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ACTIVIDAD IV:EJERCICIOSFecha: 10/04/ 2021 Nombre del estudiante Nombre del docente: Con base en el material consultado en la unidad resuelvan en equipo de dos o tres personas los siguientes ejercicios propuestos aplicando los conocimientos sobre:  Diferenciación  Derivadas parciales y de orden sup...

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ACTIVIDAD IV: EJERCICIOS

Fecha: 10/04/ 2021 Nombre del estudiante Nombre del docente: 1. Con base en el material consultado en la unidad resuelvan en equipo de dos o tres personas los siguientes ejercicios propuestos aplicando los conocimientos sobre:      

Diferenciación Derivadas parciales y de orden superior Derivación parcial implícita Diferenciales Regla de la cadena para varias variables Derivadas direccionales y gradientes, divergencia y rotacional, interpretación geométrica y física  Extremos de funciones de dos variables  Multiplicadores de Lagrange

Ejercicios 1. Diferenciales Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/3791 5?page=1 Colección E-Libro Pórtico UVM

Revisa la Página 141 y resuelve los ejercicios 1, 2, 5, 6 y 9

En los ejercicios 1 a 4 verifique la regla de la suma para matrices de derivadas (es decir, la parte 1 de la proposición 4.1) para cada par de funciones dadas: 1.

f (x , y )= xy +cos x , g( x , y)=sen (xy )+ x y3 Df = y−senx , x Dg=[ y cos xy , x cosxy +3 y

2

]

D ( f + g ) = [ y −senx + y cos xy , x + x cos xy +3 y ]=Df + Dg 2

2.

f ( x , y ) =( e x+ y , xe y ) , g ( x , y) = ( ¿ ( xy ) , y e x ) D (f + g)=

[

D (f + g)=

[

[ ] ]

y e x+ y e x+ y , Dg= xy y ey e x y ex

]

y xy e y + y ex

ex + y+

x xy ex

x xy =Df +Dg x ey +e x

ex + y +

Verifique el producto y las reglas del cociente (proposición 4.2) para los pares de funciones dadas en los ejercicios 5 a 8 5.a)

f ( x , y ) =x 2 y + y 3 , g ( x , y ) = f ( x , y ) g ( x , y )=x +x y , 3

2

x y

f ( x , y) y4 =x y2+ x g( x , y )

[ ]

2 2 Df =[ 2 xy , x +3 y ] , Dg =

1 −x y y2

2 2 D ( fg ) =[ 3 x + y , 2 xy ]

( xy )[ 2 x y , y +3 y ] +( x , y+ y )[ 1y , −xy ]=gDf + fDg

D ( fg ) =

2

2

2

3

2

b)

D=

()

[

4

3 y f 2 = y + 2 ,2 xy + 4 y x g x

]

x [ 2 xy , x +3 y ]− (x y + y ) 1 , −x ( ) [ y y ]= gDf −fDg y f D= ( )= g x g 2

2

2

3

2

2

2

2

y

6.- f ( x , y) =e xy , g ( x , y)=xsen 2 y f ( x , y ) g ( x , y )=x e xy sen 2 y ,

ey f (x , y ) x = g ( x , y ) xsen 2 y

Df =[ y e , x e ] , Dg =[ sen 2 y ,2 xcos 2 y ] xy

xy

xy xy xy xy D ( fg )= [ sen 2 y ( e + xye ) , x ( x e sen 2 y +2 e cos 2 y ) ] xy xy xy D ( fg )=xsen 2 y [ y e , xe ] +e [ sen 2 y , 2 xcos 2 y ]=gDf +fDg

D

D

[ ()[ ()

2 xy xy f xy e 2 sen 2 y −e xy sen 2 y x e sen 2 y −2 x e cos 2 y , = g x 2 sen2 2 y x 2 se n2 2 y

]

]

xsen 2 y [ y e xy , x e xy ]−e xy [ sen 2 y , 2 xcos 2 y ] gDf −fDg f = = g g2 x 2 sin2 2 y

Para las funciones dadas en los ejercicios 9 a 17 determine todas las derivadas parciales de segundo orden (inclusive las mixtas). 9.

