A1 Cal Vec - actividad 1 de calculo vectorial PDF

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Calculo Vectorial Unidad 1: “ECUACIONES PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES, VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO” Actividad 1: “Ejercicios”

1. Con base en el material consultado en la unidad resuelvan en equipo de dos o tres personas los siguientes ejercicios propuestos aplicando los conocimientos sobre: ➢ Ecuaciones paramétricas ➢ Coordenadas polares ➢ Vectores y geometría del espacio

Ejercicio 1. Curvas de orden superior

Revisa la Página 101 del material sugerido y resuelve los Ejercicios 1-14 Múltiplos de 4

4.

𝒚𝟐 (𝟒 − 𝒙) = 𝒙𝟑

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica, plana y del espacio [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/0 1/geometria-analitica-serie-schaumkindle.html

8.

𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙 𝒚 − 𝟒 + 𝒚𝟐 = 𝟎

12.

𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙 𝒚 − 𝟒 + 𝒚𝟐 = 𝟎

Ejercicio 2. Ecuaciones paramétricas

Revisa la Página 18 y resuelve los Ejercicios 13, 15 y 17

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica, plana y del espacio [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/g eometria-analitica-serie-schaumkindle.html

Ejercicio 3. Coordenadas polares

Revisa las Páginas 80 y 81 y resuelve los ejercicios: 2 incisos a) y b), así como los Ejercicios 4 y 10

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica, plana y del espacio [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/g eometria-analitica-serie-schaumkindle.html

Ejercicio 4. Vectores en el plano y espacio

Revisa la Página 7 y resuelve los ejercicios 6 a 10

Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?p age=1 Colección E-Libro Pórtico UVM

+

Ejercicio 5. Producto punto

Revisa la Página 26 y resuelve el punto 1.3 Ejercicios 1, 3 y 5

Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?p age=1 Colección E-Libro Pórtico UVM

Calcule 𝑎 ⋅ 𝑏, ‖𝑎‖, ‖𝑏‖ para los vectores listados en los ejercicios: 1. 𝑎 = (1,5), 𝑏 = (−2,3)

𝑎 ⋅ 𝑏 = 1 ⋅ (−5) + 5 ⋅ 3 𝑎 ⋅ 𝑏 = −5 + 15 𝑎 ⋅ 𝑏 = 10 ‖𝑎‖ = √(1)2 + (5)2 ‖𝑎‖ = √1 + 25 ‖𝑎‖ = √26 ‖𝑏 ‖ = √(−2)2 + 32 ‖𝑏 ‖ = √4 + 9 ‖𝑏 ‖ = √13

3. 𝑎 = (−1,0,7), 𝑏 = (2,4, −6) 𝑎 ⋅ 𝑏 = (−1) ⋅ 2 + 0 ⋅ 4 + 7 ⋅ (−6) 𝑎 ⋅ 𝑏 = −2 + 0 − 42 𝑎 ⋅ 𝑏 = −44 ‖𝑎‖ = √(−1)2 + (0)2 + (7)2 ‖𝑎‖ = √1 + 0 + 49 ‖𝑎‖ = √50 ‖𝑏 ‖ = √(2)2 + (4)2 + (−6)2 ‖𝑏 ‖ = √4 + 16 + 36 ‖𝑏 ‖ = √56

5. 𝑎 = 4𝑖 − 3𝑗 + 𝑘, 𝑏 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 𝑎 ⋅ 𝑏 = 4 ⋅ 1 + (−3) ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 𝑎⋅𝑏 = 4−3+1 𝑎⋅𝑏 = 2 ‖𝑎‖ = √(4)2 + (−3)2 + (1)2 ‖𝑎‖ = √16 + 9 + 1 ‖𝑎‖ = √26 ‖𝑏 ‖ = √(1)2 + (1)2 + (1)2 ‖𝑏 ‖ = √1 + 1 + 1 ‖𝑏 ‖ = √3 Ejercicio 6. Producto vectorial

Revisa la Página 38 y resuelve los Ejercicios 1.4 (Incisos 1, 3, 6 y 7)

Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?p age=1 Colección E-Libro Pórtico UVM

