ANÁLISIS MATEMÁTICO II - CALCULO II (Espinoza Ramos) PDF

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f (x )d x = L im ^ Y f ( ANALISIS MATEMÁTICO PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA (TERCERA EDICION) ♦ INTEGRAL INDEFINIDA ♦ INTEGRAL DEFINIDA ♦ APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA ♦ INTEGRALES IMPROPIAS ♦ APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA FISICA ♦ INTEGRACION NUMERICA ♦ FUNCIONES ESPECIALES...

Description

f (x )d x = L im

^

Y

f (

ANALISIS MATEMÁTICO PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA (TERCERA EDICION)

♦

INTEGRAL INDEFINIDA

♦

INTEGRAL DEFINIDA

♦

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

♦

INTEGRALES IMPROPIAS

♦

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA FISICA

♦

INTEGRACION NUMERICA

♦

FUNCIONES ESPECIALES

♦

ECUACIONES PARAMETRICAS

♦

COORDENADAS POLARES

EDUARDO ESPINOZA RAMOS L IM A -P E R U

IMPRESO EN EL PERÚ 03 - 03 - 2002

3S EDICIÓN

DERECHOS RESERVADOS

Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o m ecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros

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expreso

En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático II para Estudiantes de Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la capital, al igual que la 2da. Edición se expone en forma teórica y práctica, los métodos de integración, integral definida, integración impropia, integración numérica. Ecuaciones Paramétricas, Coordenadas Polares y sus aplicaciones, las funciones Beta y Gamma, ios polinomios de Taylor, así mismo se ha incluido en las integrales indefinida las ecuaciones diferenciales sencillas y sus aplicaciones, se ha hecho la demostración de las propiedades de la integral definida, se ha incluido también mas ejercicios desarrollados y propuestos de las practicas y exámenes de las diversas Universidades de la capital. La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado, tratando de no perder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo que confunde al lector. La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo de las funciones reales de variable real, los limites y continuidad de una función, así como la derivación de las funciones en una variable. #

La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas, física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos del análisis real.

Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por sus valiosos comentarios y sugerencias.

DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma. DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro —Brasil. Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático de la Universidad Nacional del Callao. LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la Universidad Nacional del Callao. Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao. Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo Palma. LIC. SERGIO LEYVA HARO ExJefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao. Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la Universidad Nacional del Callao. LIC. JUAN BERNUI BARROS Director del Intituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao. Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. LIC. PALERMO SOTO SOTO Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma. LIC. JOSE KIKE BRONCANO Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

D E D IC A T O R IA

Este libro lo dedico a mis hijos RONALD, JORGE y DIANA, que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser guías de su prójimo

P R E S E N T A C IO N

En la presente obra, Eduardo Espinoza Ramos, demuestra que sigue avanzando, no solo en el aspecto técnico formal de la matemática, si no que, su avance se manifiesta en la selección cuidadosa y esmero en la impresión de esta obra.

Su formación de matemático, como su experiencia en la docencia universitaria, se amalgaman y dan como fruto una obra que marca un camino en su madurez profesional, obra, que seguramente llenará un vacío para quienes no solo desean “resolver problemas” sino también conocer el lenguaje formal y las ideas de esa hermosa ciencia que es la matemática

DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO DIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA PURA DE LA UNMSM ASESOR DEL “CONCYTEC”

1,

INTEGRAL INDEFINIDA

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7 1.5.8 1.5.9 1.5.10 1.5.11 1.5.12 1.5.13 1.6 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5 1.6.6 1.6.7

Introducción La Antiderivada de una función

1 2

La Antiderivada General La Integral Indefinida Fórmulas Básicas de Integración Primeras Fórmulas Básicas de Integración Segundas Fórmulas Básicas de integración Terceras Fórmulas Básicas de Integración Cuartas Fórmulas Básicas de Integración Integración por Sustitución o Cambio de Variable Integrales de funciones que contienen un Trinomio cuadrado Ejercicios Propuestos de las Fórmulas Básicas Ecuaciones Diferenciales sencillas Movimiento Rectilíneo Aceleración Constante Movimiento Vertical con Aceleración Gravitacional Constante Ejercicios Desarrollados Ejercicios y Problemas Prepuestos Métodos de Integración Integración de las Funciones Trigonométricas Ejercicios Propuestos Otras Integrales Trigonométricas Ejercicios Propuestos Integración por partes Casos Especiales de Integración por Partes Ejercicios Propuestos

