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UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MEXICOMATERIA:Calculo VectorialPROFESOR:Brenda Angelica Arteaga RosalesTEMA:U2 Funciones Vectoriales De Variable Real Actividad 4 EjerciciosALUMNOS:Iván Raziel Santana Flores Fátima Estefanía Diaz Ceniceros Rosa Patricia Macias Valenzuela Luis Fernando Sánchez Hernández Gabr...

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UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MEXICO MATERIA: Calculo Vectorial

PROFESOR: Brenda Angelica Arteaga Rosales

TEMA: U2 Funciones Vectoriales De Variable Real Actividad 4 Ejercicios

ALUMNOS: Iván Raziel Santana Flores Fátima Estefanía Diaz Ceniceros Rosa Patricia Macias Valenzuela Luis Fernando Sánchez Hernández Gabriela Georgina Quintero Sánchez Jonathan Rigoberto Hernández Jiménez

ENTREGA: 16/Agosto/2021

ACTIVIDAD IV: EJERCICIOS 1. Con base en el material consultado en la unidad resuelvan en equipo de dos o tres personas los siguientes ejercicios propuestos aplicando los conocimientos sobre: Diferenciación Derivadas parciales y de orden superior Derivación parcial implícita Diferenciales Regla de la cadena para varias variables Derivadas direccionales y gradientes, divergencia y rotacional, interpretación geométrica y física  Extremos de funciones de dos variables  Multiplicadores de Lagrange      

Ejercicios 1. Diferenciales

Revisa la Página 141 y resuelve los ejercicios 1, 2, 5, 6 y 9

Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?p age=1 Colección E-Libro Pórtico UVM

En los ejercicios 1 a 4 verifique la regla de la suma para matrices de derivadas (es decir, la parte1 de la posición 4.1) para cada par de funciones dadas. 𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙𝒚) + 𝒚𝟐

1. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚 + 𝒄𝒐𝒔𝒙, 𝐷𝑓 = [𝑦 − 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑥]

𝐷𝑔 = [𝑦 cos 𝑥𝑦, 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 + 3𝑦 2 ]

𝐷(𝑓 + 𝑔) = [𝑦 − 𝑠𝑖𝑛 + 𝑦 cos 𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 3𝑦 2 ] = 𝐷𝑓 + 𝐷𝑔

𝒈(𝒙, 𝒚) = (𝑰𝒏(𝒙𝒚), 𝒚𝒆𝒙)

2. 𝒇(𝒙, 𝒚) = (𝒆𝒙+𝒚 , 𝒙𝒆𝒚 ), 𝑥+𝑦 𝐷𝑓 = [𝑒 𝑦 𝑒

𝐷(𝑓 + 𝑔) = [

𝑒 𝑥+𝑦 ] , 𝑥𝑒 𝑦

𝑒 𝑥+𝑦 +

𝑦

𝑥𝑦 𝑒 𝑦 + 𝑦𝑒 𝑥

𝑦 𝑥𝑦 𝐷𝑔 [ 𝑦𝑒 𝑥

𝑥 𝑥𝑦] = 𝐷𝑓 + 𝐷𝑔 𝑥𝑒 𝑦 + 𝑒 𝑥

𝑒 𝑥+𝑦 +

𝑥 𝑥𝑦] 𝑒𝑥

Verifique el producto y las reglas del cociente (proposición 4.2) para los pares de funciones dadas en los ejercicios 5 a 8.

𝒙

𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝒚

5. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 𝒚 + 𝒚𝟐 ,

𝑦4 𝑓(𝑥, 𝑦 ) = 𝑥𝑦 2 + 𝑥 𝑔(𝑥, 𝑦)

𝑓(𝑥, 𝑦 )𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 2 ,

𝑥 1 𝐷𝑔 = [ , − 2 ] 𝑦 𝑦

𝐷𝑓 = [2𝑥𝑦, 𝑥 2 + 3𝑦 2 ],

𝐷(𝑓𝑔) = [3𝑥 2 + 𝑦 2 , 2𝑥𝑦]

