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Universidad Albert Einstein Facultad de Ingeniería “Ecuación básica de las líneas de transmisión Y Ondas viajeras” Catedrático: Ing. Erick Esau Cátedra: Líneas de transmisión. Estudiante: Carnet: Carrera: Milla Rodríguez, Raúl Antonio MR-12001 Ingeniería eléctrica. 18/09/2015 Ciclo 02/2015 0 Tabla d...

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Universidad Albert Einstein Facultad de Ingeniería “Ecuación básica de las líneas de transmisión Y Ondas viajeras”

Catedrático: Ing. Erick Esau Cátedra: Líneas de transmisión.

Estudiante: Milla Rodríguez, Raúl Antonio

Carnet: MR-12001

Carrera: Ingeniería eléctrica.

18/09/2015 Ciclo 02/2015

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Tabla de contenido Introducción .................................................................................................................................................................................................. 2 Objetivó ................................................................................................................................................................................................................... 2 Concepto de línea de transmisión: ....................................................................................................................................................................3 1.

Ecuación básica de la línea de transmisión ........................................................................................................................................3 1.1 constantes distribuida ..............................................................................................................................................................................3 1.1.1 Representación de una línea con constantes distribuidas ....................................................................................................... 4 1.2 la ecuación diferencial .............................................................................................................................................................................5 1.3 Solución de las ecuaciones diferenciales, y forma exponencial de la solución ..........................................................................6 1.4 tipo de líneas ............................................................................................................................................................................................. 8 1.4.1 Balunes ............................................................................................................................................................................................... 8 1.4.2 línea de transmisión de alambre desnudo..................................................................................................................................9 1.4.3 Línea de transmisión de conductores gemelos ...................................................................................................................... 10 1.4.4 Cable de par trenzado ................................................................................................................................................................... 10 1.4.5 Par de cable blindado ......................................................................................................................................................................11 1.4.6 Líneas de transmisión concéntrica o coaxial ............................................................................................................................11

2 ondas viajeras ...................................................................................................................................................................................................12 Circuito abierto ............................................................................................................................................................................................. 13 2.1 Ondas incidentes y reflejadas. ............................................................................................................................................................. 13 Líneas resonantes y no resonantes .....................................................................................................................................................14 Coeficiente de reflexión ................................................................................................................................................................................14 Ondas estacionarias en una línea abierta ......................................................................................................................................... 15 Ondas estacionarias en una línea en cortocircuito ........................................................................................................................ 16 Bibliografía ............................................................................................................................................................................................................17

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Introducción Las líneas de trasmisión es el instrumento utilizado para llevar la energía de un punto a otro, En los sistemas de comunicaciones, las líneas de transmisión encuentran numerosas aplicaciones no sólo en el transporte de señales entre una fuente y una carga, sino también como circuitos resonantes, filtros y acopladores de impedancia. Algunas de las aplicaciones más comunes incluyen el transporte de señales telefónicas, datos y televisión, así como la conexión entre transmisores y antenas y entre éstas y receptores. Las ecuaciones de Maxwell se prestan para encontrar otras ecuaciones diferenciales que contienen uno solo de los vectores E o H, en función del puesto y del tiempo. Esto llevó a Hertz a incluir que en ellas está implícita una característica de la energía electromagnética, es decir, que, al generarse, tiende a propagarse. En el presente capitulo está dedicado a las líneas largas desde el punto de vista eléctrico. Se hace esta aclaración, porque en potencia, se considera largas a las líneas cuyos conductores tienen longitudes de km, pero tiempos de propagación despreciables respecto al tiempo en que se percibe una variación de voltaje; el problema principal en esos casos radica en la estructura (torres, descargadores, etc.) que son más bien problemas de mecánica. También en el presente trabajo se darán a conocer las ecuaciones básicas de las líneas así como la solución de estas y los distintos tipos de ondas, y circuitos que pueden presentarse en el estudio de líneas de transmisión Objetivó Conocer y poner en práctica las ecuaciones básicas y diferenciales de líneas de transmisión, así como los diferentes tipos de solución que dichas ecuaciones pueden llegar a tener, a la vez conocer el termino de ondas viajeras y línea de transmisión con el fin de implementar el conocimiento adquirido en la signatura de Líneas de transmisión.