2 3 5 6 13 18 21 23 27 32 52 54 56 58 60 69 73 73 87 94 97 102 117 122

Integración por Sustitución Trigonométricas Ejercicios Propuestos Integración de Funciones Racionales Ejercicios Propuestos Métodos de HERMITE - OSTROGRADSKI Ejercicios Propuestos Integrales de Funciones Racionales de Senos y Cosenos Ejercicios Propuestos Integrales de Algunas Funciones Irracionales Fórmulas de Reducción Ejercicios Propuestos Ejercicios Desarrollados Diversos Ejercicios Propuestos

130 143 150 169 181 186 190 196 201

215 218 229 253

C A P IT U L O II INTEGRAL DEFINIDA Sumatorias Propiedades de las Sumatorias Fórmulas de las Sumatorias Ejercicios Propuestos Calculo del Area de Una Región Plana por Sumatorias Partición de un Intervalo Cerrado Aproximación del Area de una Región por Areas de Rectángulos Sumas Superiores y Sumas Superiores Propiedades de las Sumas Superiores e Inferiores Integral Definida Propiedades de las Integrales Superiores e Inferiores Integral de RIEMANN La integral como limite de Sumas Calculo de la Integral Definida usando Intervalos de igual longitud

268 269 270 276 280 280 282 296 300 302 302 303 307 308

4.1 4.2 4.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 4.6.1 4.6.1.1 4.6.1.2 4.6.2 4.6.2.1 4.6.2.2 4.6.3 4.7 4.7.1 4.8 4.8.1 4.8.2 4.8.3 4.8.4 4.8.5 4.9 4.10

Introducción Integrales Impropias con Limites Infinitos Integrales Impropias con Limites Finitos Criterios para la Convergencia de Integrales Impropias Criterio de Comparación Criterio de Convergencia para Funciones Discontinuas Criterio de Convergencia Cuando un Limite de Integración es Infinito Ejercicios Propuestos Aplicaciones de la Integral Impropia Areas de Regiones y Volumen de Sólidos de Revolución Problemas Propuestos Funciones Especiales Definición de la Función GAMMA Propiedades de la Función GAMMA Ejercicios Desarrollados Definición de la Función BETA Propiedades de la Función Beta Ejemplos Aplicativos Ejercicios Propuestos Integrales Dependientes de un parámetro Ejercicios Propuestos El Polinomio de Taylor Aproximación de Funciones por Polinomios Polinomios de Taylor Engendrado por una Función Fórmula de Taylor con Resto Teorema del Valor Medio para Integrales Teorema del Valor Medio Ponderado por Integrales Ejercicios Desarrollados Ejercicios Propuestos

450 451 454 457 457 457 457 461 473 473 480 483 483 483 489 491 491 493 497 502 509 511 511 513 518 522 522 524 529

7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.4 7.5

Area Bajo una Curva dada en forma Parametrica Longitud de Arco cuando la Curva es dadapor Ecuaciones Farametricas Area de una Superficie de Revolución cuando la Curva es dada en forma Parametrica Problemas Desarrollados Ejercicios Propuestos

C A P IT U L O V IH COORDENADAS POLARES 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13

Introducción Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares La Recta y la Circunferencia en Coordenadas Polares Ejercicios Propuestos Trazado de Curvas en Coordenadas Polares Ejemplos Ejercicios Propuestos Distancia entre Dos Puntos en Coordenadas Polares Intersección de Curvas en Coordenadas Polares Derivadas y Rectas Tangentes en Coordenadas Polares Aplicaciones de las Integrales en Coordenadas Polares Ejercicios Desarrollados Ejercicios Propuestos

APENDICE BIBLIOGRAFIA

1

Integral Indefinida

C A P IT U L O

I.

INTEGRAL INDEFINIDA

1.1

INTRODUCCION.-

I

El problema básico de la derivación es: Dado el recorrido de un punto móvil, calcular su velocidad o también, dada una curva, calcular su pendiente. El problema básico de la integración, es el caso inverso: dado la velocidad de un punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria o también dado la pendiente de una curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva. En el estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente: Dada una función hallar su derivada, muchas aplicaciones importantes del cálculo, guardan relación con el problema inverso, es decir: Dada la derivada de una función, hallar tal función por ejemplo: /* ( jc) = 4, g'(x) = 5jc4 . Ahora el problema es hallar ffx) y g(x), pero con un poco de astucia se puede hallar dichas funciones, esto es:

Esta iteración de determinar la función original a partir de su derivada es la inversa de la derivación y lo llamaremos cálculo de la función primitiva o antiderivada.