1 𝑥 𝑥 𝐷(𝑓𝑔) = ( ) [2𝑥𝑦, 𝑥 2 + 3𝑦 2 ] + (𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2 ) [ , − 2 ] = 𝑔𝐷𝑓 + 𝑓𝐷𝑔 𝑦 𝑦 𝑦 𝑓 𝑦4 4𝑦 2 ] 𝐷 ( ) = [𝑦 2 − 2 , 2𝑥𝑦 + 𝑥 𝑔 𝑥

𝑥 1 −𝑥 ( ) [2𝑥𝑦, 𝑥 2 + 3𝑦 2 ] − (𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2 ) [ , 2 ] 𝑓 𝑔𝐷𝑓 − 𝑓𝐷𝑔 𝑦 𝑦 𝑦 𝐷( ) = = 𝑔2 𝑔 𝑥2 𝑦2

6. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒆𝒙𝒚,

𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝐬𝐢 𝐧 𝟐𝒚

𝑓(𝑥, 𝑦 )𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑛 2𝑦,

𝐷𝑓 = [𝑦𝑒 𝑥𝑦 , 𝑥𝑒 𝑥𝑦 ],

𝑒 𝑥𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑦

𝐷𝑔 = [𝑠𝑖𝑛 2𝑦, 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑦 ]

𝐷(𝑓𝑔) = [𝑠𝑖𝑛2𝑦(𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦 ), 𝑥(𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑛 2𝑦 + 2𝑒 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝑦)]

𝐷(𝑓𝑔) = 𝑥𝑠𝑖𝑛 2𝑦[𝑦𝑒 𝑥𝑦 , 𝑥𝑒 𝑥𝑦 ] + 𝑒 𝑥𝑦 [𝑠𝑖𝑛 2𝑦, 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑦] = 𝑔𝐷𝑓 + 𝑓𝐷𝑔

𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑛2𝑦 − 𝑒 𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑛2𝑦 𝑥 2 𝑒 𝑥𝑦 si n 2 𝑦 − 2𝑥𝑒 𝑥𝑦 co s 2 𝑦 𝑓 , ] 𝐷( ) = [ 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 2𝑦 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 2𝑦 𝑔

𝑓 𝑔𝐷𝑓 − 𝑓𝐷𝑔 𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑦[𝑦𝑒 𝑥𝑦 , 𝑥𝑒 𝑥𝑦 ] − 𝑒 𝑥𝑦 [𝑠𝑖𝑛2𝑦, 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑦] 𝐷( ) = = 2 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2𝑦 𝑔 𝑔2

Para las funciones dadas en los ejercicios 9 a 17 determine todas las derivadas parciales de segundo orden (inclusive las mixtas).

9. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟑 𝒚𝟕 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 − 𝟕𝒙𝒚 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 𝑦 7 + 3𝑦 2 − 7𝑦,

𝑓𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦 7

𝑓𝑦𝑥 = 21𝑥 2 𝑦 6 + 6𝑦 − 7

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 7𝑥3 𝑦 6 + 6𝑥𝑦 − 7𝑥

𝑓𝑥𝑦 = 21𝑥 2 𝑦 6 + 6𝑦 − 7

𝑓𝑦𝑦 = 42𝑥 3 𝑦 5 + 6𝑥

Ejercicios 2. Derivadas parciales y de orden superior

Revisa las Página 131 y 132 y resuelve los ejercicios 1-17 (sólo los múltiplos de 3)

Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?p age=1 Colección E-Libro Pórtico UVM

𝟑. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝒚 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝒚 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑(𝑥𝑦) 𝑑 cos 𝑥𝑦 𝑑(𝑥𝑦) 𝑑 sin 𝑥𝑦 )( )( ) )+( =( 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 cos 𝑥𝑦 + 𝑦 − sin 𝑥𝑦 𝑑𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 cos 𝑥𝑦 − y sin 𝑥𝑦 𝑑𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑(𝑥𝑦) 𝑑 cos 𝑥𝑦 𝑑(𝑥𝑦) 𝑑 sin 𝑥𝑦 )( )( ) )+( =( 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 cos 𝑥𝑦 + 𝑥 − sin 𝑥𝑦 𝑑𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 cos 𝑥𝑦 − 𝑥 sin 𝑥𝑦 𝑑𝑥

6. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝑰𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑑𝐼𝑛(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑥 = (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 (𝑥 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑥 =

𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐼𝑛(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 = = (𝑥 2 + 𝑦2 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) 2𝑦 = 2 (𝑥 + 𝑦2 ) 𝑑𝑦

9. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒆𝒚 + 𝒚 𝐬𝐢𝐧(𝒙𝟐 + 𝒚)

𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑 𝑥𝑒 𝑦 + 𝑦 sin 𝑥 2 + 𝑦 𝑑𝑥𝑒 𝑦 𝑑 𝑦 sin 𝑥 2 + 𝑦 = = + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 + 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦 ) 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑒 +𝑦( ) cos 𝑥 2 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑦 + 2𝑥𝑦 cos 𝑥2 + 𝑦 𝑑𝑥

𝑦 sin 𝑥 2 + 𝑦 𝑑 𝑥𝑒 𝑦 𝑑 𝑦 sin 𝑥 2 + 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑥𝑒 𝑦 + = + 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 + 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) (sin 𝑥 2 ) + 𝑦 + cos 𝑥 2 + 𝑦 =𝑥 𝑒 + 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑦 + sin 𝑥 2 + 𝑦 + cos 𝑥 2 + 𝑦 𝑑𝑦

12. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒚𝒛

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑 𝑥𝑦𝑧 = 𝑦𝑧 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑 𝑥𝑦𝑧 = = 𝑥𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑 𝑥𝑦𝑧 = = 𝑥𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑧

15. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥

= = = = = =

𝒙+𝒚+𝒛

(𝟏+𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐 )𝟑/𝟐

𝑥+𝑦+𝑧 𝑑 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2 = 𝑑𝑥

(1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3 (2) (

𝑑𝑥+𝑦+𝑧 (𝑑1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧2 )3/2 )−𝑥+𝑦+𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 2 2 3/2 (1 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )

3 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3 2 − 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ( 2) 1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ¹2(2𝑥) (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )

(1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3 2 − 𝑥 + 𝑦 + 𝑧(3𝑥)(1) + 1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 1, 2 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3 2 − 3𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 3𝑥𝑧(1) + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 1,2 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2 1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )1 2[1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 3𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 3𝑥𝑧] (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2 1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 3𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 3𝑥𝑧 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 1 − 2𝑥 2 − 3𝑥𝑦 − 3𝑥𝑧 + 𝑦 2 + 𝑧2 = (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2 𝑑𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑑𝑦 = = = = =

𝑑

𝑥+𝑦+𝑧 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2 𝑑𝑦

(1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3 (2) (

𝑑𝑥+𝑦+𝑧 (𝑑 1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2 )−𝑥+𝑦+𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑦 2 2 2 3/2 (1 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )

3 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3 2 − 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ( 2) 1 + 𝑥 2 +𝑦 2 + 𝑧 2 ¹ 2(2𝑦) (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2

(1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3 2 − 𝑥 + 𝑦 + 𝑧(3𝑦)(1) + 𝑥 2 +𝑦 2 + 𝑧 2 ¹ 2 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2

(1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3 2 − 3𝑥𝑦 + 3𝑦² + 3𝑦𝑧(1) + 𝑥 2 +𝑦 2 + 𝑧 2 ¹ 2 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2

(1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )1 2[1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 3𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 3𝑦𝑧] (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2

=

1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 3𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 3𝑦𝑧 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 1 + 𝑥 2 − 3𝑥𝑦 − 2𝑦 2 − 3𝑦𝑧 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑑𝑦 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3/2

Ejercicios 3. Derivadas implícitas

Revisa la Página 913 y resuelve los ejercicios 47 y 49

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu lo3/stewart.pdf

47. 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝟑𝒛𝟐 = 𝟏

𝜕 2 𝜕 𝜕 𝜕 (1) (𝑥 + 2𝑦 2 + 3𝑥 2 ) = (1) (𝑥 2 + 2𝑦 2 + 3𝑥 2 ) = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2𝑥 + 0 + 6𝑧