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Concepto de línea de transmisión: Línea de transmisión es una estructura para guiar la propagación de energía electromagnética del punto donde se genera al punto donde se utiliza; las primeras líneas consistieron en dos conductores separados por un dieléctrico; aunque ya en el siglo XIX hubo aplicaciones con un solo conductor y retorno a tierra. Las transmisiones de energía electromagnética puede usarse de dos maneras a) Para proveer energía que será utilizada para realizar un trabajo; b) Para transmisión de información. Las líneas para suministro de energía acarrean altos valores de pote4ncia, con voltajes elevados y a frecuencias bajas, por ejemplo, las líneas de distribución para llevar energía a las casas, edificios, fábricas, etc. Las líneas para transmitir información, por el contrario, funcionan con bajos valores de potencia y frecuencias altas. Las líneas para potencia se pueden analizar a parámetros concentrados; las de transmisión de información requieren de un análisis a parámetros distribuidos, en donde las magnitudes (V, I, E, H) tienen variaciones con la distancia y con el tiempo, de manera que, en cada instante tales magnitudes no tienen el mismo valor a lo largo de la línea. 1. Ecuación básica de la línea de transmisión 1.1 constantes distribuida L y C son la inductancia y capacidad por metro y se pueden calcular de las dimensiones geométricas y de las características del medio por el que se propagan las ondas (principalmente de la constante dieléctrica pues la permeabilidad magnética para los materiales usualmente utilizados varía poco y es igual a la del vacío). R, es la resistencia total por unidad de longitud del conductor en serie con la línea. Es dependiente de la frecuencia debido al efecto pelicular y crece como la raíz cuadrada de la frecuencia f . Para mantener las pérdidas bajas se utiliza usualmente un conductor de cobre u otro metal cobreado.

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G, conductancia paralelo por unidad de longitud. Se genera por la pérdida interna molecular de los aislantes dieléctricos (histéresis dieléctrica), mas que por la corriente de escape. Cuando el dieléctrico es aire, G es muy pequeño. Las líneas ideales no tienen pérdidas, tienen R = G = 0, entonces √

es imaginario puro. (no hay variación en amplitud - atenuación - )

√

Sus unidades son radianes por metro.

La impedancia característica

√

√

resistencia pura

Si definimos Z0 = R0 + j X0 , en el caso de líneas sin pérdidas Z0 = R0

1.1.1 Representación de una línea con constantes distribuidas

Existe una clasificación de las líneas según su longitud, aunque en la actualidad no se puede establecer una longitud determinada para las llamadas líneas cortas, medias y largas debido a los cambios constantes que ha habido en los conceptos de transmisión al introducirse la extra alta tensión y aumentar considerablemente los v o l ú m e n e s d e generación por unidad, pero por existir un modelo matemático adecuado, así se tiene Líneas cortas de menos de 80 km. de longitud Líneas medias entre 80 y 240 km. de longitud Líneas largas de más de 240 km. Excepto para líneas largas, la resistencia, inductancia, capacitancia y conductanciat o t a l e s d e l a l í n e a s o n c o n c e n t r a d a s p a r a r e p r e s e n t a r u n c i r c u i t o d e c o n s t a n t e s concentradas. Un criterio práctico no 4

generalizado es, que una línea de transmisión debe tener como mínimo 1 kV por cada km. de longitud y comúnmente no se establece diferencias entre las llamadas líneas medias y las largas 1.2 la ecuación diferencial Consideremos un elemento diferencial de la línea, de longitud z . Este elemento está descrito por los siguientes parámetros distribuidos:    

R, la resistencia por unidad de longitud, en /m. L, la inductancia por unidad de longitud, en H/m. G, la conductancia entre los dos hilos, ya que el dieléctrico puede tener pérdidas, por unidad de longitud, en S/m. C, la capacitancia entre los dos hilos por unidad de longitud, en F/m.

Nótese que R y L son elementos en serie, mientras que G y C lo son en paralelo, como se muestra en la figura, que representa el circuito eléctrico equivalente de un elemento z de la línea.

