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ALGEBRA LINEAL EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERU IMPULSO EN EL PERU 2da. Edición 2 '-9 8 -2 0 0 6 DERECHOS RESERVADOS Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó de alimen...

Description

ALGEBRA LINEAL

EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERU

IMPULSO EN EL PERU

2da. Edición

2 '-9 8 -2 0 0 6

DERECHOS RESERVADOS

Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó de alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR.

RUC

N ° 10070440607

Ley del libro

N° 28086

Ley de Derecho del Autor

N ° 13714

Registro Comercial

N ° 10716

Escritura Pública

N° 4484

PRÓLOGO El estudio del Álgebra Lineal, hace tan sólo unos 80 años, estaba destinado nada más a los estudiantes de Matemática y Física, aquellos que necesitaban conocimientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como estadística muiíi variada. En el Algebra Lineal se estudia ahora en muchas disciplinas debido a 1a, invención de las computadoras de alta velocidad y el aumento general de las aplicaciones de la matemática en áreas que por tradición no son técnicas. En el presente libro en su 2da. edición, se estudia en el Capítulo I, la recta y los planos en R 3 , en el Capítulo II se hace una revisión de los conceptos de Producto Cartesiano, de Relaciones Binarias y Funciones, en el Capítulo III se trata los Espacios Vectoriales, Subespacios, base, dimensión, en el Capítulo IV se trata todo lo referentes a T ransformaciones Lineales, así como el Núcleo, Imagen, Base, Dimensión, Operaciones, Matriz Asociada a una Transformación y en los Capítulos V y VI, se trata del producto interno, el proceso de GRAM - SCHMITD y las Formas Bilineales. La Lectura del presente trabajo requiere del conocimiento de un curso de matemática básica así como el cálculo diferencial e integral. Los temas expuestos en esta obra esta con la mayor claridad posible. Es un placer expresar mi gratitud a los siguientes profesores por sus valiosas sugerencias. ♦ ♦

Lic. Juan Bemuy Barros Lic. Antonio Calderón.

♦ ♦

Doctor Pedro Contreras Chamorro. Lic. Guillermo Más Azahuanche.

Y a todo él público por la preferencia que brindan a cada una de mis publicaciones

E D U A R D O E SPIN O Z A R A M O S

DEDICATORIA

Este libro lo dedico a mis hijos.

R O N A L D , JO R G E

y D IA N A

Que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser Guías de sus Prójimo

BVPICE

CAPÍTULO I 1. ;

RECTAS Y

PLANOS EN

EL

ESPACIO

: TRIDIMENSIONAL

>

1

1.1

Sistema de Coordenada Rectangular en el Espacio.

2

1.2

Distancia entre Dos Puntos.

3

1.3

División de un Segmento según una Razón dada.

5

1.4

Ángulos Directores, Cosenos Directores y Números Directores.

7

1.5

Expresiones de los Cosenos Directores de una Recta determinados por Dos de sus Puntos.

8

1.6

Relación entre los Cosenos Directores de una Recta.

8

A.

LA RECTA

9

1.7

La Recta en el Espacio Tridimensional.

9

1.8

Ecuación Vectorial de la Recta.

10

1.9

Ecuación Paramétrica de la Recta en el Espacio.

11

1.10

Ecuación Simétrica de la Recta.

12

1.11

Rectas Paralelas y Ortogonales.

14

1.12

Ángulo entre Dos Rectas.

16

1.13

Distancia Mínima entre Dos Rectas (Rectas que se Cruzan).

16

1.14

Teorema.

18

1.15

Teorema.

19

1.16

Proyección Ortogonal de un Punto Sobre una Recta.

21

1.17

Ejercicios Desarrollados.

22

B.

EL PLANO

38

1.18

Definición.

38

IJ 9

Ecuación Vectorial del Plano.

38

1.20

Ecuaciones Paramétricas del Plano.

40

1.21

Ecuación General del Plano.

40

1.22

Planos Paralelos y Ortogonales.

41

1.23

Intersección de Planos.

1.24

Ecuación Biplanar de la Recta.

43

1.25

Intersección entre Recta y Plano.

