Ecuaciones Diferenciales Solucionario de g. Makarenko PDF

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Description

SOLUCIONARIO DE B. MAKARENKO

Eduardo Espinoza Ram Graduado y Titulado en Matemát Catedrático de las principales Universidades de la Capital ■— —i

□ BRAS P U B LIC A DA S

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J

!

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

U B E J

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■ T:W-~*VW/ T(X)*V

Variable Compleja y sus Aplicaciones Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, II, III Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER. ► Solucionado de Leithold 2da. Parte. ► Geometría Vectorial en R2 ► Geometría Vectorial en R3

www.Solucionarios.net Eduardo (Espinoza Ramos L im a - P e r ú

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

SOLUCIONARIO

A. KI SEL ION - M. Krsnov - G. MAKARENKO

EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERÚ

PROLOGO IMPRESO EN EL PERU

La presente obra intitulada “ Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Solucionario ” del libro de Makarenko y otros autores, en su

Fecha de publicación Ejemplares impresos Númáfo de edición Autor*

0 9 -0 2 -2 0 1 0 1000

3ra. Edición, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos

libros

3 a EDICIÓN

fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, así como

Eduardo*Espinoza Ramos

sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homogénea y no homogéneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales

Este libro no puede reproducirse total ó parcialm ente por ningún m étodo gráfico, electrónico o m ecánico, incluyendo ■ los sistemas de fotocopia, registros m agnéiicos o de alim entación de datos, sin expreso consentimiento del autor y editor.

de coeficientes variables, solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias, sistemas de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales por medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por medio de Transformada de Laplace.

El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formación de los

DERECHOS RESERVADOS D.L. N° 8 2 2

futuros profesionales en las áreas de ciencia e ingeniería, tanto en los aspectos

Derechos copyright Edukperu © 2009 reservados

científicos, como técnicos relacionadas con la impresión.

RUC Ley de Derechos del Autor Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú con el número

N° 20520372122 N° 13714

Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas del área de matemática de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han contribuido para mejorar éste trabajo. También mi reconocimiento especial al Doctor Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento está contribuyendo en mis trabajos,

N° 2007-12593

a fin que el beneficiado sea el estudiantado.

Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su avance y desarrollo intelectual. Eduardo Espinoza Ramos

IN D IC E Pag.

1.

Conceptos Fundamentales.

i

2.

Ejercicios de Verificación.

2

3.

Ecuación con Variable separable y ecuaciones reducibles a ellas

14

4.

Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a ellas

48

5.

Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuación de Bemoulli

72

6. 7.

Ecuaciones Diferenciales Exactas, factor integrante

100

Ecuaciones Diferenciales de primer orden no resueltas con respecto a la derivada.

8.

Ecuación de Lagrange y Clairout

9.

Composición de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de curvas, problemas de Trayectorias.

130 143

154

10.

Soluciones Singulares

166

11.

Diversos Problemas

175

12 .

Ecuación Diferencial de orden superior, Reducción del orden de la ecuación.

196

13.

reducción del orden de la Ecuación

210

14.

Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n

245

15.

Ecuaciones Lineales Homogéneas de coeficientes constantes

260

16.

Ecuaciones Lineales no Homogéneas de coeficientes Constantes

272

17.

Ecuación de Euler

333

18.

Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Variables

345

19.

Composición de la Ecuación Diferencial dado el Sistema Fundamental de Soluciones

394

20.

Integración de las Ecuaciones Diferenciales mediante series

396

21.

Sistemas de Ecuación Diferencial de coeficientes constantes

430

22.

Reducción de un sistemas a una Ecuación Diferencial de orden n

431

23.

Método Operacional y su aplicación para la resolución de Ecuación Diferencial

454

24.

Propiedades de Transformada De Laplace

455

25.

Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Constantes (con

y^n): es decir: es una ecuación de la

Si la función incógnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria.

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuación.

Se llama solución de la ecuación diferencial a una función y = \|/(x), determinada en el intervalo (a, b), junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive tal que al hacer la sustitución y = \|/(x) en la ecuación diferencial, esta se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo (a, b). La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se denomina curva integral de la ecuación.

La forma general de una ecuación de primer orden es:

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con Transformada 489

de Laplace 27.

Una ecuación diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas; forma.

470

Transformada de Laplace). 26.

ICONCEPTOS FUNDAMENTALES!