2

Eduardo Espinoza Ramos

DEFINICION.- La función F: I ----->R, se llama la antiderivada o primitiva de f: 1---- >R, si F '( x ) = f( x ) , V x g I . (I = [a.b]) Ejemplo.- Sea / ( jc) = 5jc4 y g(x) = 3e3x, V x e R, las funciones F(x) = x 5 y G(x) = eix para x e IR G (x)=eix respectivamente puesto que: F{x) = jc5

F'(x) = 5x4 = / ( x)

G(x)=eix

G'(x) = 3eix =g(x)

Sin embargo las funciones

son las antiderivadas de f(x) y g(x)

Fx(jc) = je5 + 7

y Gx{x) = eix + 5

también son

antiderivadas de las funciones / ( jc) = 5 jc4 y g(x) = 3e3x respectivamente, puesto que: F,(x) = x 5 + 7

F¡(x) = 5xA = / ( x)

G¡ (x) = eix + 5

G|( x) = 3eix =g(x)

análogamente, otras antiderivadas de f(x) y g(x) son por ejemplo:

F2(x) = xs - 4 ,

F3(x) = x 5 + 4 n , FA{x) = x 5 +a , G2(x) = eix - 7 , G3(x) = eix - e * , GA =eix + b donde a y b son constantes cualquiera, puesto que sus derivadas son iguales a f(x) y g(x) respectivamente. En general, si F(x) es una antiderivada de f(x) es decir que F'(x) = / (

jc)

, por lo tanto

F(x) + c, también es una antiderivada de f(x) para cualquier constante c, puesto que su derivada es igual a la función ffx), es decir: (F(x) + c)'= F ’(jc) = f(x)

DEFINICION.- Si la antiderivada de f(x) es F(x) sobre I. Entonces la función G(x) = F(x) + c, se denomina la antiderivada general de fíx). El significado geométrico de la antiderivada F(x) de fíx), es que cualquier otra antiderivada de f¡x) es una curva paralela al gráfico de y = F(x).

3

Integral Indefinida

OBSERVACION.- Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no determina una única función, si no una familia de funciones, que difieren entre sí en una constante. El proceso del cálculo de antiderivadas o primitivas se suele denominar integración y se denota por el símbolo J , llamado signo de integración, el símbolo Jf(x)d x se llama integral indefinida de f{x).

IA

LA INTEGRAL INDEFINIDA,DEFINICIÓN 1.-

Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I. osea F*(x) = /( jt) , entonces a su antiderivada general G(x) = F(x) + c se denota por:

Al cual le llamaremos la integral indefinida de f(x). NOTA.-

De la definición de la integral indefinida se tiene: G'(x) =F'(x) = / ( x) es decir:

Eduardo Espinoza Ramos

4 PROPIEDADES.-

De la definición de integral indefinida se tiene las propiedades: 1)

-~~(f f(x)dx) = ( í f (x)dx)'= (F(x) + c)'= F'(x) = /Xx) ósea que “La derivada dx J J de la integral indefinida es igual al integrando” es decir:

2)

d ( j f(x)dx) = (jf(x)dx)'dx = f(x)dx ósea que “La diferencial de la integral indefinida es igual a la función integrado por la diferencial de x, es decir:

3)

Si f es una función derivable en I, entonces una antiderivada de / ' es f y

4)

Se conoce que d( f(x)) = f'(x)dx, luego de la propiedad (3) se obtiene:

OBSERVACION.-

De las propiedades (2 y (3), a la integral indefinida también podemos interpretarla como una operación inversa de la diferenciación, puesto que la integral indefinida al actuar en la diferencial d(f(x)) reproduce la función f(x) más la constante de integración. Ejemplo.-

1)

Con las propiedades de la integral indefinida, se tiene, que por simple inspección:

J (x2 + 3x + 2)dx = j*

~ x1 + 2jc)+2x +c

5

Integral Indefinida

2,

3)

r „ r , sen 3* cos4x sen3x cos4jc J (cos3jc - sen 4jt)dx = j d{------- + ---- ) = —-— + ——— + c 3 4

4)

n-1 n~\ f x ndx - í d (—— ) = —— + c , n * -1 J J /i +1 n +1

DEFINICIÓN 2.-

variable de

En toda integral indefinida J/(jc)rfx, a la función f(x) le

llamamos función integrando y a la variable x le llamaremos integración, la constante c es llamada constante de integración, a

J/(jt)rfx también se lee “integral indefinida de f(x) diferencial de x” NOTA.- Sugerimos al lector el dominio de las fórmulas básicas de integración, de tal manera que, en el estudio de las técnicas de integración sea amena y ágil, para tal efecto hemos agrupado en cuatro partes las fórmulas básicas.