f ( x , y ) =x 3 y 7 −7 xy

f x ( x , y )=3 x 2 y 7 +3 y 2−7 y , f y ( x , y )=7 x 3 y 6 +6 xy−7 x

f xx ( x , y ) =6 x y7 f xy =2 1 x 2 y 6 +6 y −7 2

6

3

5

f yx=21 x y +6 y −7 f yy =42 x y +6 x

Ejercicios 2. Derivadas parciales y de orden superior

Revisa las Página 131 y 132 y resuelve los ejercicios 1-17 (sólo los múltiplos de 3)

Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/3791 5?page=1 Colección E-Libro Pórtico UVM

En los ejercicios 1 a 9 calcule ∂f/∂x y ∂f/∂y. 3.

f (x , y )=sen xy + cos xy ∂f ∂f =2 xy + x 2 = y 2 +2 xy , ∂ y ∂x

6.

f (x , y )=ln (x 2 + y 2 ) 2y 2x ∂f ∂f = 2 2 = 2 2, ∂x x +y ∂ x x + y

9.

y 2 f ( x , y ) =xe + y sen(x + y)

∂f ∂f 2 2 2 y =e y +2 xycos ( x + y ) , =x e +sen ( x + y )+ y cos ( x + y ) ∂x ∂x 12. F(x , y , z )= xyz ∂f ∂f ∂F =xy =xz = yz ∂y ∂y ∂x 15. F ( x , y , z) =

x+ y+z 3/ 2

( 1+ x2 + y 2 + z 2)

∂ F 1−2 x 2 + y 2 + z 2−3 xy−3 xz = 5 /2 ∂x ( 1+ x 2+ y 2+ z 2 ) ∂ F 1−x 2−2 y 2 + z 2−3 xy −3 yz = 5 /2 ∂y ( 1+x 2+ y 2 + z 2) ∂ F 1−x 2+ y 2 +2 z 2 −3 xz −3 yz = 5 /2 ∂y ( 1+ x 2+ y 2+ z 2 )

Ejercicios 3. Derivadas implícitas

Revisa la Página 913 y resuelve los ejercicios 47 y 49

47.

2

2

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/c alculo3/stewart.pdf

2

x +2 y +3 z =1

  

∂ ∂ 2 ( x +2 y 2+3 y 2 )= =(1) ∂x ∂x ∂z 2 x +0+ 6 z =0 ∂x ∂z 6 z =−2 x ∂x

 

∂ z −4 y 2 y = = ∂y 6z 3 z

∂ z −2 x −x = = 6z 3z ∂x

49.

∂ ∂ 2 ( x +2 y 2 +3 y 2) = =( 1 ) ∂y ∂y ∂z 0+4 y +6 z =0 ∂y ∂z 6z =−4 y ∂y



e 2=xyz    

∂ ∂ z ( e )= ( x , y , z ) ∂x ∂x ∂z ∂z +z ez = y x ∂x ∂x ∂z ∂z = yz e z −xy ∂x ∂x ( e z ∙ xy ) ∂ z = yz ∂x

(

yz ∂z = z ∂ x ( e −xy )

)

∂ ∂ z =( e ) = = (x , y , z ) ∂y ∂y



ez

e

z

(

∂ ∂z +z =x y ∂y ∂y

)

∂z ∂z =xz =− xy ∂y ∂y

( e z −xy ) ∂ z =xz ∂y ∂z xz = z ∂ y ( e −xy )

Ejercicios 4. Regla de la cadena para funciones de dos variables

Revisa la Página 930 y resuelve los ejercicios del apartado 7-12: 7, 9 y 11

Mediante la regla de la cadena encuentre

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/c alculo3/stewart.pdf ∂z ∂z y ∂s ∂t

7. z=x 2 y 3 , x=scost , y=s sen t ∂z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + =2 x y 3 cos t +3 x 2 y 2 sent ∂s ∂ x ∂s ∂ y ∂ s ∂z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y 3 2 2 + = =2 x y sen t +3 x y cos t ∂t ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t 9. z=sen θ cos ∅ ,θ=s t2 , ∅=s 2 t ∂ z ∂ z ∂ θ ∂ z ∂∅ = ( cos θ cos ∅ ) ( t 2 ) +( −senθ sen ∅)( 2 st ) + = ∂s ∂θ ∂ s ∂∅ ∂s 2

t cos θ cos ∅−2 st sen θ sen ∅

∂ z ∂ z ∂ θ ∂ z ∂∅ = ( cos θ cos ∅ ) ( t 2 ) +( −senθ sen ∅)( 2 st ) = + ∂t ∂ θ ∂ t ∂ ∅ ∂ t 2

