Solucionario Ecuaciones Diferenciales - Eduardo Espinoza Ramos Capitulo 1 PDF

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Summary

solucionario...

Description

http://www.ĞůƐŽůƵĐŝŽŶĂ

Solucionario primer capitulo

 

      d 2󽝋 d󽝋 󽝋 󽜬 󽜬 󽜾0 R 1. dt 2 dt c 4

Respuesta:

Es de 2º orden y 1º grado

Respuesta:

Es de 3º orden y 4º grado

Respuesta:

Es de 2º orden y 1º grado

Respuesta:

Es de 1º orden y 1º grado

Respuesta:

Es de 2º orden y 4º grado

Respuesta:

Es de 1º orden y 3º grado

Respuesta:

Es de 3º orden y 1º grado

5

󽟧 d3 y 󽟷 󽟧 d2 y 󽟷 2. 󽟨 3 󽟸 󽜮 󽟨 2 󽟸 󽜬 y 󽜾 0 󽟩 dx 󽟹 󽟩 dx 󽟹 2

d 2 y dy 󽟧 dy 󽟷 3. . 󽜬󽟨 󽟸 󽜬 y 󽜾0 dx 2 dx 󽟩 dx 󽟹 4.

y󽞣 󽜬 y 󽜾 cos x

d 2y 4 󽟧 dy 󽟷 5. 󽜾 y󽜬󽟨 󽟸 2 dx 󽟩 dx 󽟹 6.

󽜩 D .Y 󽜪

3

2

󽜾 3 x2 󽜮 1

2 3 dy 2 d y 4 d y 7. x 󽜮x 󽜾y dx dx 2 dx 3 4

3

4

󽟧 d 2 y 󽟷 󽟧 d 2 y 󽟷 󽟧 dy 󽟷 7 8. 󽟨 2 󽟸 󽜬 󽟨 2 󽟸 󽟨 󽟸 󽜮 x y 󽜾 cos x 󽟩 dx 󽟹 󽟩 dx 󽟹 󽟩 dx 󽟹 9. x 󽜩 y 󽞣󽞣󽜪 󽜬 󽜩 y 󽞣󽜪 󽜮 y 󽜾 0 3

4

10. cos x 󽜩y 󽞣󽞣 󽜪 󽜬 sen x 󽜩y 󽞣 󽜪 󽜾 1 2

4

Respuesta:Es de 2º orden y 3º grado

Respuesta:

Es de 2º orden y 3º grado

Respuesta:

Es de 2º orden y 2º grado

Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

INGENIERÍA DE SISTEMAS

 

   

Verificar que la función y 󽜾 x 󽟳

sen t dt , satisface a la ecuación diferencial t

x

0

x

dy 󽜾 y 󽜬 x sen x dx

 Sea sen t dt 0 t x sen t x sen t sen x 󽜾󽟳 y '󽜾 󽟳 dt 󽜬 x dt 󽜬 sen x 0 0 t x t x sen t 󽟧 x sen t 󽟷 Entonces : xy ' 󽜾 x 󽟨 󽟳 dt 󽜬 sen x 󽟸 󽜾 x󽟳 dt 󽜬 x sen x 0 t 󽟩 0 t 󽟹 󽜲󽜵 󽜳󽜵󽜴 y 󽜾 x󽟳

x

y

xy ' 󽜾 xy 󽜬 x sen x 󽜩Satisface a la ecuación diferencial 󽜪  xy ' 󽜾 xy 󽜬 x sen x  Compr obar que la función y 󽜾 e x

dy 󽜮 y 󽜾 e x 󽜬x dx

󽟳

x

0

2

et dt 󽜬 ce x , satisface a la ecuación diferencial

2

 Sea x

2

y 󽜾 e x 󽟳 e t dt 󽜬 ce x 0

x

2

x

2

2

y ' 󽜾 e x 󽟳 e t dt 󽜬 e x .e x 󽜬 ce x 󽜾 e x 󽟳 e t dt 󽜬 ce x 󽜬 e x󽜬 x 0

2

0

x

2

x

2

2

y '󽜮 y 󽜾 e x 󽟳 e t dt 󽜬 ce x 󽜬 e x󽜬 x 󽜮 e x 󽟳 e t dt 󽜮 ce x 0

y '󽜮 y 󽜾 e x 󽜬 x

0

2

 y '󽜮 y 󽜾 ex󽜬 x  Dada la función H 󽜩 a󽜪 󽜾

󽟳

1

󽜮1

ecuación diferencial H '' 󽜩a 󽜪󽜬



cos atdt 1󽜮 t 2

, a 󽞺 0,

2

probar que H(a) satisface a la

1 H ' 󽜩 a󽜪 󽜬 H 󽜩 a 󽜪 󽜾 0 a

Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

INGENIERÍA DE SISTEMAS

 

