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MB0003 _M1AA2L2_Polinomiales Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

Ecuaciones de grado superior Por: Oliverio Ramírez Juárez

Una función polinomial tiene la siguiente forma general (o estándar):

f ( x) = an xn + an −1 x n−1 +  + a1 x + a0 En donde

a n , a n−1 , , a0

son números reales,

an

es diferente de cero y n es un número entero

positivo. Algunos autores prefieren escribir P (x ) en lugar de f (x ) . En este curso utilizarás f (x ) . ¿Se te hace conocida esta expresión matemática? Vista de esta forma, tal vez no la identifiques, pero qué pensarías si te dijera que la función constante, la función lineal y la función cúbica pertenecen a esta clase de función. Analiza la siguiente tabla.

Forma

f ( x ) = a0

Nombre

Gráfica

Función constante

1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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f (x ) = a1 x + a0

Función lineal

f ( x) = a2 x 2 + a1 x + a0

Función cuadrática

f ( x ) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

Función cúbica

Tabla 1. Ecuaciones polinomiales.

2 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Si analizas el comportamiento de las funciones anteriores. Podrás observar que todas cumplen con la forma general de una función polinomial de grado n. En esta lectura analizarás las ecuaciones polinomiales de grado mayor a 2, y determinarás las raíces (soluciones o ceros) de la ecuación polinomial f ( x) = 0 . En la lectura sobre ecuaciones cuadráticas aprendiste que la solución a una ecuación significa determinar valores de x que hagan cierta la igualdad, y estudiaste diferentes métodos para determinar las raíces de una ecuación cuadrática, pero ¿qué pasa si se pretende resolver una ecuación cúbica?, ¿cuántas soluciones tiene?, ¿y una de grado 4? El siguiente teorema, nos ayuda a dar respuesta a algunas de las interrogantes anteriores (Leithold, 1995):

Teorema fundamental del álgebra Una ecuación polinómica de grado n, tiene exactamente n soluciones.

Este teorema proporciona la respuesta a la interrogante ¿cuántas soluciones tiene una ecuación polinomial? De acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, una ecuación polinomial de grado n = 2 tiene exactamente dos raíces, ceros o soluciones, reales o complejas y no necesariamente diferentes. Por lo anterior, una ecuación polinomial cúbica (n = 3) posee tres raíces. De la misma forma, una ecuación polinomial de grado 4 tiene 4 raíces. Es importante mencionar que para una ecuación polinomial, los términos raíz, solución o cero, tienen el mismo significado, así que en este curso se utilizan indistintamente. Ejemplos 5 3 1. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación polinomial 2x + 3x − x + 8 = 0 ?

Solución Debido a que el exponente mayor de este polinomio, es decir su grado, es n = 5, su número de soluciones es 5. Un complemento del teorema fundamental del álgebra es el teorema de las n raíces dice (Leithold, 1995): 3 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Teorema de las n raíces Cada polinomio f(x) de grado n>0 se puede expresar como el producto de n factores lineales. Por lo que f(x) tiene exactamente n raíces (las cuales pueden ser iguales).

¿Recuerdas qué es un factor lineal? Un factor lineal es un factor de la forma x − a , es decir, un factor en donde la variable x tiene exponente 1; a puede tomar cualquier valor real o complejo. Para entender mejor el significado de este teorema, observa el siguiente ejemplo. 2. ¿Cuál es el grado del polinomio f (x ) = (x + 2)(x + 5)(x − 6)(x − 1) ? Solución Observa que los factores lineales son 4, por lo que, de acuerdo con el teorema de las grado del polinomio es 4.

n raíces, el

3. Expresa la siguiente ecuación cúbica como el producto de factores lineales.

x 3 + x 2 − 6x = 0 Solución. De acuerdo con el Teorema de las n raíces, y debido a que el grado del polinomio es n = 3, el número de factores lineales que forman la ecuación es 3. Sacando como factor común la x , y factorizando la cuadrática resultante, tienes:

x + x − 6 x = (x )(x + 3 )(x − 2 ) 3

Éste es el resultado se expresó como el producto de tres factores lineales.

2

esperado, es decir, el polinomio inicial 4

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¿Cuáles son las raíces del polinomio? Cuando un polinomio se encuentra factorizado es posible encontrar sus raíces igualando a cero los factores lineales que lo forman. A continuación se muestra el procedimiento a seguir: Factor

Igualando con cero y despejando

Raíz

(x ) (x + 3 ) (x − 2 )

x=0 x+3=0

x=0 x = −3

x−2=0

x=2

Es decir, las raíces del polinomio son x = 0 , x = −3 , x = 2 .

El teorema fundamental del álgebra indica que una ecuación polinomial de grado n tiene exactamente n soluciones, y el teorema de las n raíces indica que una ecuación polinomial de grado n puede escribirse como el producto de n factores lineales. Interesante, ¿no crees?