2t cos θ cos ∅−s senθ sen ∅

11. z=e r cosθ , r =st , θ=√ s2 +t 2 2 2 r=st ,θ=√ s + t 1

θ∗( s 2+t 2 ) 2 ( 2 s) ∂ z ∂ z ∂ r ∂ z ∂θ r r senθ∗ s =er cos θ ∙ t−er sen =t e cosθ − e = + 2 ∂ s ∂ r ∂ s ∂θ ∂ s √ s 2 +t2

(

)

s ∂z r =e t cos θ− 2 2 senθ ∂s √ s +t

1

θ∗( s 2 +t 2) 2 ( 2 s ) ∂ z ∂ z ∂ r ∂ z ∂θ senθ∗t =er cos θ ∙ s−e r sen =s er cosθ − er 2 2 = + 2 ∂t ∂ r ∂ t ∂θ ∂ t √ s +t

(

)

∂z r t =e s cos θ− 2 2 senθ ∂s √ s +t

Ejercicios 5. Derivadas direccionales y gradientes Resuelve los ejercicios de cálculo de gradiente de las siguientes funciones (Páginas 983 y 984):

Ejemplos extraídos de: Leithold, Lois, (1998) El cálculo con geometría analítica [Archivo PDF]. Recuperado de https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf

7. f x ( x , y )=8 x −3 y , f y ( x , y) =−3 x +2 y ∇f ( x , y ) =( 8 x−3 y) i+ ( −3 x+2 y ) j

8. gx ( x , y )=

y (− x 2 + y 2) (x 2+ y 2)2

g y (x , y ) =

x (x2 + y 2 ) (x 2+ y 2)2

∇g ( x , y )=

y (− x 2+ y 2) (x2 + y 2 )2

2

2

x (x + y ) i+ 2 2 2 j (x + y )

9.

gx ( x , y )= g y (x , y ) =

x 2

x + y2 y x + y2

∇g ( x , y )=

2

x y i+ 2 2 j 2 x +y x +y 2

10. f x ( x , y )=2 e y se c 2 2 x f y ( x , y )=e y tan 2 x

∇f ( x , y ) =2 e y se c 2 2 xi+ e y tan 2 xj 11. f x ( x , y , z )=

x− y −1 −x− y f (x , y , z ) = f z ( x , y , z )= 2 y x + z ( x+ z ) ( x +z ) 2

1 −x− y x− y i− k j− ∇f ( x , y ) = 2 x+z ( x+z ) ( x+ z ) 2

Ejercicios 6. Rotacionales y divergencias Resuelve los ejercicios de cálculo de gradiente de las siguientes funciones

(Página 1089):

Ejemplos extraídos de: Leithold, Lois, (1998) El cálculo con geometría analítica [Archivo PDF]. Recuperado de https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf

33.

| || |

a rot F ( x , y)=∇∗F (x , y ) = ax M ¿ F( x , y ) =∇∗F ( x , y )=

a a a ∂ ∂ = (2 x)=0 ay ax ay = =( 3 y )− ∂x ∂y N 2x 3 y

∂ M ∂N ∂ ∂ = + ( 2 x )+ ( 3 y ) =2+3 =5 ∂ x ay ∂ x ∂y

34. x cos ¿=0 a a ∂ ∂ =∇x F = ( ) ( ) ( sen y ) − ¿ rot F x , y x, y ax ay = ∂x ∂x cos x sen y

|

|

x ∂ (sen y ) =cos x −seny cos ¿+ ∂y ∂ ¿ F ( x , y ) =∇∗F ( x , y) = ¿ ∂x

37.