510

Apéndice

F(x,y;f) = 0 Si en la ecuación (1) es posible despejar y ' , resulta;

í

j nói38U33 «i 3b ksé

. .. (2) Que representa una ecuación de primer orden, resuelta con respecto a la derivada.

1

Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas.

( l - j r 2).y'+jrv = - ( l - x 2) — ^ = r + x(2 + c V l-x 2) = - V l - x 2cc + VT- x 2cx + 2x

-x2’ V l-J

11.-

sen* y = -------, xy'+y = eos* x

(1 - j t 2)j^'+jcv = 2jc

Solución y - scn£

y'= x cos*

se.n.£ 9 reemplazando en la ecuación dada.

14.-

j = x V l - x 2",

>y’= x - 2 x 3 Solución

jc eos jc-sen * X2

sen* *y

x 2 c o s x -x se n x v2 *

sen* .y = W l - * 2 => / = V l - x 2 — í ------ = —T 2* V i- * 2 V i- * 2

senx senx = eos X ---------+ ------- -- eos X X

X

r. 5". 1 —2jc , = W l - s (■ ,----- - ) = s - 2 x 3

.*. xy'-Hy = cosx >y' = JC-2:c3

12. -

>> = ce“2jr+ — , y + 2j = e*

15.-

, =

, x /= > ;tg (ln j;) Solución

Solución j; = ^aresener ^

l=

_ c e ~2jr + £ _ => y = - 2c e _2jr + — , reemplazando en la ecuación dada.

aresenex

' Jl -(cx )2

i "\lpfii-

X c e «*mcx

X ex y'+2y = -2 c e~ lx +— + 2ce~Zr +2 — = e x 3 3 y'+2y = e x

xy -

xcy

r ■- = ^ = tg(ln_v).^ V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(c x )2

x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex => 13.-

>>= 2 + c V l - x 2 , ( l - j c 2)y+xy = 2x tg(lny) = — v h

Solución y = 2 + c V i- * 2 =>

2

y=

-ex 16.-

f* ^ = e J0

2

^F

dt+ceX > y ' - y = e

3

19.-

Solución y

=

e*

J *

e

' 1

dt

ce*

+

= >

y '= e x

£

e

' 2

dt

+

e* .e* '

+

ce*

X = COSÍ

y = sen /

Soiución , _ / (O _

eos/

* '( 0

sen í

y ' - y = e x+j;2 *+ f * sen t y =x\ — ~ d t, Jo t

x+ yy' = 0

, reemplazando

y ’- y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e~* * .e*1

17.-

L

,

cosí ^

sen/

, eos/ = cos/ + sen /(---------) = c o s /-c o s / = 0 sen/

x y = y + xsenx

JC+ J> /= 0

Solución 20. Sen t v —x l ------ dt ^ y J0 t ex

Cx sen i sen x y' = I dt + x 7 Jo t X

r > sen t . Jo

t

x = íet

(l + xy)y'+y2 =0

y =e - Idt +senx Solución

xy’= x (

*

18..

r* sen t r*sení ------ 2 = (l + í)(-----------) + e~2' = - e “2' + e 2' = 0

x y '- y = xe

e' 0 + 0

Solución X

y_

(1 + xy)y'+y2 = 0

m ¿>X

dx + c)=> / = J — dx + c + e* \ reemplazando en la ecuación dada.

J

x = e »rctg(f)

21.-

x f €* x y'-y = x( í — dx + x + ex) - x ( | — dx + c)

J x

Í

L y + xy’= 0 ^ = e -arctg(,)r* Solución

J x

ex f ex — dx •+■xc + xc —x I ——-dx —xc —xc X

J

X

arctg(/)

jx = esrctg / = _ e - 2arct8(')

y + jcy’= É -arc,8(,) + e arct*y'=t

1

y' ln— = 4x 4 y'+ aresen y' = t + aresen r = x 23.-

jc = ln / + sen í

, x = ln v’+ s e n j'’

x = y '+ a re s e n /

y = r(l + senO + co síJ Solución x = t 2 + er , 1 1+/COS/ x = iní + sen t=>x\ = - + cos / = ----- ------

y = /(l + sení) + cosí ^ .V/ = 1+ senl + t e o s /—sen / = l + f eos/ 6

2í 3 y = — + (r-iy

y

+ey' = x

Solución

x = t 2 +e' 3

s

y = * -+ (,-l)e ‘

x\* = 2t + e' y'(t) = 2t2 +e' + ( í- l) e ' =t( 2t + e‘)