Evalúe los determinantes que aparecen en los ejercicios: 1. |

2 4 | 1 3

= (2)(3) − (4)(1) = 6−4 =2

1 3 5 2. | 0 2 7| −1 0 3 0 2 0 7 2 7 |] |] + [5 ⋅ | |] − [3 ⋅ | = [1 ⋅ | −1 0 −1 3 0 3 = [1 ⋅ ((2)(3) − (7)(0))] − [3 ⋅ ((0)(3) − (7)(−1))] + [5 ⋅ ((0)(0) − (2)(−1))] = [1 ⋅ (6 − 0)] − [3 ⋅ (0 + 7)] + [5 ⋅ (0 + 2)] = 6 − 21 + 10 = 37 3. (3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘) × (𝑖 + 𝑗 + 𝑘) 𝑖 𝑗 𝑘 = |3 −2 1 | 1 1 1 3 −2 3 1 −2 1 |𝑗 +| |𝑖 −| =| |𝑘 1 1 1 1 1 1 = [(2)(1) − (1)(1)]𝑖 − [(3)(1) − (1)(1)]𝑗 + [(3)(1) − (−2)(1)]𝑘 = [2 − 1]𝑖 − [3 − 1]𝑗 + [3 + 2]𝑘 = 𝑖 − 2𝑗 + 5𝑘

4. (𝑖 + 𝑗) × (−3𝑖 + 2𝑗 )

1 1 |𝑘 −3 2 = [(1)(2) − (1)(−3)]𝑘 = [2 + 3]𝑘 = 5𝑘 =|

Ejercicio 7. Planos

Revisa la Página 120 y resuelve los Ejercicios 1a, 1c, 3, 5a y 6a

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica, plana y del espacio [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/g eometria-analitica-serie-schaumkindle.html

1. Hallar la ecuación del plano: a. Paralelo al plano xy y situado 3 unidades por debajo de él. 𝑛 󰇍 =< 0,0, −3 > 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 𝑧 = −3 b. Perpendicular al eje z en el punto (0,0,6). 󰇍 =< 0,0,6 > 𝑛 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 𝑧=6

2. Hallar las ecuaciones del plano que pasa por el punto (3,-2,4) y es perpendicular a la recta de los componentes 2,2,-3. 𝑛󰇍 =< 2,2, −3 > 𝑃 = (3, −2,4) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 2(3) + 2(−2) − 3(4) + 𝑑 = 0 6 − 4 − 12 + 𝑑 = 0 −10 + 𝑑 = 0 𝑑 = 10 2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 10 = 0 3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (-1,2,4) y es paralelo al plano 2x3y-5z+6=0 𝑛󰇍 =< 2, −3,5 > 𝑃 = (−1,2,4) 𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏 (𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0 ) = 0 2(x − (−1)) − 3(y − (2)) − 5(z − (4)) + 6 = 0 2𝑥 + 2 − 3𝑦 + 6 − 5𝑧 + 20 = 0 2𝑥 − 3𝑦 − 5𝑧 + 28 = 0

Ejercicio 8. Recta en el espacio

Revisa la Página 127 (Problemas propuestos 1a y 1c)

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica, plana y del espacio [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/g eometria-analitica-serie-schaumkindle.html

1. Hallar las coordenadas del punto en la recta a) 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 5 = 0, 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 5 = 0, para z=1 Sustituyendo Z

2𝑥 − 𝑦 + 1 − 5 = 0 2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 2𝑥 − 𝑦 = 0 + 4 2𝑥 − 𝑦 = 4

Sustituyendo Z

𝑥 + 2𝑦 − 2 − 5 = 0 𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0 𝑥 + 2𝑦 = 0 + 7 𝑥 + 2𝑦 = 7

Coordenadas Respuesta (x, y, z) (3, 2, 1) c)

𝑥−2 3

=

𝑦+4 −2

=

Se sustituye en x= 3 𝑦+4

Para y, x −2 =

3(𝑦 + 4) = −2 3𝑦 + 12 = −2

1 3

𝑧−1 2

𝑥−2 3

para x=3 =

3−2 3

1

=3

𝑧−1 2

1

=3

3(𝑧 − 1) = 2

3𝑧 − 3 = −2

y= y=

−2−12 3

z=

14 3

2+3 5

3

z= 3

Coordenada respuesta 14 5 3

(3, - 3 ,

)

Ejercicio 9. Superficies

Revisa la Página 139 y 140 (1. Hallar las ecuaciones de las esferas) Incisos 1 a, c y Ejercicio 7

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica, plana y del espacio [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/g eometria-analitica-serie-schaumkindle.html

Revisa la Página 139 y 140 (1. Hallar las ecuaciones de las esferas) Incisos 1 a, c y Ejercicio 7 1. Hallar las ecuaciones de las esferas siguientes: a) Centro (2, -1, 3), radio 4 Sol 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟔𝒛 − 𝟐 = 𝟎 Solución:

Sustituir (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 + (𝑧 − 𝑗)2 = 𝑎 2