Si aplicamos las Leyes de Kirchoff a este circuito: I I )z  V  ( RI ( z, t )  L )z t t V V I ( z  z, t )  I ( z, t )  (GV ( z, t )  C )z  I  (GV ( z, t )  C )z t t

V ( z  z, t )  V ( z, t )  ( RI ( z, t )  L

Estas son ecuaciones diferenciales parciales simultanea sde primer orden con coeficientes constantes de las variables dependientes v,e,i y las variables independientes z, t. En el límite de z  0 , estas ecuaciones se pueden expresar de forma diferencial:

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V I  RI  L z t I V   GV  C z t 

(ecu-2)

Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones generales de la línea de transmisión. Si la señal que se propaga depende sinusoidalmente del tiempo, resulta conveniente utilizar la notación fasorial para poner de manifiesto esa dependencia temporal:

  I ( z, t )  ReI ( z )e 

V ( z, t )  Re V ( z )eit it

Si se sustituyen estas expresiones en las ecuaciones anteriores (ecu-2) se puede llegar a las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo grado de la línea de transmisión para voltaje e intensidad fasorial:

d 2V   2V 2 dz d 2I   2I dz 2 , donde

    i  ( R  iL)(G  iC )

(m-1)

es la constante de propagación, cuya parte real e imaginaria,  y , son las constante de atenuación (Np/m) y la constante de fase (rad/m). Nótese que la constante de fase está relacionada con la velocidad de fase mediante:



 vf



2



1.3 Solución de las ecuaciones diferenciales, y forma exponencial de la solución

La solución de las ecuaciones anteriores (las de 2º grado) son del tipo:

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V ( z )  V0i ez  V0r ez I ( z )  I 0i ez  I 0r ez

Donde V+ , V-, I+ e I- , son constantes arbitrarias y

  ( R  jwL)(G  jwC ) Recordando la ecuación original

-

vz, t  iz, t   R  iz, t   L z t

Y considerando estado sinusoidal estable, esta ecuación se convierte en: __

-

Si la solución general es

V z

__

 ( R  jwL ) I

V ( z )  V e z  V ez , se tendrá entonces:

V  ( R  jwL ) I    V e z    V e z despejando, z



V e R  jwL

I 



z

 V e z



Recordando que

  ( R  jwL)(G  jwC ) Se tiene que: I 



G  jwC V e z  V e z R  jwL



Comparando con

I ( z)  I  e z  I  ez Obtenemos I 

G  jwC V R  jwL

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I 

G  jwC V R  jwL

De acuerdo a estos resultados definimos: Impedancia Característica (Zc) ZC 

R  jwL  Zo G  jwC

Zc 

1 Yc

Constante

  ( R  jwL)(G  jwC ) Como se puede notar es una cantidad compleja, y como tal:

    j

α = constante de atenuación [Nepers/unidades de longitud] β = constante de fase [radianes/unidades de longitud]

1.4 tipo de líneas 1.4.1 Balunes

Cuando se desea conectar sistemas balanceados con sistemas desbalanceados se requiere de un dispositivo especial denominado Balún (balanceado a desbalanceado, de balanced to unbalanced). Un ejemplo clásico de este tipo de situación común es cuando se tiene una línea de transmisión desbalanceada, como un cable coaxial conectado con una carga balanceada como una antena mediante un transformador especial el cual cumple la función de Balún. A frecuencias relativamente bajas se puede usar un trasformador ordinario para aislar la tierra de la carga, como se ve en la figura 4a. El balún debe tener un blindaje electrostático conectado a tierra física para reducir al mínimo los efectos de las capacitancias parásitas. Cuando las frecuencias son relativamente altas se utilizan Balunes de diferentes tipos según la línea de transmisión.

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Figura 2 Balunes: (a) balún de transformador; (b) balún de bazuca El más común es el balún de banda angosta, que a veces se llama choke, forro o balún bazuca, y se ve en la figura 2b. Un choke de cuarto de onda se instala en torno al conductor externo de un cable coaxial y se conecta con él. Así, la impedancia que se ve hacia la línea de transmisión se forma por el choke y el conductor externo, y es igual a infinito, es decir, el conductor externo ya no tiene impedancia cero a tierra. Por lo anterior, un alambre del par balanceado se puede conectar con el choke sin poner en corto la señal. El segundo conductor se conecta al conductor interno del cable coaxial.