H 󽜩a 󽜪󽜾 󽟳

1

cos atdt

󽜮1

1󽜮 t 2 Cambio de variable. t 󽜾 sen󽝲 dt 󽜾 cos 󽝲 d󽝲 1 cos 󽜩 a sen󽝲 󽜪.cos󽝲 d󽝲 1 󽜾 󽟳 cos 󽜩a sen󽝲 󽜪d󽝲 H 󽜩a 󽜪󽜾 󽟳 󽜮1 󽜮1 cos 󽝲 1

H󽞣 󽜩 a󽜪 󽜾 󽜮 󽟳 sen󽜩 a sen󽝲 󽜪 .sen󽝲 d󽝲 󽜮1 1

H󽞣󽞣 󽜩a 󽜪 󽜾 󽜮 󽟳 cos 󽜩a sen󽝲 󽜪.sen2󽝲 d󽝲 󽜮1

Entonces: 1 1 sen 󽜩 a sen󽝲 󽜪 sen 󽝲 d󽝲 1 H󽞣󽞣 󽜩a 󽜪󽜬 H 󽞣 󽜩a 󽜪󽜬 H 󽜩a 󽜪 󽜾 󽟳 cos 󽜩a sen󽝲 󽜪. 󽜩1 󽜮 sen2󽝲 󽜪 d󽝲 󽜮 󽟳 ...( i) 󽜮1 󽜮1 a a Integrado por partes:

󽟳

1 󽜮1

cos 󽜩a sen󽝲 󽜪cos 2 󽝲 d󽝲

u 󽜾 cos 󽝲

dv 󽜾 cos 󽜩t sen 󽝲 󽜪 cos󽝲 d󽝲

du 󽜾 󽜮 sen 󽝲 d 󽝲

v󽜾

sen󽜩 a sen󽝲 󽜪 a sen 󽜩a sen󽝲 󽜪 sen󽝲 d󽝲

1 cos󽝲 .sen 󽜩a sen󽝲 󽜪 1 󽜬 󽝞 󽟳 󽜮1 󽜮1 󽜮1 a a 1 1 sen 󽜩a sen󽝲 󽜪sen󽝲 d󽝲 2 󽝲 󽝲 󽝲 a sen d cos cos ...(i) 󽜾 󽜩 󽜪 󽟳󽜮1 󽟳󽜮1 a Reemplazando (ii) en (i): 1 sen 󽜩a sen 󽝲 󽜪sen 󽝲 d 󽝲 1 sen 󽜩a sen 󽝲 󽜪sen 󽝲 d 󽝲 1 H 󽞣󽞣 󽜩a 󽜪󽜬 H 󽞣 󽜩a 󽜪󽜬 H 󽜩a 󽜪 󽜾 󽟳 󽜮󽟳 󽜾0 󽜮1 󽜮1 a a a 1 󽝝H 󽞣󽞣 󽜩a 󽜪 󽜬 H 󽞣 󽜩a 󽜪 󽜬 H 󽜩a 󽜪 󽜾 0......qq.dd . a

󽟳

1

cos 󽜩 a sen󽝲 󽜪cos 2 󽝲 d󽝲 󽜾

 Verificar que la función y 󽜾 arcsen 󽜩 xy󽜪 , satisface a la ecuación diferencial

xy '󽜬 y 󽜾 y ' 1 󽜮 x 2 y 2



Sea y 󽜾 arcsen 󽜩xy 󽜪 y '󽜾

xy ' 󽜮 y 1󽜮 x2 y 2

󽟟 y ' 1 󽜮 x2 y2 󽜾 xy '󽜮 y xy ' 󽜮 y 󽜾 y ' 1 󽜮 x 2 y 2

2

 xy '󽜮 y 󽜾 y ' 1 󽜮 x y Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

2

INGENIERÍA DE SISTEMAS

 

 Comprobar que la función x 󽜾 y

󽟳

x

0

sen t 2dt , satisface a la ecuación diferencial

y 󽜾 xy '󽜬 y 2 sen x 2  Derivando: x

1 󽜾 y󽞣 󽟳 sent 2dt 󽜬 y sen x 2 0

y 󽜾 xy 󽞣 󽜬 y 2 sen x2 󽜩Satisface a la ecuación diferencial 󽜪  y 󽜾 c1e x 󽜬 c 2e 2x