28.-

y = ln(c+ex ) ,

y ' = e x~y Solución

y - ln(c+ex )=t> y ’= --------, además

, y\ t(2 t+ e ') , , y= - —---- — - = / = > / = í x\ 2t + e ‘

c+ ex

ex

ex

c+ ex

ey

y'-.---------- -- ---- = e ' - '

y ’2+ey' = t 2 + el = x y ' 2+ey = x

29.-

=> y ’= e x~y

y = -Jx2 - e x , ( x 2 + y 2) d x - 2 x y d y - 0

Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas. 26.-

Solución y = 4 * 2 - ex => dy = — rl : . c dx x 1-ex

y = -------, y '- t g x . y = 0 cosx Solución

y

y= ln (c + ex)=>c + e x = e y

( 2 x - c ) d x - 2 ^ J x 2 - c x d y = 0 , dedonde (2 x2 - x c ) d x - 2 x y d y = 0

-------y'' = c sec x. tg x , reemplazando en la ecuación cosx

( x 2 - x c + x 2) d x - 2 x y d y = 0 entonces

(y2

+ x 2)d x -2 x y d y = 0

Q

y '- t g x . y = c s e c x .tg x - tg x . ------ = c .s e c x .tg x -c s e c x .tg .t = 0 cosx

30.-

j = x(c-ln |j:|) , (x - y) dx + x dy = 0

y -tg x .^ = 0

27.-

=

3x + c

Solución y = x ( c —lnjxj) => dy = (c -\v \x \)d x -d x

y '= 3 y2

x d y = x ( c - \ n \ j f y d x - x d x , como y - x { c - lnjx|) entonces:

Solución

y =-

i 3x + c

3 /=

(3x + c)

x d y = y d x - x d x => ( x - y ) d x + x d y = 0 y =

(3x + c)

= 3(——— ) 2 = 3 ( - y ) 2 = 3 y 2 3x + c ••• y ' = 3 y 2

8

31)

x =ye**\

/ =

x ( ln x - ln ^ ) Solución 9

x-ye

\ n x - \ n y = cy + \

ln — = cy + \ , dedonde

=>

( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (c = constante). 33)

x = y e V +l => e ^ 1 = -

e~y - e x = 1, jty'+l = e y Solución

jc = l = / ^ +1+ o ^ +V 1

32)

= ^ ( 1 +00/

= ~ ( i n x - l n .y ) y

e~y

y '= -

= —( ln j c - ln y ) / entonces: ^

x (ln x - ln y )

- x e ~ yy'-(e~y - \ ) n _v , _v . „ ------------ ------------= 0 => - x e y y - e y +1 = 0 x

* = >>lncy, / ( * + >>) = .V

x y '+ l - e y = 0 => xy'+l = e y

Solución

x ey x = y hicy => — = lncy => — = c , derivando se tiene: y

y

y e h * ^ f)-¿ y ' y

------------------------- = 0 y

-1

e y - ex - 1 => ---------= c derivando x

y

_

, a\ *4)

y

3

1

c

X

Xó

2j 3f dx , xy dy + y dx = — X

Solución

xy'

simplificando - ----- — - / = 0 => y - x y '- y y '= 0 y >>3 = —+ —r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene: x x3

'(x + y )y '= y La relación 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implícita determina la solución general que se llama integral general de la ecuación diferencial de primer orden.

3x2y 3dx + 3x3y 2d y - 2 x d x = 0 => x y 2dx + x 2y d y = 3y

La relación que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial. El problema de resolución o de integración de una ecuación diferencial consiste en hallar la solución general o la integral de la ecuación diferencial considerada, si además, se ha dado alguna condición inicial, se pide también hallar la solución particular o la integral particular que satisface a la condición inicial considerada. Como geométricamente las coordenadas x e y son equipotentes, además de la ecuación — = f ( x , y ) se considera también la ecuación — = -

dx

10

dy

Luego no es integral de la ecuación.