|

i a rot  F ( x , y , z )=∇∗  F ( x , y , z ) =∇∗F ( x , y , z )= ax M

j a ay P

||

k i a a = ax az N x2

j a ay y2

|(

k a ∂P ∂ N ∂P ∂M = i+ j+ az ∂ y ∂z ∂x ∂z z2

) (

) (

( ∂∂y z − ∂∂z y ) i−( ∂∂x z − ∂∂z x ) ^k=0

rot  F ( x , y , z )=

2

2

2

rot  F ( x , y , z )=∇∗  F( x , y , z ) =

2

∂M ∂N ∂P ∂ ∂ 2 ∂ 2 + + = y + ( z ) =2 x+ 2 y +2 z ( x) 2 + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

38.

|

i a rot  F ( x , y , z )=∇∗  F ( x , y , z )= ax xz 2

j a ay y2

|(

k a ∂ 2 ^ ∂ 2 ^ ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ y z− x z− y− = y i− xz j+ yz 2 az ∂y ∂x ∂x ∂z ∂z ∂y x2 z

) (

^ F(x , y , z )(0−0) ^i−(2 xz −2 xz ) ^j+(0−0 )k=0. rot 

∂ ∂ 2 ∂ 2 2 ¿ F ( x , y , z )=∇×  F( x , y , z ) = ( x z )+ ( y ) + ( x z )= z 2+ 2 y + x 2 ∂x ∂y ∂z

41. 2 2 2 2 2 F ( x , y , z ) =√ x + y +1 ^i+ √ x + y ^j+ z k^

|

i^ a rot  F ( x , y , z )=∇×  F ( x , y , z) = ax 2 √ x + y 2+1

^j a ay 2 √x + y2

|

^k a x− y = 2 2 k^ az √ x + y +1 2 z

a 2 a ∂ ∂ 2 x− y 2 2 z − √ x 2 + y 2 +1+ x + y +1+ z 2= 2 2 + z √ ∂y az ay ∂z √ x + y +1  ( x , y , z )=¿ rot F 42.

F ( x , y , z ,) =

x 2 2

(x +y ) 2

^ i+

y 2 (x + y2) 2

|

rot  F ( x , y , z )=∇×  F ( x , y , z )=

^j+ k^ ^i a ax

^j a ay 3 /2

( x 2 + y 2)

(x2 + y2 )

3 /2

|

^k a 3 xy−3 xy ^ = k =0 az ( x2 + y 2) 5 /2 1

) (

)

(

rot  F ( x , y , z )=

∂ ( 1) ∂ x x ^i+ ∂ ( 1) − ∂ − 3 /2 2 2 ∂ y ∂z (x +y ) ∂ x ∂ z ( x 2 + y 2 )3 /2

(

)) (

¿ F ( x , y , z )=∇×  F( x , y , z ) =

(

(

) (

∂(1) ∂ y ^j+ ∂ (1 ) − ∂ − 3 /2 − 2 2 ∂ x ∂ z (x + y ) ∂y ∂z

)) (

(

)) (

)

∂ (1) x y ∂ ∂ x2 + y 2 + + = ∂ x ( x 2+ y 2) 3/ 2 ∂ y ( x 2+ y 2 )3 / 2 ∂ x ( x2 + y 2 )5 /2

Ejercicios 7. Extremos de funciones de dos variables (máximos y mínimos) Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/c alculo3/stewart.pdf

Revisa la Página 954 apartado 5-18 y resuelve los ejercicios: 5, 7, 9 y 13

�� = 2�+ � ��� = 2

��� =1 �� = 0, implica que � = −2�,

Sustituyendo � en �� :

�� = � + 2� +1 ��� = 2

(

�� = � + 2(−2�) + 1 = −3� + 1 = 0

� = −2� = -2/3

1 � � 3

3� = 1

El punto crítico es= P

( 13 , 23 )

Aplicando el criterio de la segunda deriva obtenemos: D(x , y )=f xx f yy −f ( yy)2=(2)(2)−(1 )2 ¿=3 Como D(x , y )>0 y f xx> 0 P es un mínimo relativo.