 Comprobar que la función y 󽜾 C1 x 󽜬 C2 x

󽟳

x

0

sen t dt , satisface a la ecuación t

diferencial x sen x. y ''󽜮 x cos x. y '󽜬 y cos x 󽜾 0

 Sea sen t dt 0 t x sen t sen t sen x dt 󽜬 C 2x dt 󽜬 C 2 sen x 󽜾 C1 󽜬 C 2 󽟳 0 t x t

y 󽜾 C1 x 󽜬 C 2 x 󽟳 y ' 󽜾 C1 󽜬 C 2 󽟳

x

0

y '' 󽜾 C 2

x

sen x 󽜬 C 2 cos x x

󽟧 sen x 󽟷 󽜬 C 2 cos x 󽟸 x sen x. y '' 󽜮 x cos x. y ' 󽜬 y cos x 󽜾 x sen x 󽟨 C 2 x 󽟩 󽟹 x sen t x sen t 󽟧 󽟷 dt 󽜬 C 2 sen x 󽟸 󽜬 C1 x 󽜬 C 2 x 󽟳 dt 󽜮 x cos x 󽟨 C1 󽜬 C2 󽟳 0 0 t t 󽟩 󽟹 x sen x. y ' '󽜮 x cos x. y ' 󽜬 y cos x 󽜾 0 󽜩Si satisface a la ecuacion diferencial 󽜪

 x sen x. y ''󽜮 x cos x. y '󽜬 y cos x 󽜾 0

ez  Sea h 󽜩x 󽜪 󽜾 󽟳 dz, x 󽜿 0, hallar los valores de “a” tal que la función f definida 1 z eah 󽜩x 󽜪 por satisface a la ecuación diferencial f 󽜩x 󽜪 󽜾 x x 2 y ''󽜬 󽜩3x 󽜮 x 2 󽜪y '󽜬 󽜩1󽜮 x 󽜮 3e 2x 󽜪dy 󽜾 0 x



Der ivando:

Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

INGENIERÍA DE SISTEMAS

 

y󽜾

e ah󽜩 x󽜪 x

ae x ah 󽜩x 󽜪 e 󽜩 󽜪 󽜮 2 ...(i ) y󽞣 󽜾 3 .e x x 󽟪󽟧 x ah󽜩 x󽜪 aex ah󽜩 x󽜪 x .e .e 󽜬 󽟫󽟨 e .e x 󽟩 󽟬 y󽞣󽞣 󽜾 a x6 Multiplicando a 󽜩i 󽜪 󽜩3x 󽜮 x 2 󽜪 ah x

󽟷 3 󽟪 ex ah󽜩x󽜪 2 ah󽜩 x󽜪 󽟺 x 2 ah󽜩x 󽜪󽟺 x x ae e 3 . 󽜮 󽟸 󽟻 󽟫 a . e . x 󽜮 2 xe 󽟻 󽟹 󽟼󽜮 󽟬 x 󽟼 ....( ii) 4 x

ae x .eah󽜩 x󽜪 󽜩3 󽜮 x󽜪 e 󽜩3x 󽜮 x 󽜪 y󽞣 󽜾 󽜩3 󽜮 x 󽜪 x 2 󽜮 x

ah 󽜩x 󽜪

2

Multiplicando (x2 ) a (ii) 󽟪 ex eah󽜩x󽜪 ae2x eah󽜩x󽜪 3 aex eah󽜩 x 󽜪 󽟺 󽟪 ex eah󽜩x 󽜪 2 eah󽜩x 󽜪 󽟺 2 x y 󽞣󽞣 󽜾 a 󽟫 󽜬 󽜮 󽜮 󽟻 󽜮 󽟫a 󽟻 2 2 x x x x x 󽟬 󽟼 󽟬 󽟼 2x Multiplicando 󽜩1 󽜮 x 󽜮 3e 󽜪a y : eah 󽜩x 󽜪 ah 󽜩x 󽜪 3e 2 xeah 󽜩x 󽜪 󽜩1 󽜮 x 󽜮 3e 󽜪y 󽜾 x 󽜮 e 󽜮 x Sumando los nuevos valores: 󽜮3a 2e xe ah 󽜩x 󽜪 a 2e 2 xeah 󽜩x 󽜪 3ae xeah 󽜩x 󽜪 ae xeah 󽜩x 󽜪 3e 2 xeah 󽜩x 󽜪 󽜬 󽜬 󽜮 󽜮 󽜾0 x2 x2 x2 x x 󽜮3a 2 a 2e x 3a 󽜬 󽜬 󽜮 a 󽜮 3ex 󽜾 0 x x x 󽜮3a 2 a 2e x 3a 󽜬 󽜬 󽜮 a 󽜮 3ex 󽜾 0  x x x 2x

 Verificar

x 󽜾 y 󽜬 ln y

satisface a la ecuación diferencial yy '' 󽜬 y '3 󽜮 y '2 󽜾 0

 Sea y 󽜾 x 󽜮 ln y y' 󽜾 y '' 󽜾

y y 󽜬1 y' 2

󽜩 y 󽜬 1󽜪

3

󽟧 y 󽟷 󽟧 y 󽟷 󽜬󽟨 yy ''󽜬 y ' 󽜮 y ' 󽜾 󽟸 󽜮󽟨 y 󽟸 2 y 1 󽜬 1 󽜬 y 󽟹 󽟩 󽜬1 󽟹 󽜩 󽜪 󽟩 3

2

yy '