Con la aplicación de estos dos teoremas se pueden resolver ejercicios como los que se muestran en los siguientes ejemplos. Ejemplos 1. ¿Cuál es la forma totalmente factorizada y la forma estándar del polinomio de grado 3 cuyas raíces son x = −1, x = 2 , x = 4 ? Solución Como conocemos las raíces, a partir de ellas se pueden escribir los factores lineales que forman el polinomio, esto es: Raíz

Igualando con cero

Factor

x = −1 x=2

x +1 = 0 x−2= 0

x=4

x−4= 0

(x + 1 ) (x − 2 ) ( x − 4) 5

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•

Con estos factores lineales, la forma totalmente factorizada del polinomio de grado 3 es:

f ( x) = ( x + 1)( x − 2)( x − 4) ¿Cuál crees que sea la forma estándar de este polinomio? Para hallar la forma estándar del polinomio, basta multiplicar los factores lineales (proceso inverso a la factorización), como se muestra a continuación:

f ( x) = ( x + 1)( x − 2)( x − 4)

(

)

f ( x ) = x 2 − x − 2 (x − 4 ) f (x ) = x 3 − x 2 − 2x − 4x 2 + 4x + 8

f ( x ) = x3 − 5 x 2 + 2 x + 8 Este ejemplo muestra que conocer todas las raíces de un polinomio, implica también conocer su forma totalmente factorizada y su forma estándar. Igualmente, si se conoce la forma factorizada de un polinomio, también es posible determinar sus raíces y su forma estándar. 2

3

4

2. ¿Cuál es el grado del polinomio f ( x) = ( x + 2) ( x + 5) ( x − 6 ) ( x −1)? Solución Observa que los factores lineales son 4, pero algunos de ellos están elevados a distintos exponentes. Cuando un factor lineal está elevado a un exponente distinto de 1, significa que ese factor se repite igual número de veces. Así, el grado del polinomio será: Grado del polinomio = 2 + 3 + 4 + 1 Grado del polinomio = 10 Al hecho de que una raíz se repita en un polinomio, se le conoce como multiplicidad. De esta manera: 2

•

El factor lineal (x + 2 ) implica que la raíz x = −2 tiene una multiplicidad igual a 2.

•

El factor lineal ( x + 5) implica que la raíz x = −5 tiene una multiplicidad igual a 3.

•

El factor lineal ( x − 6 ) implica que la raíz x = 6 tiene una multiplicidad igual a 4.

•

El factor lineal (x − 1) implica que la raíz x = 1 tiene una multiplicidad igual a 1.

3 4

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Factores y raíces En la discusión anterior se ha indicado que a partir de un factor se puede obtener una raíz, o que partiendo de una raíz se puede hallar un factor. Ahora analizarás dos teoremas más, que servirán para continuar con el estudio de las ecuaciones polinomiales. Pero ¿qué es un factor?, ¿qué implicaciones tiene?, ¿por qué el número 4 es factor de 20?, ¿por qué x − 1 es factor de x 2 + x − 2 ? 2 La condición para que el número 4 sea factor de 20, o que x − 1 sea factor de x + x − 2 , es que los dividan exactamente, es decir:

‘Dividir exactamente’ implica que el residuo de la división sea igual a cero, como se mostró en las divisiones anteriores. De igual forma, como ya se había analizado con anterioridad, al multiplicar los ‘factores’ se ‘recupera’ la expresión o número que les dio origen. Debido a que el concepto factor tiene una relación estrecha con el concepto de raíz, nuevamente se puede determinar, a partir del conocimiento del residuo de la división de un polinomio f (x ) por x − a , si x − a es o no factor de f (x ) , y por lo tanto también se puede saber si x = a es o no raíz del polinomio f (x ) . Los siguientes dos teoremas proporcionan el sustento teórico de lo anterior.

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Teorema del residuo

f (x ) se divide por x − a , el residuo r es el valor del polinomio en x = a , esto es r = f (a ) .

Cuando un polinomio

El siguiente ejemplo muestra las implicaciones de este teorema. Ejemplos 2

1. ¿Cuál es el residuo de dividir f (x ) = x − 2x + 1 por x − 1 ? Solución Es posible responder este cuestionamiento realizando la división, sin embargo, el teorema del residuo 2 nos indica que si se sustituye x = 1 en f ( x) = x − 2 x + 1 , el resultado será igual al residuo de efectuar la división.

f ( x) = x2 − 2 x + 1 f (1) = (1)2 − 2(1) + 1 f (1) = 1 − 2 + 1 f (1) = 0 2

De acuerdo con el teorema del residuo, si se efectúa la división de f ( x) = x − 2 x + 1 por x − 1 , el residuo será 0 (cero). Este resultado coincide con la división completa que se realizó previamente. ¡Interesante!, ¿no crees? Analiza el siguiente teorema.

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Teorema del factor Un número x = a es una raíz de un polinomio solo si x − a es un factor de

f (x ) sí, y

f (x ) .

Este teorema nuevamente pone de manifiesto la estrecha relación entre un factor y una raíz, y menciona que si x − a es un factor de f (x ) , es decir, que lo ‘divide exactamente’, entonces x = a es una raíz del polinomio

f (x ) .