45

1.26

Plano Paralelo a una Recta y PlanoPerpendicular a una Recta.

46

12 1

Familia de Planos,.

48

1.28

Ecuaciones Incompletas del Plano.

49

1.29

Distancia de un Punto a un Plano.,

51

1.30

Ángulo entre Recta y Plano.

53

1.31

Proyección Ortogonal de un Punto sobre un Plano.

54

1.32

Proyección Ortogonal de una Recta sobre un Plano

55

! .33

Distancia Mínima entre un Plano y una Recta que no está contenida

’

43

en el Plano,

58

1.34

Ángulo entre dos Planos.

59

1.35

Ejercicios Desarrollados.

59

1.36

Ejercicios Propuestos.

75

CAPÍTULO n 2.

CONCEPTOS BÁSICOS

104

2.1.

Producto de dos Conjuntos

104

2.2.

Propiedades de dos Conjuntos

104

2.3.

Relación Binaria

104

2.4.

Aplicación de X en Y

104

2.5.

Clases de Funciones

105

2.6.

Conjunto Imagen y Conjunto Imagen Inversa

105

2.7.

Composición de Funciones

106

2.8.

Leyes de Composición Interna y Extema

107

2.9.

Campo o Cuerpo

107

CAPÍTULO III 3.

ESPACIOS VECT0«ÍAL1S

111

3.1.

Definición

111

3.2.

Ejemplos de Espacios Vectoriales

113

3.3.

Propiedades de los Espacios Vectoriales

117

3.4.

Espacio Vectorial de Funciones

119

3.5.

Espacio Vectorial de las Matrices mxn

121

3.6.

Ejercicios Propuestos

127

3.7.

Sub - espacios Vectoriales

130

3.8.

Operaciones con Funciones

153

3.9.

Combinaciones Lineales

168

3.10.

Conjunto de Combinaciones Lineales

171

3.11.

Sub - espacio Generado

173

3.12.

Independencia y Dependencia Lineal

178

3.13.

Sistema de Generadores

184

3.14.

Base de un Espacio Vectorial

186

3.15.

Dimensión de un Espacio Vectorial

191

3.16.

Dimensión de la suma

195

3.17.

Dimensión de la suma Directa

199

3.18.

Teorema

208

3.19.

Ejercicios Propuestos

213

i CAPÍTULO IV TRANSFORMACIONES LINEALES

229

Definición

229

Interpretación Geométrica

230

Teorema

230

Proposición

237

Clasificación de las Transformaciones Lineales

239

Proposición

242

Núcleo o Imagen de una Transformación Lineal

247

Teorema

252

Dimensiones del Núcleo y de la Imagen

255

Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales

260

Coordenadas o Componentes de un Vector

266

Matriz Asociada a una Transformaciones Lineales

268

Algebra de las Transformaciones Lineales

275

Composición de las Transformaciones Lineales

278

Transformaciones Lineales Inversíbles

282

Teorema

287

Isomorfismo Inducido por una Transformación Lineal

289

Cambio de Base y Semejanza de Matrices

296

Ejercicios Propuestos

303

CAPÍTULO V PRODUCTO INTERNO Y ORTOGONALIDAD

321

Definición

32!

Definición

323

Teorema

327

5.4.

Ortogonalidad - Conjunto Ortogonal - Conjunto Ortonormal

329

5.5.

Teorema

333

5.6.

Corolario

333

5.7.

Proceso de Ortogonalidad de GRAM - SCHMIDT

335

5.8.

Corolario

338

5.9.

Definición

339

5.10.

Teorema

339

5.11.