2

yy ''󽜬 y ' 3 󽜮 y ' 2 󽜾 0

 yy '' 󽜬 y '3 󽜮 y '2 󽜾 0

Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

INGENIERÍA DE SISTEMAS

 

 Dada la función H 󽜩 a󽜪 󽜾

󽟳

sen atdt

1 󽜮1

1 󽜮t 2

ecuación diferencial H '' 󽜩a 󽜪󽜬

, a 󽞺 0,

probar que H(a) satisface a la

1 H ' 󽜩a 󽜪󽜬 H 󽜩a 󽜪 󽜾 0 a

 Der ivando: 1 sen atdt H 󽜩a 󽜪 󽜾 󽟳 󽜮1 1 󽜮 t2 Cambio de variable: t 󽜾 sen󽝲

H 󽜩a 󽜪 󽜾

dt 󽜾 cos 󽝲 d󽝲

sen 󽜩a sen󽝲 󽜪.cos 󽝲d 󽝲 󽜾 󽜮1 cos󽝲

󽟳

1

󽟳

1

󽜮1

sen 󽜩a sen 󽝲 󽜪d󽝲

1

H 󽞣 󽜩a 󽜪 󽜾 󽟳 cos 󽜩a sen󽝲 󽜪.sen 󽝲 d 󽝲 󽜮1

1

H 󽞣󽞣 󽜩a 󽜪 󽜾 󽜮󽟳 sen 󽜩a sen 󽝲 󽜪.sen 2󽝲. d 󽝲 󽜮1

Entonces:

1 1 cos 󽜩a sen󽝲 󽜪sen󽝲 .d󽝲 1 ....(i ) H 󽞣󽞣 󽜩a 󽜪 󽜬 H 󽞣 󽜩a 󽜪 󽜬 H 󽜩a 󽜪 󽜾 󽟳 sen 󽜩a sen󽝲 󽜪.󽜩1 󽜮 sen2 󽝲 󽜪.d 󽝲 󽜬 󽟳 󽜮1 󽜮1 a a

Integrado por partes:

󽟳

1 󽜮1

sen 󽜩a sen󽝲 󽜪cos2 󽝲 d󽝲

u 󽜾 cos 󽝲

dv 󽜾 sen 󽜩a sen󽝲 󽜪cos󽝲 .d󽝲 1 󽜮1

sen a sen󽝲 cos2 󽝲 d 󽝲 󽜾 0 󽜮 0 󽜮

󽜪 (i) en (i): 󽟳 󽜩 Reemplazando

󽜩

󽜪 󽟳 1

1 󽜮1

H 󽞣󽞣 a 󽜬 1 H 󽞣 a 󽜬 H a 󽜾 󽜮 cos󽜩 󽜩 󽜪 a 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽟳󽜮1

du 󽜾 󽜮 sen󽝲 .d󽝲 󽜮 cos 󽜩a sen󽝲 󽜪 v󽜾 a cos 󽜩a sen󽝲 󽜪sen󽝲.d 󽝲

....(ii )

1 a sen󽝲 sen󽝲 .d󽝲 cos 󽜩a sen󽝲 󽜪sen󽝲 .d󽝲 󽜪 󽜬 󽜮1 a a 󽟳

Respuesta: 1 H 󽞣󽞣 󽜩a 󽜪 󽜬 H 󽞣 󽜩a 󽜪 󽜬 H 󽜩a 󽜪 󽜾 0....qq.dd . a

1  H 󽞣󽞣 󽜩a 󽜪󽜬 H 󽞣 󽜩a 󽜪󽜬 H 󽜩a 󽜪 󽜾 0 a  Si x 󽜩t 󽜪 󽜾

t

󽟳 󽜩t 󽜮 s 󽜪 e 0

 Der ivando:

󽜮󽜩t 󽜮t 󽜪 t x󽞣 󽜩t 󽜪 󽜾 󽜩t.t 󽜪e e

e ds , calcular el valor de x ''󽜩t 󽜪 󽜬 2 x '󽜩t 󽜪 󽜬 x 󽜩t 󽜪

󽜮󽜩t 󽜮s 󽜪 s

x󽞣󽞣 󽜩t 󽜪 󽜾 0 Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

INGENIERÍA DE SISTEMAS

 