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 − 3)2 = 42

Desarrollando y reduciendo términos

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 + 4 + 1 + 9 = 16 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 + 14 = 16

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 + 14 − 16 = 0

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 − 2 = 0

c) Un diámetro es el segmento determinado por los puntos (6, 2, -5) y (-4, 0, 7) Sol 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝟓𝟗 = 𝟎 Solución El punto medio entre ambos 6−4 2+0 , 2 2

,

−5+7 2

(1, 1, 1)

Se calcula la distancia entre el centro y cualquier punto del diámetro

𝑟 = √(6 − 1)2 + (2 − 1)2 + (−5 − 1)2 = √62

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 + (𝑧 − 𝑗)2 = 𝑎 2 , sustituyendo (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 − 1)2 = 64

Ecuación resultante 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝟓𝟗 = 𝟎 7.- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya suma de cuadrados de sus distancias a los planos 𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 0, 2𝑋 − 𝑌 + 2 = 0 y 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0, es igual a 10. Sol 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏𝟎

La distancia P (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0,) a un plano de π = (Ax + By+ Cz+D=0)

𝑑(𝑃, 𝜋) =

𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0+ 𝐶𝑧0+𝐷

Sustituyendo (

𝑥+4𝑦+2𝑧

√12 +4 2 +2 ²

)

√𝐴2 + 𝐵2 +𝐶2 2

+(

2𝑥−𝑦+𝑧

√22 +(−1)2 +1

)

2+

(

2𝑥+𝑦−3𝑧

√22 +12 +(−3)

2

)

²

Ecuación resultante 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏𝟎

Ejercicio 10. Coordenadas cilíndricas y esféricas

Revisa la Página 73 Ejercicio 1.7 (Incisos 14 a 18)

14. (-1, 0, 2) Desarrollo (x, y, z) 𝒓 = √𝟏 + 𝟎 = √𝟏 = 1

𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝟎⁄−𝟏 = 180° o 𝝅

Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?p age=1

Solución (1, 𝜋 , 2)

15. (-1, √𝟑 , 13)

Solución (2,

5𝜋

, 13)

5𝜋

, 3)

6

Desarrollo (x, y, z) 𝒓 = √𝟏 + 𝟑 = √𝟒 = 2

𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 √𝟑 ⁄−𝟏 = 60° 360° -60° = 300 30𝜙𝜋 18𝜙

=

5𝜋 6

16. (5, 6, 3)

Solución

(3,

18

Desarrollo (x, y, z) 𝒓 = √𝟓 + 𝟔 = √𝟏𝟏 = 3.31 𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝟔 ⁄𝟓 = 50° 50 25 5𝜋 = = 180 90 18

𝜌 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑧 𝜑 = cos−1 𝜌 𝑦 𝜃 = tan−1 𝑥

En los ejercicios 17 y 18 encuentre un conjunto de coordenadas esféricas del punto del cual se las coordenadas cartesianas.

17. (1, -1, √𝟔 ) Desarrollo (x, y, z) 𝝆 = √𝟏 + 𝟏 + 𝟔 = √𝟖 = 2.82 𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏

−𝟏 𝟏

= 45°

180° - 45° = 135° 3𝜋 135𝜋 27 = = 4 180 36

𝝋 = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏

√𝟔 𝟑

= 36°

Solución

(3,

3𝜋 4

𝜋

, 5)

36𝜋

12 4 1𝜋 = = 5 180 60 20 18. (0, √𝟑 , 1) =

Solución (2, Error,

𝜋

3

)

Desarrollo (x, y, z) 𝝆 = √𝟑 + 𝟏 = √𝟒 = 2 𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏

√𝟑

𝝋 = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏

60𝜋 1𝜋 = 3 180

𝟎

𝟏

𝟐

= Error! = 60°

Conclusión: Las ecuaciones paramétricas como observamos tienen varios usos en diferentes campos de las geociencias, y nos permiten infinidad de soluciones, y en un futuro gracias a las ecuaciones paramétricas podremos hacer varios cálculos en la vida cotidiana ya sea para la mejora de la vida de toda una ciudad como la facilitación de otra. Estas sirven en un campo de las geociencias, en particular en un proyecto topográfico, donde podemos ubicarnos en un espacio, ya sea vectorial, también nos facilitan la creación de carreteras por medio de curvas o de una recta ya sean elipses. Pero no solo para la realización de carreteras sino para otros proyectos como pozos podemos utilizar la circunferencia. Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación. Bibliografía: • •

Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?page=1 Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica, plana y del espacio [Archivo PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/geometria-analitica-serieschaum-kindle.html

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