Solucionario Primer parcial ecc dif Grupo G PDF

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MAT 207 - Ecuaciones DiferencialesUniversidad Mayor de San Andrés – Facultad de Ingeniería22 de marzo de 2021SOLUCIONARIO1.- (20%) Dar la respuesta a las siguientes preguntasa) (5%) Para la ecuación de Riccatti: ( ) ( ) ( )Demostrar que puede reducirse a una ecuación de Bernoulli con el cambio:, don...

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MAT 207 - Ecuaciones Diferenciales Universidad Mayor de San Andrés – Facultad de Ingeniería 22 de marzo de 2021 SOLUCIONARIO 1.- (20%) Dar la respuesta a las siguientes preguntas a) (5%) Para la ecuación de Riccatti: () () () Demostrar que puede reducirse a una ecuación de Bernoulli con el cambio: , donde: es una solución particular Solución. → Reempl. ()

( )(

()

( )(

)

( ()

()

()

)

)

() ()

() ()

()

// Ecc Bernoulli

b) (5%) Enuncie el teorema de la existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de 1er orden - Teorema de la Existencia de soluciones. Para f(x, y) continua en un rectángulo de la forma: {(x, y) | a 0 y una función y(x) definida en: ; que es solución del problema de condiciones iniciales:

( )

,

( )

- Unicidad de soluciones El teorema de la unicidad, establece: Si:

( )

Si ( )

son funciones continuas en el rectángulo ( ) son dos soluciones del problema de condiciones iniciales:

Entonces ( )

( ) , para todos los valores de “x” Es decir la solución del problema es única.

c) (5%) En la ecuación diferencial: Indique cual es la solución singular y porque Solución. sea: → (

)

→

{ Es solución singular porque se obtuvo sin resolver la ecuación diferencial

d) (5%) En una ciudad de población inicial igual a “Po”, su población crece en forma proporcional a la cantidad de habitantes. Si en 4 años se duplica la población, calcular en cuantos años se triplica la población Solución.

En:

→

()

()

→

→

Se triplica:

→

3 1 52 1 7 y )dx  ( x 2  x y 2 )dy  0 2 2

5

(2 x 2 y 

2.- Resolver la ecuación diferencial:

si se conoce que

   ( xm y n ) M y  2x

  ( z )

3 5 32 7 5 y  Nx   x 2  y 2 4 4 m n  z  x y  z x  mx m1 y n z y  nx m y n1

5 2



15 5 2 9 3 2 x  y 1 4 4 ) reemplazando y ordenando en : F (z)   ( 3 2 1 m 52 M . zy  N .z x z (2 n  ) x  ( n  m) y 2 2 15 1 9 m 2n    válido si se cumple : nm  2 4 2 4 3 3 1  ( x, y )  3 3 resolviendo : m n  2 2 x 2y 2 Nx  M y

x2

reemplazando e int egrando :

y

3.- Resolver la ecuación diferencial:

(

1

2



y x

1



C

2

)

Sabiendo que una solución primicial es de la forma: Solución:

(

(

Igualando términos semejantes: (

)

(

(

)

) ) (

) (

)

)

( )

Para que la ecuación verifique Haciendo el Cambio de Variable:

(

)

(

) (

)(

Simplificando términos semejantes:

Ecuación lineal o de variables separables ∫ (

∫ )

)...