x󽞣󽞣 󽜩t 󽜪󽜬 2 x󽞣 󽜩t 󽜪󽜬 x 󽜩t 󽜪󽜾

󽟳 󽜩t 󽜮 s 󽜪e t

0

󽜮󽜩 t 󽜮s󽜪 s

e .ds

 x󽞣󽞣 󽜩t 󽜪󽜬 2 x󽞣 󽜩t 󽜪󽜬 x 󽜩t 󽜪

 Probar que la función y 󽜾

diferencial y ''󽜮 k 2 y 󽜾 R 󽜩x 󽜪

1 x R 󽜩t 󽜪senh k 󽜩x 󽜮 t 󽜪dt, k 󽟳0

satisface a la ecuación



 y 󽜾 c1 e x 󽜬 c2 e2 x

 Pr obar que la función y 󽜾 C1 x 󽜬 C 2 x

󽜩

󽜪

󽟳

2

x

et dt , x 󽜿 0 satisface a la ecuación t

diferencial x 2 y ''󽜮 x 2 󽜬 x y '󽜬 󽜩x 󽜬 1 󽜪y 󽜾 0



󽟪 2 et x.e x 󽟺 y󽞣 󽜾 c1 󽜬 c2 󽟫 󽟳 . dt 󽜮 󽟻...( i) x t x 󽟬 󽟼 󽟪 ex 󽟺 y󽞣󽞣 󽜾 c2 󽟫 󽜮 󽜮 ex 󽟻 ...(ii ) 󽟬 x 󽟼 Multiplicando por

󽜩x

2

󽜬 x 󽜪a (i ) :

t 2e 󽟪 2 󽟺 󽜮 󽜩x 󽜬 x 󽜪y 󽞣 󽜾 󽜮c 1 󽜩x 󽜬 x 󽜪󽜮 c 2 󽟫󽜩x 󽜬 x 󽜪 󽟳 dt 󽜮 󽜩x 2 󽜬 x 󽜪e x 󽟻 x t 󽟬 󽟼 2

2

Multiplicando por (x 2) a (ii): x2 y󽞣󽞣 󽜾 󽜮 c2 󽟬󽟪 xe x 󽜬 x2 e x 󽟼󽟺 También: x2 y󽞣󽞣 󽜮 x 2 󽜬 x y󽞣 󽜬 󽜩 x 󽜬 1󽜪 y 󽜾 0.....qq.dd .

󽜩

󽜪

 x2 y󽞣󽞣 󽜮 󽜩x2 󽜬 x 󽜪 y󽞣 󽜬 󽜩 x 󽜬 1󽜪 y 󽜾 0  Dada la función y 󽜾 C1 ln x 󽜬 C2 x

󽟳

e

x

x 2 ln 2 x.y ''󽜮 x ln x , y '󽜬 󽜩ln x 󽜬 1󽜪 y 󽜾 0  c1

󽟪

e

dt

1

󽟺

dt , x 󽜿 1, satisface a la ecuación diferencial ln t

y󽞣 󽜾

c2 x i x 󽜬 󽟫󽟬 󽟳x 󽝭n t 󽜮 󽝭n x 󽟻󽟼 ...( ) 󽜩󽜪 󽜩 󽜪

Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

INGENIERÍA DE SISTEMAS

 

1 󽟷󽟺 󽟪 󽟧 󽝭 n x 󽜮 x󽟸 󽟻 󽟨 󽟫 1 󽜮c x 󽟹 󽜮󽟩 󽟻 ...(ii ) y󽞣󽞣 󽜾 21 󽜬 c2 󽟫󽜮 2 x 󽝭n x 󽟫 󽝭n 󽜩tx 󽜪 󽟻 󽟫󽟬 󽟻󽟼 Multiplicando: 󽜩x 󽝭n x 󽜪 a (i) e dt 󽟪 󽟺 󽜮 y󽞣x 󽝭n x 󽜾 󽜮c1󽝭n x 󽜮 c2 󽟫x 󽝭n x 󽟳 󽜮 x2 󽟻 x 󽝭 nt 󽟬 󽟼

También: 󽜩󽝭n x 󽜬1 󽜪 y 󽜾 c1󽝭n2 x 󽜬 c1󽝭nx 󽜬 c 2 x 󽜩󽝭nx 󽜬1 󽜪󽟳

e x

dt 󽝭n t

Sumando: x 2 󽝭n 2 x. y󽞣󽞣 󽜮 x 󽝭nxy󽞣 󽜬 󽜩󽝭nx 󽜬1 󽜪 y 󽜾 󽜮2 c2 󽟬󽟪 x2 󽝭nx 󽜮 x2 󽟼󽟺 󽜬 c2 x 󽟳