Ejercicios Propuestos

342

CAPÍTULO VI 2 -.V i)2 + ( * 2 - * l ) 2 Demostración

,Z j)

y p2

4

Eduardo Espinoza Ramos

Sea a = P ^ 2 un vector de origen pj y extremo /

,

/

P2, entonces: i

■ a = p ,/>2 = p 2 ~p¡ = (x2 ~ x , , y 2 - y l , z 2 - z l ) —>

p,v V .T .K

por lo tanto la longitud del vector a es:

Y ¿ ( a >/»2 ) = I I a I! = V ¿ * 2 - *i )2 + ( ^ 2 - > ' i ) 2 + < z 2 - z i ) 2

Ejemplo.- Hallar la distancia entre los puntos rv. (- 1,-2,2) y p 2 (2,4,- 1) Solución Sea

-» a = p xp 2 = p 2 - p x = (2,4,- i ) - ( - 1 , - 2 , 2 ) = (3,6,-3)

d ( p x, P 2) = IU II = \¡32 +62 + (-3 )2 =V 9 + 3d+9 = >/54 d ( p l , p 2) = 3y¡6 Ejemplo.- Demostrar que los puntos pj (-2,4,-3), p 2 (4,-3,-2) y p 3 (-3,-2,4) son los vértices de un triángulo equilátero.

Soliición Los puntos pi , p 2 y P3 son los vértices de un triángulo equilátero si: d(pi,p2) ~ d(pi,p3) = d(p2, p3), ahora calculando cada una de las distancias: ^(P1.P 2 ) = V ( 4 - ( - 2 ) ) 2 + ( - 3 - 4 ) 2 + ( - 2 - ( - 3 ))2 = V36 + 4 9 + l= V 8 ó

d( p l 5p 3) = V ( - 3 - ( - 2 ))2 + ( - 2 - 4 ) 2 + (4 - (-3 )) 2 = V í+36 + 49 = Vs 6

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional

5

/(-3 - 4 ) 2 + (-2 - (-3 » 2 + (4 - (- 2 » 2 = V49 + 1+ 36 = V 86 Como las distancias son iguales, entonces los puntos pi , p2 y P3 son los vértices de un triángulo equilátero.

1.3.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO SEGÚN UNA RAZÓN DADA____________________ __________ TEOREMA.-

Si los puntos pi (xi ,yi ,z0 y p2 (x 2 ,y2 ,z2) son los extremos de un segmento dirigido

pjp2 ;

las coordenadas de un

punto p(x,y,z) que divide al segmento pjp^ en la Razón r = pjp + pp2 es: y \ +ry2 ' g - z ,+ r r 2 x _ —-----i ' y = ,----------, r 1+ r 1+ r 1+ r

* -1

Demostración Del gráfico se tiene: P j p / / pp 2 => 3 r eR

P2(x2,y2,Z2) tal

P(x,y,z) p i( x i>yvz iJ

o

que: P i P = r PP2 > de donde p - /?, = r( / ? 2 - p) al despejar p se tiene: 1 p_ ^ + jp^ ) ahora reemplazamos por 1+ r —► sus coordenadas respectivas:

Y ( x ,y , z) =

-

^1+^2 (x ,y, z) = (— ¡ 1+ r

);l + 0 ;2 zl + rz2s i, i ------------------- ), por igualdad se tiene: 1 + r 1+ r

jCj + nr2

1+r

>y\>Z\) + r( x2 , y 2 ,z 2))

y = -y \ + r y 2 1+r

z=• 1

+r

r * -l

6

Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son (5,-1,7) y (-3,3,1)

Solución P,(5.-1,7)

P2(-3,3,1)

------------ i —

..........................--------------- -------

A

-- -----.............. —

.

B

Calculando las coordenadas del punto A se tiene: p,A PjA 1 r= * = = - = r = entonces r = VL por lo tanto se tiene: Ap 2 2pjA 2 5 + ±(-3> - —

,

- l + ± eos0 = - PoP % II PoP II!! a I! además sen# =

d(P,L) Wp o p W

de donde

d{ P, L) =|| p 0p || senB

d 2 (p,L)=\\ p 0p\\2 sen29 = \ \ p 0p \ \ 2 (1 - c o s 2 9)

=I|— ||2 ( ,„

j y

r

!IP » P lñ la ||2

«a»’

llPo/’ lñl a I!2 -{PoP-*)2

d(p,L) =

Vll.PbPiriiair-CPo^-a)' lia |i

Ejemplo.- Hallar /

11}

la

distancia

>>-f2

del

punto

P(3,l,-2)

a

la

recta

r +1 Solución

Escribimos la recta en forma vectorial:

L = {(-1,--2,-1") + t( 1,1,1) / 1 e R¡

llfl>/>ll2||a || ~(PoP-a )2 La d(p,L) es dada por: d{p,L) = ¡

donde

p 0 (-1,-2,-!) y p(3,l-2) entonces

pQp

~ (4,3,-1),^ =(1,1,1),

21

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional

1.16.