35)

x 3 - 4 x 2y + 2 x y 2 - y 3 = 0 ,

(3x2 - 8 x y + 2 y 2) d x - ( 4 x 2 - 4 x y + 3 y 2)dy = 0 Solución

x 3 —4 x 2y + 2xy2 —y 3 = 0 , diferenciando se tiene:

*

f(x ,y )

3x2dx - Sxydx - 4x 2d y + 2 y 2dx+ 4xydy - 3 y 2dy - 0 11

(3x2 - i x y + 2 y 2) d x - ^ x 2 - 4 x y + 3y2)dy = O 38)

x = yj^ se n t2d t , ^ = Ay'+y2 senjc2

Si es integral de la ecuación diferencial. Solución 36)

y 2 + 2cx - c 2 y yy'2 +2xy'=x +1 x = y ¡ se n í2dt => f sent 2dt = — , de donde

Solución

»0

y 2 + 2cx = c 2 => c = x ± tJ x 2 + y 2 derivando se tiene:

0

= 1 ± —^ M = J x 2+ y2

x=yj0sen12^ l = 2xy'+yy'2

No es integral de la ecuación diferencial.

*=y'JQsenr2dt +y sen x 2, reemplazando se tiene:

= / y + . y s e n x 2 => y = xy'+y2 s e n x 2

Si es integral de la ecuación diferencial.

39)

Cx sen t

—-—d í - y \ n y , xy'+xiny = x senx + y l n y

arctg—- \n (c J x 2 + y 2 ) = 0 , (x + y ) d x ~ ( x - y ) d y = 0 x

a rc tg ~ - ln c J x 2 + y 2 = 0 , diferenciando se tiene: x

^| y2 x2

c.(xdx + ydy)

Solución f*senr x \ —— dt = y \ n y t

Solución

xdy - ydx x2

y

=> y \ n y + x sen x = x (\n y + l)y'

J x 2 + y 2 .c .J x 2 +y No es integral de la ecuación diferencial.

xdy - ydx

xdx + ydy

x2+y2

x 2+y2

= 0 de donde x d y - y d x - x d x - y d y = 0

(x - y)dy - (x + y)dx = 0

entonces

(x + ^ ) á r - ( x - x(l + y 2) = c

( y 2 + x y2) y ’+x2 - y x 2 = 0

donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo la sustitución z = ax + by + c.

Solución ( y 2 + x y 2)y'+x2 - y x 2 = 0 , agrupando

Integrar las ecuaciones: 81)

l n x 2(l + y 2)=¿

(\ + y 2)dx + {\ + x 2)dy = 0

y 1 (\ + x ) - ~ + x 2( l - y ) = 0. Separando la variable. Solución

(1 + y 2)dx + (1 + x 2)dy = 0 , separando la variable dx dy „ . , ------ r- + ------ —= 0 integrando 1 +x 1+ y 2 14

1

y

^ - + — ~ = 0 , integrando: f ¿ ± + í ^ í , c . De donde se tiene: - y 1+ x j 1- y i 1+ X

l +x ( x + y ) ( x - y - 2) + 21n=c 1- y 15

84)

(1 + y 2)dx = xdy

v r ^ +v n = *

=> * = i

Solución V i- * 2 + V i- .v 2 = i (1 + y 2 )dx = x d y separando las variables 87)

< r '( l + / ) = l

dx dy — = ------ y , integrando ln xk = arctg y

x

1+ y

Solución y = tg(ln(fcc))

85)

e - * ( i + / ) = i => i + y = ^

x j l + 'y2 + yy'yfl + x 2 = 0

— = dx

=> y = ^ - i

- 1, separando las variables, - — -- = d: , integrando se tiene: e y -1

Solución x^l +y 2 + y^l +x 2 ^

t dy c i ~ l = i d x+c

= 0 . Separando las variables.

c e ydy

=> J T 7 7 7 ^ +A:

l n ( l - e ^ ) = x+A: => l - e -* » ^ * - e V

xdx

ydy r + -jrr-r = 0 , integrando Vl + * 2 +y 2

/.

r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde

+

-c

88)

=¡ e * = - L ( l - e - y ) e

e x = £ (1 - 0

>>ln.y 2

•= c

ln(x ln(>>)) = k => x ln y = c de donde

para dé donde, 16

-\fl-x 2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1

c dx r dy I ----- v I ------- = k * x J yin y ln y = -

x = 1, y = 1 => l = e c => c = O x ln y = O =>

lny = O => y = 1

=> ln x + ln(lny) = k =>

=> y = e x

89)

92)

y ' = a x+y(a > O, a * \...