e

x

dt 󽝭 nt

󽝝 No se cumple la igualdad de la ecuación diferencial

 No satisface a la ecuación diferencial x

 Demostrar que la función 󽝧 󽜩x 󽜪 󽜾 x e 󽜮1

󽜩

󽜪

󽟳x0 u

󽜮1 u

e du

para , x 󽜿 0, satisface a la ecuación

󽜩

󽜪

2 2 2x diferencial x 󽝧 ''󽜩 x󽜪 󽜬 3x 󽜮 x 󽝧 '󽜩 x󽜪 󽜬 1󽜮 x 󽜮 e 󽝧 󽜩 x󽜪 󽜾 0

 x

x

󽜮 1 󽟳x0 u󽜮1 . eu . du 1 x 󽟳x0 u󽜮1 . eu . du 󽜬 2 e .e 󽝧 󽞣 󽜩 x󽜪 󽜾 2 e x x 1 󽜮1 󽝧 󽞣 󽜩 x󽜪 󽜾 .󽝧 󽜩 x󽜪 󽜬 ex .󽝧 󽜩 x󽜪 x x x 󽟧e 󽟧 1 ex ex 󽟷 1󽟷 󽝧 󽞣󽞣 󽜩x 󽜪 󽜾 󽟨 󽜮 󽟸 .󽝧 󽜩 x 󽜪󽜬 󽟨 2 󽜬 󽜮 2 󽟸 .󽝧 󽜩x 󽜪 x x 󽟹 󽟩 x x󽟹 󽟩x 2

x

x

x

x 󽝧 󽞣󽞣 x 󽜬 x 󽜮 xe 󽝧 󽞣 x 󽜬 e 󽜮 xe 󽜮 1 󽝧 x 󽜾 0 󽜩 󽜪 󽜩 󽜩 󽜪 󽜩 󽜩 󽜪 󽜪 󽜪 No satisface a la ecuación diferencial

 No satisface a la ecuación diferencial x

2

y ln y 󽜾 x 󽜬 󽟳 e t dt ,

 Dada la función

0

󽜩1 󽜬 ln y 󽜪 y '' 󽜬 y '2 󽜾 2 xy.e x

2

 2

y󽞣 󽝭 n y 󽜬 y󽞣 󽜾 1󽜬 e x 2 1 y󽞣󽞣 󽝭n y 󽜬 y󽞣 y󽞣 󽜬 y󽞣󽞣 󽜾 2 xe x y 2

x2

satisface a la ecuación diferencial

y 1 󽜬 󽝭n y y 󽞣󽞣 󽜬 y 󽞣 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪

Por: CALIXTO CARMEN

2 xy e

qq dd

Y ARIAS RICALDI

INGENIERÍA DE SISTEMAS

 

2

 y 󽜩1 󽜬 󽝭n y 󽜪 y 󽞣󽞣 󽜬 󽜩 y 󽞣󽜪 󽜾 2 xy.ex

󽜩

2

󽜪 k

2

 Demostrar que la función y 󽜾 x 󽜬 x 󽜬1 , satisface a la ecuación diferencial

󽜩1 󽜬 x 󽜪y󽞣󽞣 󽜬 xy󽞣 󽜮 k 2

2

y󽜾0



󽟧 1󽜩 2x 󽜪 󽟷 .󽟨 1󽜬 󽟸 2 󽟩 2 x 󽜬1 󽟹 k 󽜮1 󽟧 x 󽜬 x2 󽜬 1 󽟷 2 󽟸 y 󽞣 󽜾 k x 󽜬 x 󽜬 1 .󽟨 2 󽟨 󽟸 1 󽜬 x 󽟩 󽟹 ky y󽞣 󽜾 x2 󽜬 1 1k 󽜩2 x󽜪 󽟷 󽟧 2 y󽟸 󽟨 ky󽞣 x 󽜬1 󽜮 2 󽜬 x 2 1 󽟹 y󽞣󽞣 󽜾 󽟩 2 󽜩x 󽜬 1󽜪

󽜩

󽜪

󽜩

󽜪

y󽞣 󽜾 k x 󽜬 x 2 󽜬 1

k 󽜮1

 Probar que la función x (t) definida por : x 󽜩t 󽜪 󽜾

ecuación diferencial t x 󽞣 󽜬 3x 󽜩t 󽜪 󽜬

1

󽜩1 󽜬 t 2 󽜪

2

dx

1

󽟳

0

󽜩x

2

󽜬t

󽜪

2 2

, satisface a la

󽜾0

 Sea x t 󽜾 󽜩󽜪 x 󽜩t 󽜪' 󽜾

1

󽟳 󽜩x 0

dx 2

󽜬t2

1

󽜩1 󽜬 t 󽜪 2

2

tx ' 󽜩t 󽜪󽜬 3 x 󽜩t 󽜪󽜬 tx ' 󽜩t 󽜪󽜬 3 x 󽜩t 󽜪󽜬

2

󽜪

󽜮

1 t4 1

󽜩1 󽜬 t 󽜪

2 2

1

󽜩1 󽜬 t 󽜪

2 2

󽟧 󽟷 1 dx 1 1 󽟸 1 󽟨 3 󽜾t 󽜮 󽜬 󽜬 2 4 2 󽟳 0 2 2 2 2 󽟨 󽜩1 󽜬 t 2 󽜪 t 󽟸 1 󽜬 󽜬 x t t 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽟩 󽟹

