 = 108 são tangentes no ponto (3, 6, 2).

, se (x, y) = (0, 0).

∂f ∂f e . ∂x ∂y

◮ Exercício 24. Determine uma função de duas variáveis cujo gradiente é dado por (yex + x, xey − y).

∂f ∂f e não são contínuas em (0, 0). ∂x ∂y

◮ Exercício 25. Relacione as equações abaixo com seus gráficos e justifique sua resposta. (a) x2 + 4y2 + 9z 2 = 1.

(c) y2 = x2 + 2z 2 .

(b) y = x2 − z 2 .

(d) x2 + 2z 2 = 1.

(III) (I)

(II)

(IV)

2...