Actividad 6 FORO DE TRABAJO CALCULO VECTORIAL PDF

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ACTIVIDAD 6: FORO DE TRABAJO Integrable dobleLa integral doble se soluciona por medio de dos integrales estas se les llama integrales iteradas: esto quiere decir que si f es integrable en R = (a,b) x (c,d).Se puede interpretar entonces la integral iterada como un proceso sucesivo de integración de ...

Description

ACTIVIDAD 6: FORO DE TRABAJO 

Integrable doble

La integral doble se soluciona por medio de dos integrales estas se les llama integrales iteradas: esto quiere decir que si f es integrable en R = (a,b) x (c,d). Se puede interpretar entonces la integral iterada como un proceso sucesivo de integración de la siguiente manera:

Al evaluar la integral doble por medio de integrales iteradas llegamos al Teorema de Fubini: "Sea f una función continua en una región R cerrada y acotada, entonces"

Lo anterior muestra que el valor de la integral doble es independiente del orden elegido para calcular las integrales iteradas. Si se integra primero la variable interna dejando constante la otra y luego la externa el resultado no será alterado.



Planteamiento del problema

Encuentre el volumen del sólido S acotado por el paraboloide elíptico 𝑥  + 2𝑦  + 𝑧 = 16, los planos x= 2 y y=2 y los tres planos coordenados. 

Solución

Primero se observa que S es el sólido que yace debajo de la superficie z= 16 -x2 -2y2 y arriba del cuadrado R = [0, 2] * [0, 2]. Por tanto, 



𝑉 = (16 − 𝑥 − 2𝑦  )𝑑𝐴 =   (16 − 𝑥 − 2𝑦  )𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 



 1 𝑥=2  16𝑥 − 𝑥  − 2𝑦  𝑥 𝑑𝑦 𝑥=0 3  

  

88 88 4 2 − 4𝑦   𝑑𝑦 =  𝑦 − 𝑦   = 48 0 3 3 3

En el caso especial donde f (x, y) se puede factorizar como el producto de una función de x y una función de y, la integral doble de f se puede escribir en una forma particularmente simple. Para ser específicos, suponga que f (x, y) = t(x)h(y) y R = [a, b] * [c, d]. Entonces el teorema de Fubini da: 







 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 =   (𝑔(𝑥)ℎ(𝑦))𝑑𝑥 𝑑𝑦 =  󰇩 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)𝑑𝑥 󰇪 𝑑𝑦 







En la integral interior, y es una constante, así que h(y) es una constante y se puede escribir 











  (𝑔(𝑥)ℎ(𝑦))𝑑𝑥 𝑑𝑦 =  󰇩ℎ(𝑦) 󰇧 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 󰇨󰇪 𝑑𝑦 =  𝑔(𝑥)𝑑𝑥  ℎ(𝑦)𝑑𝑦 













Puesto que es ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 una constante. En consecuencia, en este caso, la integral doble de f se puede escribir como el producto de dos integrales simples: 



(𝑔(𝑥)ℎ(𝑦))𝑑𝐴  𝑔(𝑥)𝑑𝑥  ℎ(𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 = [𝑎, 𝑏] ∗ [𝑐, 𝑑 ] 





Graficas y resultados en MATLAB

En la siguiente gráfica se muestra el resultado del volumen de la figura anterior.



ReferenciaS



Julioprofenet (Productor). (05 de Junio de 2012). Volumen Calculado con una Integral Doble

en

Coordenadas

Polares

[Archivo

de

video].

Recuperado

de

https://www.youtube.com/watch?v=xh2xtYfnVTg 

Spiegel, M., Lipshutz, S. y Spellman, D. (2011). Análisis vectorial [Archivo PDF]. Recuperado

de

https://compilandoconocimiento.files.wordpress.com/2016/12/analisisvectorialschaum.pdf 

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calculo3/stewart.pdf

¿Qué diferencias y semejanzas encuentras en cada tipo de aplicación del cálculo vectorial? En el cálculo existen diferentes tipos de funciones. Las más comunes son las funciones cartesianas, de la forma y = f(x). Por otro lado hay funciones polares, en las que la variable dependiente es un radio y la independiente, un ángulo. Pero existe otra familia de funciones, llamadas funciones vectoriales. Las funciones vectoriales son vectores en los que cada uno de sus componentes dependen de un parámetro t como variable independiente. Las funciones vectoriales describen una figura mediante vectores. Una curva en el espacio o en el plano está formada por una sucesión de puntos. Cada punto es el extremo de cada vector que proviene del origen. Hay un número infinito de vectores. Derivar una función vectorial es simple. Es similar a derivar una función de una variable. La diferencia es que se deriva cada componente del vector de la función. Sin embargo, cada derivada se hace respecto al parámetro t. Una aplicación del cálculo vectorial diferencial es en la física, específicamente en la dinámica. Una función vectorial puede representar la posición de una partícula o un objeto. La derivada de una función vectorial representa la velocidad de la partícula. La segunda derivada de la función es la función aceleración. Todas estas tres funciones dependen del parámetro t, que para este caso, es el tiempo. Como vectores, tienen magnitud, dirección y sentido. Las funciones vectoriales, por tener una parte diferencial, también poseen una parte integral. Toda función que se deriva, podría ser integrada. En este caso, la integral de una función vectorial es un vector cuya derivada es la función original.

¿Qué planteamientos se describen con la utilización de integrales dobles y triples? Algunas de las aplicaciones de las integrales dobles son en la física o la geometría, por ejemplo, en las aplicaciones geométricas encontramos el cálculo del área de una figura plana y de volúmenes sólidos en el espacio. Por otra parte, en las aplicaciones de la física tenemos, el cálculo de masa, de momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. Las aplicaciones de las integrales triples son muy similares a las aplicaciones de las integrales dobles. Sus definiciones se obtienen a partir de la triple suma se Riemman y son, por ejemplo, volúmenes de sólidos en el espacio, masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de cuerpos en el espacio.

¿A qué se refiere la denominada suma de Riemman y qué aplicación concreta tiene para el cálculo vectorial? Es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Para obtener una aproximación al área encerrada debajo de una curva, se la puede dividir en rectángulos. La integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo

como

el

área

bajo

la

curva

de

la

función.

Sea f una función con valores reales definida sobre el intervalo [a, b], tal que para todo x, f(x)≥0 (es decir, tal que f es positiva). Sea S = Sf={(x, y)0≤y≤f(x)} la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el área del dominio S, si es que se puede medir.

En el campo de la ingeniería, algunas funciones matemáticas se representan gráficamente mediante curvas que dibujan áreas irregulares bajo ellas. Dichas áreas pueden ser calculadas con el valor de una integral definida o la suma de Riemann....