󽜩 No satisface a la ecuación diferencial 󽜪

 

Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

INGENIERÍA DE SISTEMAS

 

 Demostrar que la función f (a, b) 󽜾

diferencial 3ab

󽟳

󽞦

0

3

2

e󽜮 ax 󽜮 bx dx , satisface a la ecuación

󽞷2f 󽝥f 2 󽝥 f 3 2 󽜮 󽜮 󽜾1 a b 󽝥b 󽝥a 󽞷b 2

  1 y n n 2 cos( ) cos 󽜾 󽝲 󽝲 d󽝲 , satisface a la ecuación diferencial mx sen  Pr obar que x 󽟳0 y󽞣󽞣 󽜬 m2 n2 x2 n󽜮 2 y 󽜾 0 󽝱

 Sea 󽝱 2 0

y 󽜾 x󽟳

󽝱 2 0

y' 󽜾 󽟳

1

cos(mxn sen󽝲 ) cosn 󽝲 d󽝲

󽝱 1 1 󽟧 󽟷󽟺 n n n n cos( mx sen󽝲 ) cos 󽝲 d󽝲 󽜬 x 󽟨cos( mx sen90) cos 90 󽜮 cos( mx sen0) cos 0 󽟸󽟻 2 󽟩 󽟹󽟼󽟻 0 1 n

n

󽝱 2 0

1 n

y ' 󽜾 󽟳 cos( mx sen󽝲 ) cos 󽝲 d󽝲 󽜮 x n

y '' 󽜾 󽜮1 1 󽟧 2󽝱 󽟷 n n y󽞣󽞣 󽜬 m n x y 󽜾 󽜮1 󽜬 m n x 󽟨 x 󽟳0 cos( mx sen󽝲) cos 󽝲 d 󽝲 󽟸 󽟩 󽟹 2 2 2 n󽜮 2 y󽞣󽞣 󽜬 m n x y 󽜩 No satisface a la ecuación diferencial󽜪 2

2 2 n󽜮 2

2

2

2 n󽜮 2

  Probar que y 󽜾

󽟳

󽞦

0

asenz 󽜬 b cos z dz , satisface a la ecuación diferencial x󽜬 z

d2 y a b 󽜬y󽜾 󽜬 2 2 dx x x  Sea y󽜾󽟳

󽞦

0

y' 󽜾 0 y '' 󽜾 0

asenz 󽜬 b cos z dz x󽜬z

Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

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 

󽞦 asenz 󽜬 b cos z d2y dz 󽜬y󽜾󽟳 2 0 dx x 󽜬z d2 y 󽜬 y 󽜩 No satisface a la ecuacón diferencial 󽜪 dx 2  

 Verificar que las funciones y1 󽜾

x , y2 󽜾

1 , x 󽜿 0 , satisface a la ecuación x

diferencial 2 x 2 y 󽞣󽞣 󽜬 3 xy 󽞣 󽜮 y 󽜾 0

 Sea y1 󽜾 x 1 y1 ' 󽜾 2 x 1 y1 '' 󽜾 󽜮 3 4x 2 󽟧 1 󽟷 󽟧 1 󽟷 x y ''󽜬 3xy '󽜮 y 󽜾 x 󽟨 󽜮 3 󽟸 󽜬 5x 󽟨 󽟸󽜮 x 󽟨 󽟸 2 x 󽟩 󽟹 󽟩 4 x2 󽟹 x 2 y ''󽜬 5xy '󽜮 y 󽞺 0 󽜩No satisface a la ecuación diferencial󽜪   2

2

 Verificar que las funciones y 1 󽜾 x 2 , y 2 󽜾

diferencial

ln x , x 󽜿 0 , satisfacen a la ecuación x2

2

x y󽞣󽞣 󽜬 5 xy󽞣 󽜬 4 y 󽜾 0  Sea y1 󽜾 x 2 y1 ' 󽜾 2 x y1 '' 󽜾 2 x 2 y 󽞣󽞣 󽜬 5 xy 󽞣 󽜬 4 y 󽜾 2 x 2 󽜬 5 x 󽜩2 x 󽜪 󽜬 4 x 2 x 2 y 󽞣󽞣 󽜬 5 xy 󽞣 󽜬 4 y 󽞺 0 󽜩No satisface a la ecuación diferencial 󽜪  