1.5

FORM ULAS BASICAS DE INTEGRACION.-

1.5.1

PRIMERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION;Sean f, g funciones derivables, k y c son constantes, entonces: ©

i dx-x+ c

(T )

j d(f(x)) = f( x ) + c

©

J( / (x) ± g(x))dx = J/l(x)dx ± Jg(x)dx Sea u = f(x), una función diferenciable en x

©

^Kf(x)dx = K ^ f( x ) d x fH'l

(?)

jx " d x =

+c

6

Eduardo Espinoza Ramos

©

a udu =—— + c,a> 0, a* 1 ln a

j e udu = eu +c

© Ju 2 +a2 ©

a

©

a

¡

í

Ejemplos de aplicación de estas fórmulas. Calcular las siguientes integrales.

Jx(a - bx2)dx Solución Como x ( a - b x 2) = a x - b x 3 entonces:

+c

Solución A la función, se expresa en la forma: _ x 2m-\f2 _ 2 x m+n~li2 + X 2x li2

= jt(4m~1)/2 - 2x (2m+2n~l)/2 + x(4n-l)/2 entonces j ^ - Z £ ^ - dx =

- i x ^ 2^ 12 +x iAnl)l2)dx

jc(4m+l)/2

2JC

du = bnxM]dx de donde x n i dx = — hn

Luego reemplazando (2) en (1) se tiene: f „ , /---- ,

I A

J

(¡T) ^

f 1, 2 du

fev í/rV = I ti

J

1

n , 3hn

------= ------- 14 + C'

hn

2(a +hxn)v l , 3hn

------------------------------ + C

J jclnx Solución En ésta integral aplicamos la fórmula (6), es decir:

... (2)

10

Eduardo Espinoza Ramos

Sea u = ln(ln x)

dx d u ~ ------ , ahora reemplazando en la integral se tiene: jtlnx

f In(lnx) , f. dx f , u2 ln2(ln(x)) — —dx — I ln(lnx)------ =1 udu = — + c = ----+c ¿ jflnx J jclnx 2 2 2

©

*

f

— Solución

A la expresión, agrupemos en la forma:

^ l + x 2 +(l + x 2)3,2 = ^ (l + x2) + (l+ x 2h /l + x 2

= -J(l + x 2)(l+Vl + f

xdx f -----------= V1+ * + fl + * ~)3 2

="n/i + x2 -Jl+Vl+Jr2"

C„ ít T x !;■> xdx -----= (l + Vl + x - ) 1/’ - 7_ . . . ( l ) ‘yjl + x 2

ahora aplicamos la fórmula (6), es decir:

Sea u =l +T¡l-tx2

=>

du = .X^X Vl+.v2

*.-(2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

f ..... .A^A.... ..f u ll2du = 2u1' 2 + c =2^1WT+*2

WT Solución En el presente ejercicio aplicaremos la fórmula (7); es decir:

+c

11

Integral Indefinida 3 i_ 2 Sea u = 1+x-Jx , de donde du = - - J x dx entonces -s/jc dx = —du 2 3

Ahora reemplazamos en la integral dada, se tiene: r -Jxdx 2 [du 2 , . . 2, /- . ------ 7= = - — = —ln | m| + c= —ln 11+W * | +< J 14Jr 3 1 + yx4 x 33*J um 13

© ¡

t'are,gJ + xln(x2 +l) + l dx \+ x l Solución

En primer lugar aplicamos la propiedad (7) es decir:

r +xln(x2 +1) + 1 re*m * , f -> x í /x f dx I ---------- :---- T--------------------------------------------------- — '* = I ------ T d x + \ ln---

J

l + X~

J 1+X

1

1 + X"

•’ l + X "

Ahora aplicamos las fórmulas (6), (8) y (10), es decir: f +xln(x2 +1) + 1 -------------- ^------'— dx= J 1+ x"

ln2(x2 +l) 4

+ -- ------- -+arctgx + c

x 2 +3 x‘ (x ' +9) Solución En los ejemplos anteriores, para el cálculo de las integrales, lo que sé hacia era expresar en una forma de tal manera que, se pueda utilizar las propiedades básicas de integración en forma directa, pero ciertas funciones no es tan fáciles de expresar en forma directa, esto depende de la práctica que se tenga y de la habilidad de la que está calculando; tal es el caso del presente ejercicio, es decir, en el cálculo de la integral, se hace de la siguiente manera. x 2 + 3 = x 2 + —(x2 + 9 - x 2) = —x 2 + —(x2 +9) 3 3 3 ahora reemplazando en la integral dada se tiene:

12

Eduardo Espinoza Ramos r x 2 +3 Jx V + 9 )

_ 1 f 2x2 + (x2 +9) 3 J jr2(x2 +9)

_ 1 f. 2x2 x 2 +9...