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA.Consideremos una recta L ]- { p 0 4-í ai t e R } y un punto p, que no pertenece a la recta L Entonces la proyección ortogonal del punto p sobre la recta L es el punto A de la recta L, al cual denotaremos proypL de tal manera que el vector AP sea ortogonal a la recta L. Observando el gráfico se tiene: P0A = proy[':P de donde A - P 0 - proy¡;h a

a

a

A = proy'l = p 0 + p r o y p a

Ejemplo.- Hallar la proyección ortogonal del punto

P(2,-l,3) sóbrela

recta L = {(0,-7,2) + t (3,5,2) / 1 e R Solución A = Pq + proyp'p , donde p0p ~ (2,6,1) a

A = (0 -7 ,2 ) +

(2.6,1).(3,5,2) 1 -------- .(3,5,2) 38

22

Eduardo Espinoza Ramos 6 + 30+2 A - (1,1,1 ).(a,b,c) = 0 => a + b + c = 0

eóme L

a+b+c=0 Sea p e L Si p e L entonces:

a

...(1)

L¡ en ton ces p e L a p e L¡ de donde p (-l + t , - 2 + t , -1 + t ) , p e L] :=> p(3 + l a , 1 + /„b, -2 + Xc),

(-1 + i, -2 + t, -1 + t) = (3 + /.a, 1 + Ab, -2 + / c) de donde: —1. -t-1 —3 + Xa - 2 + t = \ + Áb - \ + t = -2 + Ac

-5 A=a-c 1 Á = -

b -a entonces a -c

b-a

c = 5b - 4a

... (2 )

23

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional de (1) y (2) se tiene:

a = 2b. c = -3b, (a,b,c) = (2b„ K-3h) = b(2J,-3)

por lo tanto la recta pedida es: ©

L = {(3,1,-2) + X (2 J ,-3) / X e R}

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-3,4) y es perpendicular x +2 y - 3 z +2 a cada una de las rectas L , : ----- - - 1—— - — , y 2 - 1 5 x-3 2y-7 3 -z L2: 1 2 -3 Solución A las ecuaciones dadas escribiremos en forma vectorial L] = {(-2,3,-2) + 1 (2,-1,5) / t e R } , y

L2 = {(3,7/2,3) + >- (1,1,3) / * e R}.

Sea L la recta pedida que pasa por el punto (3,-3,4) es decir: L = {(3,-3,4) + P (a,b,c) / P € R} como L _L L i , L2 entonces (a,b,c) _L (2,-1,5),(1,1,3) entonces í(2 ,-l,5 .(a ,6 ,c ) = 0 l(l,l,3 ).(a,6 ,c) = 0 3a a dedonde c = - — , b = —, 8 8

Í2a-¿>-t-5c = 0 ^

\ a + b + 3c = 0 a 3a a { a , b , c ) - { a , ~ - — ) = —(8,1-3) 8 8 8

L = {(3 ,-3,4) + 1 ( 8 ,1,-3) / 1 e R¡ ©

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(-l ,2,-3) es perpendicular x -1 y + 1 z —3 a! vector a -(6,-2,-3) y se corta con la recta L , : — — ------ - -----3 2 - 5 Solución

24

Eduardo Espinoza Ramos 'Escribiendo a la recia x ~~1 3

y + 1 z-3

en fon na vectorial

2

se tiene: L = {(1,-1,3) + t(3,2,~5)/t Sea p e Li

a

g

L => p e L¡

R} a

P e L.