Con la combinación del teorema del residuo y el teorema del factor, es posible verificar si un valor x = a es raíz o no de un polinomio f ( x) , o si x − a es o no factor del polinomio f (x ) . Observa el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3 Verifica si x − 2 es factor de f ( x) = x −8 .

Solución Es posible responder este cuestionamiento realizando la división, sin embargo, el teorema del residuo 3 nos indica que si se sustituye x = 2 en f ( x) = x − 8 , el resultado será igual al residuo de efectuar la división.

f ( x) = x 3 − 8 3

f ( 2 ) = (2 ) − 8 f (2) = 8 − 8 f (2) = 0 Como el residuo resultó 0 (cero), es decir, ‘lo divide exactamente’, entonces se comprueba que 3 efectivamente x − 2 es factor de f (x ) = x − 8 . 3

2

2. Verifica si x = 3 es una raíz de f ( x ) = x − 5 x + 2 x + 8

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Solución 3 2 De acuerdo con el teorema del factor, para que x = 3 sea una raíz de f (x ) = x + 5x − x + 8 , se

requiere que x − 3 sea factor. Si aplicas el teorema del residuo para verificar si x − 3 es factor o no, tienes:

f ( x) = x3 − 5 x2 + 2 x + 8 f (3) = (3)3 − 5(3)2 + 2(3) + 8 f (3) = 27 − 45 + 6 + 8 f (3) = − 4 Como el residuo fue distinto de cero ( residuo = −4 ), entonces x − 3 no es factor de 3

2

f ( x ) = x − 5 x + 2 x + 8 , y por lo tanto x = 3 tampoco es una raíz de este polinomio. ¿Cómo encontrar raíces de un polinomio? Hasta el momento has estudiado el significado de raíz y factor, cómo determinar el número de raíces o factores que posee un polinomio, cuándo un polinomio se encuentra en forma estándar o totalmente factorizada, entre algunos otros puntos. Sin embargo, aún no has encontrado las raíces de un polinomio, sólo sabes el número de raíces que debe tener y cómo verificar si en verdad es o no raíz del polinomio. El siguiente ejemplo muestra cómo determinar las raíces faltantes de un polinomio, a partir del conocimiento de alguna de sus raíces. Ejemplos 1. Verifica si x = 1 es una raíz de f (x )= x + 4x + x − 6 , y determina las raíces que faltan. 3

2

Solución Para verificar si x = 1 es una raíz de f (x )= x + 4x + x − 6 , aplica el teorema del residuo. 3

2

f (x )= x 3 + 4x 2 + x − 6 f (1 ) = (1 ) 3 + 4 (1 ) 2 + (1)− 6 f (1)= 1+ 4+ 1− 6 f (1) = 0 Debido a que el resultado de f (1 ) = 0 comprueba que efectivamente x = 1 es una raíz de

f (x )= x 3 + 4x 2 + x − 6 10 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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La pregunta ahora es: ¿cómo determinar las raíces que faltan? De antemano se sabe que debido a que el grado del polinomio es n = 3 , el polinomio debe tener tres raíces, y ya que conoces una, falta determinar las otras dos raíces. Recuerda que al conocer una raíz, también se conoce un factor lineal, por lo tanto:

f (x ) = x 3 + 4x 2 + x − 6 = (x − 1)( ¿?) Es decir, sabes que a partir de la raíz x = 1 se obtiene el factor lineal x − 1. Ahora falta conocer el ‘factor desconocido’. ¿Se te ocurre alguna idea de cómo encontrarlo? Tómate unos segundos para reflexionar, ¿listo? Así es, dividiendo. Para encontrar ‘el factor desconocido’ se puede dividir f (x ) ÷ (x − 1) y el resultado será el factor buscado. Realizando la división, tienes:

Esto indica que:

(

f (x ) = x + 4x + x − 6 = (x − 1) x + 5x + 6 3

2

2

)

2 De tal forma que el factor desconocido es la cuadrática x + 5 x + 6 . Así que para determinar las dos raíces que faltan, es necesario resolver la ecuación:

x 2 + 5x + 6 = 0

Factorizando esta expresión, tienes:

x + 5 x + 6 = ( x + 3)( x + 2) 2

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A partir de los factores lineales (x + 3) y ( x + 2) , obtienes las raíces faltantes, esto es:

x = −3 , x = −2 Mediante este procedimiento, es posible encontrar las raíces faltantes de una ecuación polinomial si se conocen algunas de sus raíces. Es importante mencionar que para el caso de un polinomio de grado 3, sólo es necesario conocer una raíz; para un polinomio de grado 4, es necesario conocer 2 raíces; para un polinomio de grado 5 es necesario conocer 3, y así sucesivamente. Es importante señalar que en ocasiones, la división algebraica convencional puede resultar un poco complicada y tardada, por lo que en divisiones como la anterior se prefiere utilizar el método de la división sintética.

División sintética La división sintética es un procedimiento que permite realizar divisiones de polinomios por expresiones de la forma: x − a Es decir, este procedimiento sólo se utiliza cuando el divisor es un término lineal como x − 3, x + 4 ,

x − 8 , et...