6𝑧

𝜕𝑧 =0 𝜕𝑥

𝜕𝑧 = −2𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝑧 −2𝑥 𝑥 = =− 𝜕𝑥 6𝑧 3𝑧

𝜕𝑧 0 + 4𝑦 + 6𝑧 = 0 𝜕𝑦 𝜕𝑧 6𝑧 = −4𝑦 𝜕𝑦

𝜕𝑧 −4𝑦 2𝑦 =− = 3𝑧 6𝑧 𝜕𝑦

49. 𝒆𝒛 = 𝒙𝒚𝒛

𝜕 𝑧 𝜕 𝜕 𝜕 (𝑥𝑦𝑧) (𝑒 𝑧 ) = (𝑥𝑦𝑧) (𝑒 ) = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑒𝑧

𝑒𝑧

𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 = 𝑦 = 𝑦 (𝑥 + 𝑧) 𝑒 𝑧 = 𝑥 (𝑦 + 𝑧) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦

𝜕𝑧 𝜕𝑧 − 𝑥𝑦 = 𝑦𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥

(𝑒 2 − 𝑥𝑦)

𝜕𝑧 = 𝑦𝑧 𝜕𝑥

𝜕𝑧 𝑦𝑧 = 2 𝜕𝑥 (𝑒 − 𝑥𝑦)

𝜕𝑧 𝑒 2 𝜕𝑧 − 𝑥𝑦 = 𝑥𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑦

𝜕𝑧 𝑥𝑧 = 2 𝜕𝑦 (𝑒 − 𝑥𝑦)

𝜕𝑧 𝑥𝑧 = 2 𝜕𝑦 (𝑒 − 𝑥𝑦)

Ejercicios 4. Regla de la cadena para funciones de dos variables

Revisa la Página 930 y resuelve los ejercicios del apartado 7-12: 7, 9 y 11

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu lo3/stewart.pdf

Ejercicios 5. Derivadas direccionales y gradientes Resuelve los ejercicios de cálculo de gradiente de las siguientes funciones (Páginas 983 y 984):

Ejemplos extraídos de: Leithold, Lois, (1998) El cálculo con geometría analítica [Archivo PDF]. Recuperado de https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf

Ejercicios 6. Rotacionales y divergencias Resuelve los ejercicios de cálculo de gradiente de las siguientes funciones (Página 1089):

Ejemplos extraídos de: Leithold, Lois, (1998) El cálculo con geometría analítica [Archivo PDF]. Recuperado de

Ejercicios 7. Extremos de funciones de dos variables (máximos y mínimos)

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu lo3/stewart.pdf

Revisa la Página 954 apartado 5-18 y resuelve los ejercicios: 5, 7, 9 y 13

EJERCICIO 5

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 𝑦 𝑓𝑥 = 2𝑥 + 𝑦

𝑓𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 + 1

𝑓𝑥𝑥 = 2

𝑓𝑥 = 0 =

𝑓𝑦 = 𝑥 + 2(−2𝑥) + 1 = 0

𝑓𝑥𝑦 = 1

𝑦 = −2𝑥

1 𝑦 = −2𝑥 = −2 ( ) 3

𝑓𝑦𝑦 = 2

− 3𝑥 = −1 𝑦=−

2 3

𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦 )2 = (2)(2) − (1)2 = 3 1 2 𝐷 ( ,− ) = 3 > 0 3 3

1 2 1 𝑓( ,− ) = − 3 3 3 1 2 ( ,− ) 3 3

1 2 𝑓𝑥𝑥 ( , − ) = 2 > 0 3 3 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙

𝑢𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜

𝑥=

1 3

EJERCICIO 7

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)(1 − 𝑥𝑦)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦 − 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2

𝑓𝑥 = 1 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2

𝑓𝑥 = 0

𝑓𝑥𝑥 = −2𝑦

𝑓𝑦 = −1 − 𝑥 2 + 2𝑥𝑦

𝑓𝑥𝑦 = −2𝑥 + 2𝑦

0 = 1 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2

0 = 1 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 1 − 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 𝑠𝑖