Líneas de transmisión de conductores paralelos 1.4.2 línea de transmisión de alambre desnudo

Figura 3. Línea de transmisión de alambre desnudo Una línea de transmisión de alambre desnudo es un conductor de dos alambres paralelos a corta distancia y cuyo dieléctrico es el aire. Se colocan espaciadores no conductores a intervalos periódicos para sostenerlos y mantener constante la distancia entre ellos, esta distancia entre los conductores comúnmente esta entre dos y seis pulgadas; la única ventaja que presenta este tipo de línea de transmisión es su facilidad de construcción ya que debido a la ausencia de blindaje este sistema presenta altas perdidas por radiación y es muy susceptible al ruido este tipo de líneas son consideradas como líneas balanceadas.

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1.4.3 Línea de transmisión de conductores gemelos

Figura 4. Línea de transmisión de conductores paralelos Los conductores gemelos son otra línea de transmisión de dos alambres paralelos denominados comúnmente como cable de cinta. Estos conductores son en esencia iguales que las líneas de transmisión de conductores desnudos con la diferencia de que los separadores de los dos conductores son remplazados por un dieléctrico macizo continuo. En este tipo de líneas de transmisión las distancia entre los dos conductores es de aproximadamente 5/16 de pulgada y los dieléctricos más utilizados son el teflón y el polietileno. 1.4.4 Cable de par trenzado

Figura 5. Cable de par trenzado UTP Un cable de par trenzado consiste en dos conductores aislados enlazados entre si. El trenzado es utilizado para reducir la interferencia debida a la inducción mutua entre los conductores. Cada par forma un circuito que puede transmitir datos. La línea consiste en un grupo de uno o más pares. Esta línea se conoce como UTP (unshielded twisted pair) y es el tipo más común de línea usada en redes de computadores. El cable de par trenzado no blindado (UTP) es un medio de cuatro pares de hilos que se utiliza en diversos tipos de redes. Cada uno de los 8 hilos de cobre individuales del cable UTP está revestido de un material aislante. Además, cada par de hilos está trenzado.

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1.4.5 Par de cable blindado

Figura 6. Cable de par trenzado blindado STP Dentro de las funciones principales de las líneas de transmisión está la de transportar una señal de un punto a otro idealmente sin pérdida o atenuación alguna y sin ningún tipo de modificación o interferencia por tal razón para reducir las pérdidas por radiación e interferencia se acostumbra en muchos casos encerrar a la línea de transmisión en una malla de alambre metálica y conductora la cual es conectada a tierra cumpliendo funciones de blindaje. Esta malla evita que se irradian señales fuera de ella y evita que interferencias de tipo electromagnético llegue a los conductores de señal en conclusión esta línea de transmisión esta constituida por dos alambres conductores paralelos separados por un material dieléctrico macizo y toda su estructura encerrada en un tubo conductor integrado por una malla y finalmente es cubierto con una capa protectora de plástico. Comúnmente, con el fin de ofrecer un mayor rechazo a interferencia (en particular el rechazo a modo común y la diafonía entre líneas) se rodean los pares con un aislador. Esta línea se conoce como STP (shielded twisted pair). Tanto UTPs como STPs se usan en instrumentación electrónica, aviones y otras aplicaciones críticas de transmisión de datos. 1.4.6 Líneas de transmisión concéntrica o coaxial

Figura 7. Líneas de transmisión concéntrica o coaxial: (a) rígida llena de aire;

(b) línea flexible maciza

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Hasta el momento se habían expuesto las líneas de transmisión de conductores paralelos, las cuales son ideales para aplicaciones con señales a bajas frecuencias. Sin embargo, en las frecuencias altas, sus pérdidas por radiación y pérdidas dieléctricas, así como su susceptibilidad a la interferencia externa son excesivas. Cuando se desean utilizar líneas de transmisión que brinden excelentes comportamientos frente a señales de alta frecuencia se recomienda el uso de conductores coaxiales. Debido, a que permiten reducir las pérdidas y al mismo tiem...