Calculo II Resumen Parcial 1 PDF

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RESUMEN CALCULO INTEGRALDefinición Integral ∫baf(x)d x=nl→∞ ́ım∑ni= 1f(xi)∆xDonde∆x= b−a n yxi=a+i·∆X Propiedades de la integral definida ∫abf(x)d x=−∫baf(x)d x ∫ba[f(x)±g(x)]d x=∫baf(x)d x±∫bag(x)d xPropiedades de comparación de la integral 1. Sif(x)≥0 paraa≤x≤b, entonces∫b af(x)d x≥0. 2. Sif(x)≥g(...

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RESUMEN CALCULO INTEGRAL A Bx + C 1 = + x · (x − 1)2 x x2 + 4

Definición Integral Z

b

f (x)d x = l´ım

n→∞

a

n X

A Bx + C Dx + E 1 = + 2 + x · (x 2 + 4)2 x +4 x (x 2 + 4)2

f (x i )∆x

i=1

b−a y x i = a + i · ∆X n Propiedades de la integral definida Z b Za

Integral impropia tipo 1

Donde ∆x =

b

Z

f (x)d x = −

b

[ f ( x) ± g ( x)]d x =

a

Z

f (x)d x

a

f (x)d x ±

Z

Z

b

g(x)d x a

Propiedades de comparación de la integral Rb 1. Si f (x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b, entonces a f (x)d x ≥ 0. Rb 2. Si f (x ) ≥ g( x ) para a ≤ x ≤ b, entonces a f (x)d x ≥ Rb g(x)d x. a

Teorema Fundamental del Calculo Rx 1. Si g(x) = a f (t)d t, entonces g ′ ( x) = f ( x).

Z

f (x)d x = F(b) − F (a), donde F es cualquier antiderivada de f , es decir, F ′ = f . a

Integrales de función simétricas

2. Si f es impar [ f (−x) = − f (x)], entonces

Ra

−a

Ra

−a

f (x)d x =

f (x)d x = 0

Propiedades Trigonométricas Necesarias 1 sin x = (1 − cos(2x)) 2 2

1 cos x = (1 + cos(2x)) 2 2

2sinx · cos x = sin(2x) 1 sinA · cosB = [sin(A − B) + sin(A + B)] 2 1 sinA · sinB = [cos(A − B) − cos(A + B)] 2 1 cosA · cosB = [cos(A − B) + cos(a + B)] 2 Sustituciones Trigonométricas Expresión p 2 2 pa − x 2 + x2 a p x 2 − a2

Sustitución x a = sinθ x a = tanθ x a = secθ

Fracciones Parciales [Ejemplos] A B C 1 = + + x · (x − 1)( x − 2) x x −1 x −2 A 1 1 1 = + + x · (x − 1)2 x x − 1 (x − 1)2

∞

Z

a

f (x)d x = l´ım

t→−∞

f (x)d x =

−∞

Z

t

f (x)d x a

Z

a

f (x)d x t

a

f (x)d x +

∞

Z

f (x)d x

a

−∞

Integral impropia tipo 2 Z Z Z

b a

f (x)d x = l´ım−

Z

f (x)d x = l´ım+

Z

t→b

b t→a

a

b

f (x)d x =

a

Rb

1. Si f es par [ f (−x) = f (x)], entonces Ra 2 0 f (x)d x

t→∞

−∞

3. Si m ≤ f (x) ≤ M , para a ≤ x ≤ b, entonces, m(b − a) ≤ Rb f ( x)d x ≤ M ( b − a) a

2.

f (x)d x = l´ım

a

a

b

∞

Z

Z

t

f (x)d x a b

f (x)d x t

c

f (x)d x +

a

Z

b

f (x)d x c

Integral tipo p R∞ 1 d x es convergente si p>1 y diverge si p≤1 1 xp

ESTRATEGIA PARA LA INTEGRACIÓN 1. Si hay términos constantes y puede sacarlos de la integral, no lo dude. 2. Simplifique los términos de la integral lo más que pueda. 3. Intente encontrar una sustitución que aparezca en el integrando. Si no la hay, no se rinda, ¡apenas empieza el juego! 4. Determine si la integral pertenece a algunas de las funciones conocidas y sus procedimientos para realizarla. Funciones Trigonométricas

Método Sugerido Sustituciones recomendadas en términos del integrando y su derivada. Es preciso recordar identidades trigonométricas

R Ejemplo: tan3 (x)d x Radicales

tan(x)(sec 2 x − 1)d x Sustitución trigonométrica Recordar S.T.S= x/a

p

R

9 − x2 dx x2 Polinomio en el Denominador

R 3cosθ 3cosθ d x 9sin2 θ Se puede usar Fracciones Parciales, en algunos casos, sustitución trigonométrica.

x +5 x2 + x − 2 Producto de funciones

1 2 dx − x −1 x +2 Es posible que se tenga que implementar Integración por partes. R R u d v = uv R − vdu x(−cosx ) − (−cosx )d x

Ejemplo

R

Ejemplo:

R

Ejemplo:

R

x · sinx d x

R...