Ecuaciones Exactas e inexactas , pasos para resolverlas PDF

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se presenta la definición de los tipos de ecuaciones diferenciales y se detalla el paso a paso de como resolver una ecuación diferencial exacta y como transformar una inexacta en exacta...

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ECUACIONES EXACTAS Definición. (Ecuación exacta). Una expresión diferencial de la forma

M(x , y)dx + N(x, y)dy, es una diferencial exacta en una región R del plano xy,si corresponde a la diferencial de alguna función f(x,y).Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma M(x, y)dx + N(x ,y)dy=0 es una ecuación exacta, si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. Por ejemplo, la ecuación 𝑥 4 𝑦 5 𝑑𝑥 + 𝑥 5 𝑦 4 𝑑𝑦 = 0 1

es una ecuación exacta, ya que 𝑑 (5 𝑥 5 𝑦 5 ) = 𝑥 4 𝑦 5 𝑑𝑥 + 𝑥 5 𝑦 4 𝑑𝑦 Teorema. Si las derivadas parciales

𝝏𝑴 𝝏𝒀

𝑦

𝝏𝑵 𝝏𝑿

son continuas en una

región rectangular R del plano xy, entonces la ecuación diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy=0 es exacta en esa región, si y solo si 𝝏𝑴 𝝏𝑵 (1) = 𝛛𝐱 𝝏𝒚 en todo punto de R. Método de solución. Dada una ecuación de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy=0 , se determina si es válida la igualdad (1). En caso que cumpla, entonces existe una función f para la cual 𝝏𝒇 = 𝑴(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒙

Se determina f, integrando M(x, y) con respecto a x, manteniendo (y) constante, esto es:

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) (2) En donde la función arbitraria 𝑔(𝑦) es la ‘’constante’’de integración Posteriormente se deriva (2) con respecto a (y), y suponemos que 𝝏𝒇 𝝏𝒚

= 𝑵(𝒙, 𝒚) , entonces

𝝏 𝝏𝒇 ∫ 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝒈′ (𝒚) = 𝑵(𝒙, 𝒚) = 𝝏𝒚 𝝏𝒚

Resolviendo para 𝒈′ (𝒚) = 𝑵(𝒙, 𝒚) −

𝝏

𝝏𝒚

∫ 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 (𝟑)

Finalmente integramos (3) con respecto a (y), y sustituimos el resultado en la ecuación (2). También pudimos iniciar el procedimiento 𝜕𝑓

anterior suponiendo 𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦) ,después integramos a N con respecto a (y), y se diferencia el resultado con respecto a x. ECUACIONES DIFERENCIALES NO EXACTAS TRANSFORMADAS EN EXACTAS. Si la ecuación diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy=0 (1) , no es exacta recurrimos a determinar un factor integrante 𝜇(𝑥, 𝑦), tal que al multiplicar el lado izquierdo de la ecuación (1) por el factor integran te, sea una diferencial exacta, es decir: 𝒾) Si

𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝑁

es una función de x solamente, entonces un factor

integrante para la ecuación (1) es 𝜇(𝑥) =

𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑦 − 𝜕𝑥 ∫ 𝑁 𝑑𝑥 𝑒

𝒾𝒾) Si

𝜕𝑁 𝜕𝑀 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝑀

es una función de y solamente, entonces un factor

integrante para la ecuación (1) es 𝜇(𝑦) =

𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑥 − 𝜕𝑦 ∫ 𝑀 𝑑𝑦 𝑒

SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN Ecuaciones homogéneas. Cuando una función f tiene la propiedad 𝑓(𝑡𝑥 , 𝑡𝑦) = 𝑡 𝛼 𝑓(𝑥, 𝑦), para un número real 𝛼, se dice que f es una

función homogénea de grado 𝛼 ; por ejemplo, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 3 es homogénea de grado 3, porque 𝑓(𝑡𝑥 , 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥)3 + (𝑡𝑦)3 = 𝑡 3 (𝑥 3 + 𝑦 3 ) = 𝑡 3 𝑓(𝑥, 𝑦) Una ecuación diferencial de primer orden, M(x, y)dx +N(x, y)dy=0, (1) es homogénea si los coeficientes M y N, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado. Es decir, la ecuación (1), es homogénea si 𝑀(𝑡𝑥 , 𝑡𝑦) = 𝑡 𝛼 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑁(𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 ) = 𝑡 𝛼 𝑁(𝑥, 𝑦)

Además ,si M y N son funciones homogéneas de grado 𝛼,también podemos escribir 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝛼 𝑀(1, 𝑢) 𝑦 𝑦

𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝛼 𝑁(1, 𝑢), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 =

𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑦 𝛼 𝑀(𝑣, 1) 𝑦 𝑁 (𝑥, 𝑦) = 𝑦 𝛼 𝑁(𝑣, 1), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 =

𝑦 , 𝑥 𝑥 𝑦

Alguna de las sustituciones 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑜 𝑥 = 𝑣𝑦 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 𝑦 𝑣 𝑠𝑜𝑛 nuevas variables dependientes, reducirá una ecuación homogénea a una ecuación diferencial separable de primer orden. Entonces, es posible escribir una ecuación homogénea M(x, y)dx + N(x, y)dy=0 en la forma 𝑥 𝛼 𝑀(1, 𝑢)𝑑𝑥 + 𝑥 𝛼 𝑁(1, 𝑢)𝑑𝑦 = 0 𝑜 𝑀(1, 𝑢)𝑑𝑥 + 𝑁(1, 𝑢)𝑑𝑦 = 0

donde 𝑦 = 𝑢𝑥. Sustituyendo la diferencial 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢, en la última ecuación, y agrupando los términos, se obtiene una ecuación diferencial separable en las variables 𝑢 𝑦 𝑥:

𝑀(1, 𝑢)𝑑𝑥 + 𝑁 (1, 𝑢)[𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢] = 0

𝑀(1, 𝑢)𝑑𝑥 + 𝑢𝑁(1, 𝑢)𝑑𝑥 + 𝑥𝑁(1, 𝑢)𝑑𝑢 = 0 [𝑀(1, 𝑢) + 𝑢𝑁(1, 𝑢)]𝑑𝑥 + 𝑥𝑁(1, 𝑢)𝑑𝑢 = 0 𝑑𝑥 𝑁(1, 𝑢)𝑑𝑢 + =0 𝑥 𝑀(1, 𝑢) + 𝑢𝑁(1, 𝑢)...