��= −1 − � 2 + 2��

�� 2 = 1 − 2+ 2

��� = −2�

��� = −2� + 2�

��� = 2�

�� = 0, implica que 1 − 2�� + �2 = 0,

�� = 0, implica que −1 − �2 + 2�� = 0,

Sumando las ecuaciones obtenemos que:

2

y =x

2

Si tomamos que y = -x la solución existe en los números complejos. Si tomamos que y = x, obtenemos que �2 = 1, despejando tenemos � = ±1 Los puntos críticos son �� = (�, �)���(−�, −�)

Aplicando el criterio de la segunda derivada obtenemos: +(f xy ) D (1,1)=f xx f yy−¿ ¿2=(−2)( 2)− 02 ¿ =−4 (f xy) D (1,1)=f xx f yy−¿ ¿2=( 2)(− 2)− 02 =−4 Como �(�, �) < 0 L�� ������ ����� ��� P1 yP 2

� � = 6�� − 12� ��� = 6� − 12

�� = 3�2 + 3�2 ��� = 6�

��� = 6� − 12

��implica que 6�(� − 2) = � Por lo tanto, x = 0 o y = 2 Si tomamos y = 2 la sustitución en �� = 0 nos da �� + ��� − �� = � �� = �, por lo tanto � = ±�

Por lo que tenemos los puntos críticos ��(−�, �) � ��(�, �) D (0,0)=(−12 )(−12)−02=144 D (0,4)=( 12)(12)−02=144 D (−2,2 )=(0)(0 )−(−12)2=−144 2 1¿ ¿ D (2,2)=( 0 )(0 )−¿ ��� (0,0) = −12

��� (0,4) = 12

�1(0,0) es un máximo relativo �2(0,4) es un mínimo relativo �3(−2,2) es un punto silla �4(2,2) es un punto silla

f x =ex co s y

f x =0 π y= +n π|n ∈ Z 2 Es decir, son puntos críticos.

x

f y =−e sen y

Ejercicios 8. Multiplicadores de Lagrange

Revisa la Página 963 apartado 3-14 y resuelve los ejercicios: 3, 5, 6 y 11

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/c alculo3/stewart.pdf

Utilizando multiplicadores de Lagrange buscamos valores de � , � �� ����� ��� ∇� = ∇ �∇�� � (�, �) = 1. ∇ (�, �) = ∇ (�, �) ⟹

〈 2�, 2�〉= 〈 ��, ��〉

De la tabla obtenemos las ecuaciones: �� = ���⟹2� = ��

�� = ���⟹2� = ��

� = 1⟹ �� = 1

Resolviendo las ecuaciones, obtenemos que �2 = �2 = 1 Por lo que � = � = ±1 Los posibles valores extremos de f son (1,1) y (-1,1) El valor mínimo sujeto a la restricción dada es � (1, 1) = �(−1, −1) =

��(�, �) = � ���(�, �) ⇒ ����, ���� = ( ����, ����) �� = �� = ��� ⇒ �� � ���

�� = �� = ��� ⇒ �� � ���

� = �� ⇒ �� + �� = ��

De la primera ecuación tenemos que ⋏= 3�2

���

Sustituyendo � en la segunda ecuación nos queda que �� = �� Y sustituyendo nuevamente en la tercera ecuación nos queda que 2�3 = 16 Por lo que tenemos que en x = y = 2 Tenemos un valor extremo en (2,2) El valor máximo sujeto a la restricción x = y = 2. Tenemos un valor extremo en (2,2).

∇ ∇ (�, �, �) = ∇ ∇

(�, �, �) ⟹2� = 4��3

�� = ���⟹2� = 4��3

�� = ���⟹2� = 4��3 � = 1 ⟹ �4 + �4 + �4 = 1 Si � ≠ 0, � ≠ 0, � ≠ 0, esto implica que �2 = �2 = �2

CONCLUSIÓN El cálculo vectorial es de suma importancia para las diversas ramas de la ingeniería, por medio de la aplicación de fórmulas y técnicas para la resolución de problemas y a su vez para generar un análisis sobre los movimientos, aceleraciones, etc. En cálculo

vectorial pueden utilizarse diferentes tipos de funciones, es decir, se pueden utilizar desde funciones cartesianas, hasta las funciones polares, sin embargo, las mas destacables son las funciones vectoriales, es decir, son vectores, que de los cuales, dependen mucho de parámetros, etc.

2. Procura compartir y revisar el procedimiento y resultados de cada ejercicio realizado en equipo e integrarlos en este mismo documento para su envío al docente. 3. Al finalizar esta actividad, vuelve a la plataforma y sigue los pasos que se indican para enviar tu trabajo.

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