Si p € Lj ==> p(l + 3t, -1 + 2t, 3 - 5t) para algún t e R como b = MP = P-M = (3t + 2, 2t - 3, -5t + 6 ) además

— > a

— *— > => a .ó =0 => (6,-2,-3).(3t + 2, 2t - 3, -5t +6)=0

6(3t + 2) - 2(2t - 3) - 3(-5t + 6 ) = 0

=>

t = 0, 6 = (2,-3,6 )

por lo tanto: L={(-l,2,-3) + 1 (2,-3,6 ) / t e R}

©

Dados los puntos A (3,1,1) y B (3,-2,4). Hallar el punto C de la recta L = { (l,-l,l) + t ( l ,l ,0 ) / t e R} tal que Z ( AB, AC) = 60" Solución Sea C e L => C(1 + t , -1 + t, 1) -» -» ->• ■-* A B .A C =|| AB mi AC || eos60°, —> —> AB = (0,-3,3), /íC = ( f - 2 , / - 2 , 0 ) || ZB||= 9 + 9 = 3 2 J 9 + 9 > IMC(|= 2 ( /- 2 ) 2 = 2 t - 2

donde

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional

25

—> —^ ^ Como AB .AC =|| AB\\\\AC || eos60° , reemplazando: 6 - 3 1 = 3>/2.V 2 11 ~ l \ — => | t - 2 | = 2 - 1 de donde t - 2 < 0 como t < 2 2 entonces C(1 + t, -1 + t, 1), para t < 2. ®

Una recta pasa por el punto p( 1,1,1) y es paralela al vector a = (1,2,3), otra recta pasa por el punto Q(2,l,0) y es paralela al vector b = (3,8,13). Demostrar que las dos rectas se cortan y determinar su punto de intersección. Solución Sean L, = {(1,1,1) + 1 (1,2,3) / t e R} y L 2 = {(2,1,0)+A, (3,8,13) / i e R } . Las rectas Lt y L 2 se cortan si y solo si 3 P0 tal que P() e Lj a L2 como Pq € Lj

A L2

Si P q g L¡

P0 e Lj A

P0 E L 2

=> Po ( 1 + t, 1 + 2 t , 1 + 3 t )

P0 G L 2 => Po (2 + 3X, 1 + 8 )1, 13A,) como Po es punto común a Lj y L 2 entonces: (1 + 1, 1 + 2t, 1+ 3t) = (2 + 3X, 1 + 8 X, 13X) 'l + t = 2 + 3A < 1+ 2í ~ 1 + SA resolvien d o el sistem a se tiene t= 4, X^ 1 1+ 3 / - 1 3 a L uego el punto de in tersección es P0 (5 ,9 ,1 3 )

@

Dadas las rectas L,= {(3.1,0) + t (1,0,1 ) / 1 e R} y L2={(I,1,1 )+X (2 , 1,0 )/?,eR¡. Hallar el punto Q que equidista de am bas rectas una distancia mínima, además hallar ésta distancia.

26

Eduardo Espinoza Ramos Solución

B

b = (2,1,0).

Sea A e L ¡ => A (3 + t, 1, t), B e L2 —^ B(1 + 2X, 1 + X, 1), AB=B-A=(2A~t-2y A, 1-í)

Q

^

►

a 1 AB => a . AB = 0 , (1,0,1 ).(2¡U-2,A., 1-t)=0, a =(1,0,1) de donde

2 X - 2t - 1 = 0

—^ ^~ b ±AB=> b. AB=0 => (2,1,0).(2X - 1 - 2, X, 1 - 1) - 0 => 5X - 2t - 4 = 0 ... (2) Í 2 /i-- 2 í - l = 0 formando el sistema de ( 1) y (2 ) se tiene:

5 /1 - 2 /- 4 = 0

resolviendo el sistema se tiene t = —, A= 1 2 como Q es punto equidistante de A y B entonces Q{

yl + fi 2

13 3 3 ) = Q(— ) 4 2 4

1 41 La distancia mínima d - ~~d(A, B) = — . 2 4

©

Dadas ias tres rectas

L¡ - {(1,1,2) + t (1,2,0) / t e R} L2 = {(2 ,2 ,0 ) + A,(1,- 1, 1) / A € R } . L3 = {(0,3,-2) + r (5,0,2)/ r e...