𝑓𝑦 = 0

𝑦 =±𝑥

0 = −1 − 𝑥2 + 2𝑥𝑦

0 = 𝑦 2 − 𝑥2

𝑦 =−𝑥

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑦= 𝑥

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑓𝑥 = 0 = 1 − 2𝑥(−𝑥) + (−𝑥)2 𝑠𝑖

𝑓𝑦𝑦 = 2𝑥

𝑓𝑥 = 0 = 1 − 2𝑥(𝑥) + (𝑥)2

0 = 1 + 2𝑥2 + 𝑥 2

3𝑥2 = 1

0 = 1 − 2𝑥 2 + 𝑥 2

𝑥=±1

𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2

𝑦 2 = 𝑥2

(1 , 1)

(−2(1))(2(1)) − (((−2(1)) + ((2(1)))

𝑥2 = 1

2

𝐷(𝑥, 𝑦) = (−2)(2) − 0 = −4 < 0

𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2

(−1 , − 1)

(−2(−1))(2(−1)) − (((−2(−1)) + ((2(−1))) 𝐷(𝑥, 𝑦) = (2)(−2) − 0 = −4 < 0

(1 , 1) 𝑦 (−1 , − 1) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠

2

EJERCICIO 9

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 3 + 3𝑥 2 𝑦 − 6𝑥 2 − 6𝑦 2 + 2 𝑓𝑥 = 6𝑥𝑦 − 12𝑥

𝑓𝑦 = 3𝑦 2 + 3𝑥 3 − 12𝑦

𝑓𝑥𝑥 = 6𝑦 − 12 𝑓𝑥 = 0

𝑓𝑥𝑦 = 6𝑥

0 = 6𝑥(𝑦 − 2) 𝑠𝑖

𝑓𝑦 = 0

(0,0) 𝑓𝑦 = 0

𝑠𝑖

𝑥=0

𝑓𝑦𝑦 = 6𝑦 − 12 𝑦=2

𝑥 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

0 = 3𝑦(𝑦 − 4)

(0,4) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

0 = 3(2)2 + 3𝑥 3 − 12(2)

12 + 3𝑥 3 − 24 = 0

𝑥=±2

(± 2,2)

𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦 ) 2

(6𝑦 − 12)(6𝑦 − 12)- (6(0))2

(0,0)

𝐷(𝑥, 𝑦) = (−12)(−12) − 0 = 144 > 0 𝑓𝑥𝑥(0,0) = −12 > 0

𝑓(0,0) = 2 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦 ) 2

(0,4)

(6(4) − 12)(6(4) − 12) − (6(0))2

𝐷(𝑥, 𝑦) = (12)(12) − 0 = 144 > 0 𝑓𝑥𝑥(0,4) = 12 > 0

𝑓(0,4) = −30 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦 ) 2

(± 2,2)

(6(2) − 12)(6(2) − 12) − (6(2))2 2

𝐷(𝑥, 𝑦) = (0)(0) − (6(±2)) = −144 < 0 𝑓𝑥𝑥(0,4) = 12 > 0

( 2,2) 𝑦 (−2,2) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎

𝑥2 = 4

EJERCICIO 13

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦

𝑓𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦

𝑓𝑥 = 0

𝑐𝑜𝑠𝑦 = 0

𝑓𝑦 = −𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑜

𝑦=

𝜋 + 𝑛𝜋 2

𝜋 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑒𝑛 ( + 𝑛𝜋) ≠ 0, 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 2 Ejercicios 8. Multiplicadores de Lagrange Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu lo3/stewart.pdf

Revisa la Página 963 apartado 3-14 y resuelve los ejercicios: 3, 5, 6 y 11

EJERCICIO 3

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦 2 ; 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔

𝜆=

EJERCICIO 5 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 − 𝑥 2 , 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔

𝑥𝑦 = 1

(2𝑥, 2𝑦) = (𝜆𝑦, 𝜆𝑥) 2𝑥 𝑦

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 2𝑥 = 𝜆𝑦

𝑥≠0 𝑦≠0

2𝑦 = (

2𝑥 )𝑥 𝑦

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑦 2 = 𝑥2

2𝑦 = 𝜆𝑥

𝑥𝑦 = 1

𝑦 = ±𝑥 = ±1

(1,1) 𝑦 (−1, −1) 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓 𝑓(1,1) = 𝑓(−1, −1) = 2

1 2 𝑥 + 𝑦2 = 1 4

1 (−2𝑥, 2𝑦) = ( 𝜆𝑥, 2𝜆𝑦) 2 𝑥(4 + 𝜆) = 0

𝑠𝑖 𝑥 = 0

𝑠𝑖 𝜆 = −4

𝑠𝑖 𝑦 = 0

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 2𝑥 =

𝑥=0

𝑜

𝑦 = ±1

𝜆 = −4

1 𝜆𝑥 2

2𝑦 = −8𝑦 𝑥 = ±2

(0, ±1) 𝑦 (±2,0) 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓 𝑓(0, ±1) = 1 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜

𝑓(±2,0) = −4 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜

2𝑦 = 2𝜆𝑦

EJERCICIO 6 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦 , 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔

𝑥 3 + 𝑦 3 = 16

(𝑦𝑒 𝑥𝑦 , 𝑥𝑒 𝑥𝑦 ) = (3𝜆𝑥 2 , 3𝜆𝑦 2 ) 𝜆=

𝑥=𝑦=2

𝑦𝑒 𝑥𝑦 3𝑥 2

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦𝑒 𝑥𝑦 = 3𝜆𝑥 2 𝑥𝑒 𝑥𝑦 = 3𝜆𝑦 2

𝑥3 = 𝑦3

2𝑥 3 = 16

(2,2)

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜

𝑓(2,2) ≈ 54.6 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜

EJERCICIO 11

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ; 𝑥 4 + 𝑦 4 + 𝑧 4 = 1 𝛻𝑓 = (2𝑥, 2𝑦, 2𝑧), 𝐶𝑎𝑠𝑜 1

𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0, 𝑧 ≠ 0

𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔 𝜆 =

(± 𝐶𝑎𝑠𝑜 2

𝜆𝛻𝑔 = 4𝜆𝑥 3 + 4𝜆𝑦 3 + 4𝜆𝑧 3

1 1 1 = = 2 2 2 2𝑥 2𝑦 2𝑧

3𝑥 4 = 1

𝑜

𝑜

1 𝑥 = ±4 √3

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 4 , 4 ) , (± 4 , − 4 , 4 ) , (± 4 , 4 , − 4 ) , (± 4 , − 4 , − 4 ), √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 1

4

𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓 √3

𝑠𝑖 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜, 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎 𝐶𝑎𝑠𝑜 3 𝑠𝑖 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑎 ± 1 𝑒𝑛

𝑥4 + 𝑦 4 + 𝑧4 = 1

𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑓 𝑒𝑠 √3 𝑦 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 1.

2. Escribe una conclusión sobre la utilidad de las funciones vectoriales de variable real para la solución de problemas de derivación y cálculo vectorial.

Las funciones vectoriales usan vectores para describir formas. Una curva espacial o plana está formada por una serie de puntos. Cada punto es el final de cada vector desde el origen. Hay un número infinito de vectores. Como otras funciones, las funciones vectoriales se pueden examinar utilizando cálculos diferenciales e integrales multivariadas. Las aplicaciones de la geometría incluyen longitud de arco, vectores tangentes, curvas normales y curvatura. En aplicaciones físicas y de ingeniería, usamos vectores para estudiar el movimiento de partículas a lo largo de una curva llamada movimiento curvilíneo.

3. Procura compartir y revisar el procedimiento y resultados de cada ejercicio realizado en equipo e integrarlos en este mismo documento para su envío al docente. 4. Al finalizar esta actividad, vuelve a la plataforma y sigue los pasos que se indican para enviar tu trabajo.

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