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 

 Demostrar que la función y 󽜾

󽟳

󽝱 2 0

log 󽜩sen 2󽝲 󽜬 x 2 cos 2 󽝲 󽜪d 󽝲 , satisface a la ecuación

2 󽟧 x 󽜬1 󽟷 diferencial 󽜩1󽜬 x 󽜪 y 󽞣󽞣󽜬 󽜩1󽜬 x 󽜪 y 󽞣󽜬 y 󽜾 󽝱 log 󽟨 󽟸 󽟩 2 󽟹

 Sea 󽝱 2

y 󽜾 󽟳 log 󽜩sen 2󽝲 󽜬 x 2 cos 2󽝲 󽜪d󽝲 0

y ' 󽜾 ln 󽜩sen 90 󽜬 x 2 cos 90 󽜪󽜮 ln 󽜩sen 0 󽜬 x 2 cos 0 󽜪 y ' 󽜾 ln 󽜩1󽜪 󽜮 ln x 2 y '' 󽜾 󽜮

2 x 2󽟷 2 󽟸󽜬 󽜩1󽜬 x 󽜪󽜩ln 󽜩1󽜪󽜮 ln x 󽜪 󽟩 x󽟹

󽜩1 󽜬 x 󽜪2 y󽞣󽞣 󽜬 󽜩1 󽜬 x 󽜪 y󽞣 󽜬 y 󽜾 󽜩1 󽜬 x 󽜪2 󽟨󽟧󽜮

󽟧 󽝱2 󽟷 󽜬 y 󽟨 󽟳 log 󽜩sen 2󽝲 󽜬 x 2 cos 2 󽝲 󽜪d󽝲 󽟸 0 󽟩 󽟹 x 󽜬 1󽟷 2 󽜩1 󽜬 x 󽜪 y󽞣󽞣 󽜬 󽜩1 󽜬 x 󽜪 y󽞣 󽜬 y 󽞺 󽝱 log 󽟧󽟨 󽟸 󽜩 No satisface a la ecuación diferencial󽜪 󽟩 2 󽟹

 Dada la función u 󽜾

󽟳

󽝱 0

󽜩

󽜪

e qxcos 󽝲 A 󽜬 B log 󽜩x sen2󽝲 󽜪 d 󽝲 satisface a la ecuación

d 2 u du 2 diferencial x 2 󽜬 󽜮 q xu 󽜾 0 dx dx  

 Demuestr e que la función y 󽜾

󽟳

󽞦 0

e 󽜮 xz dz

󽜩1 󽜬 z 󽜪

󽜬 2 n 1

, satisface a la ecuación diferencial

xy 󽞣󽞣 󽜮 2ny 󽞣 󽜬 xy 󽜾 1

   Si H 󽜩t 󽜪 󽜾

󽟳

󽞦

0

e󽜮 x cos 󽜩tx 󽜪dx , para todo , probar que H 󽞣󽜩 t󽜪 󽜬 2

1 H 󽜩t󽜪 󽜾 0 2



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 

Sea 󽞦

H 󽜩t 󽜪 󽜾 󽟳 e 󽜮x cos 󽜩tx 󽜪dx 2

0

H 󽜩t 󽜪' 󽜾 e 󽜮󽞦 cos 󽜩󽞦 󽜪󽜮 1 H 󽜩t 󽜪'' 󽜾 󽜮󽞦e 󽜮󽞦 cos 󽜩󽞦 󽜪󽜮 e 󽜮󽞦 sen 󽜩󽞦 󽜪 1 H 󽞣 󽜩t 󽜪 󽜬 H 󽜩t 󽜪 󽜾 0 Si satisface a la ecuacion diferencial 2  Si G 󽜩t 󽜪 󽜾

󽟳

󽞦 0

e

󽟧 󽜮 x 2󽜮 󽟨 󽟩

2

t󽟷 󽟸 x󽟹

dx , probar que : G 󽞣 󽜩t 󽜪󽜬 2G 󽜩t 󽜪 󽜾 0

 G 󽜩t 󽜪 󽜾

󽟳

󽞦

0

󽟧t 󽟷 󽜮 x2 󽜮󽟨 󽟸 󽟩x󽟹

e

2

dx

2 󽟧 t 󽟷 󽞦 󽜮 x 󽜮󽟨 󽟸 󽟩 x󽟹

2

G 󽞣󽜩t 󽜪 󽜾 󽜮 󽟳 e 0

󽟧 t 󽟷󽟧 x .2 󽟨 󽟸󽟨 2 󽟩 x 󽟹󽟩 x

󽟧 t󽟷

󽟷 󽟸 dx 󽟹

2

t 󽞦 󽜮 x2 󽜮󽟨󽟩 x󽟸󽟹 .dx 󽜾 0 G 󽞣󽜩t 󽜪󽜬 2 2 󽟳 e x 0 Respuesta: No se cumple la igualdad de la ecuación diferencial  Ver ificar si la función y 󽜾 c1 e barc sen x 󽜬 c2 e 󽜮 barc sen x es la solución de la ecuación

󽜩

󽜪

diferencial 1󽜮 x 2 y󽞣󽞣 󽜮 xy󽞣 󽜮 b 2 y 󽜾 0

 󽜮 barc sen x

barc sen x 1

2

y ce ce 󽜮 barc s...