EDOS Y DOS INCOGNITAS APUNTES CALCUL 2021 EEBE UPC PDF

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Apuntes, ejercicios y resolución de exámenes de la Universidad Politécnica de Catalunya del curso académico 2020-2021 Campus EEBE...

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El ABC del Cálculo Asistido por Computadora 1

Colegio de Bachilleres del Estado de Chihuahua

Plantel No. 19

Asignatura: Cálculo Diferencial

El ABC del Cálculo Asistido por Computadora

Docente: Ing. Alfredo García Hernández

Trabajo elaborado para optar por el Estímulo al Desempeño Académico Decimosexta Etapa

Mayo 2012

El ABC del Cálculo Asistido por Computadora 2

El ABC del Cálculo Asistido por Computadora Principios reales y prácticos para iniciar el estudio del Cálculo

Por el Ing. Alfredo García Hernández Colegio de Bachilleres del Estado de Chihuahua Plantel #19 Chamizal

El ABC del Cálculo Asistido por Computadora 3

ÍNDICE 1.- Formulario………………………………………………………………………………… 5 2.- Ejercicio de demostración………………………………………………………………… 5 a) Lectura de la expresión algebraica y orden de las derivadas a aplicar…………………. 6 b) Análisis del problema y simplificación del resultado………………………………….. 7 3.- Definición de letras del formulario…………………………………...…………………..11 4.- Conclusiones y referencias……………………………………………………………….13

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INTRODUCCIÓN La explicación del Cálculo Diferencial por primera vez en la vida siempre ha representado un tema frustrante para los alumnos de preparatoria y profesional porque inician con problemas realmente complejos. Esa falta de empatía por parte del maestro se basa en el nivel de estudios y en suponer, equivocadamente, que el alumno tiene la misma habilidad del profesor. En un principio pensé en sólo criticar la forma de impartir cálculo pero decidí que, aunque me representaría más trabajo a mí, sería de mayor provecho para el estudiante la presentación de un breve manual que lo lleve de la mano en el inicio del complejo mundo de las derivadas. Todo esto con el objetivo de prepararlo para la clase real de aquellos maestros que ponen, desde la primera clase, ejemplos complicados del “libro” o los de su preferencia, olvidando las dificultades que tuvieron, en su tiempo, para entender la materia o peor aún, vengándose de lo que vivieron cuando fueron estudiantes. Sólo una recomendación, siga los pasos al pie de la letra y aplique la generalización para que lo pueda aplicar a ejemplos que aquí no están incluidos. De igual forma considere que las formulas fueron simplificada con la finalidad de hacerlas más comprensibles para el principiante. Quisiera aclarar que el presente trabajo está realizado de acuerdo a las reglas APA (American Psychological Asssociation) con la intención de presentarlo para obtener el Estímulo al Desempeño Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Chihuahua, que pone como restricción de 5 a 10 páginas. De igual forma me gustaría aclarar que el tema de inicio del Cálculo no lo he encontrado expuesto en ningún libro o escrito de la manera que propongo en el presente documento.

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Una importante aclaración es que el estudio del Cálculo requiere como antecedente los cursos de Álgebra, Geometría Analítica, Trigonometría y preferentemente Pre cálculo o Funciones.

FORMULARIO 1

d(c)= 0

2

d(x)= 1

3

d(cx)= c

4

d(xn)= nxn-1

5

d( )=

6

d(cu)= cdu

7

d (u ± v ± w ±…) = du ± dv ± dw ±…

8

d (un) = unn-1du

9

d( )=

10

d (uv) = udv + vdu

11

d

=

12

d

=

13

d

=-

EJERCICIO DE DEMOSTRACIÓN De F. Ayres (1971) p. 34

“

”

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a) LECTURA DE LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y ORDEN DE LAS DERIVADAS A APLICAR y= ¿Cuál sería la secuencia de operaciones si la x tuviera un valor? Según el tema de Valor numérico de una expresión algebraica de la página 93 del libro de Álgebra de A. Baldor. Se asigna un valor a la x, por ejemplo de 1. y= 1.- Se resuelve las potencias 3. y= 2.- Se realiza el producto

del denominador. y=

3.- Después, se calcula la respuesta de la diferencia denominador

del numerador y la suma del

. y=

4.- Se divide 0 entre 3 y= 5.- Finalmente, se resuelve la potencia

. y=0

Con la secuencia de operaciones anteriores definimos la forma de leer la ecuación, iniciando con en sentido inverso hasta el primer cálculo. “y es igual a la cuarta potencia del cociente (división) de la diferencia (resta) de x3-1 sobre la suma 2x3+1”.

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b) ANÁLISIS DEL PROBLEMA Y SIMPLIFICACIÓN DEL RESULTADO Del cálculo del valor de la expresión algebraica propuesta se concluye que la primera fórmula de derivadas que se aplica es la última operación, la potencia.

Se cuenta con dos formulas de potencia d(xn) y d (un). Tomando en cuenta que en la expresión: xn Exponente

Base

Se utiliza la derivada de (xn) cuando la base es sólo la variable x, por ejemplo: y=x3, y=x7o y=x-2. La base “u” representa una expresión algebraica que contiene a la variable y algo más. Por lo anterior se aplica d (un) en problemas como y=(3x+8)3, y=(4-x2)3 o y= En el problema a resolver: y= Se aplica la derivada d (un) = unn-1du, donde n= 4

y

u=

Se necesita sacar du. Para derivar “u”, se separa como si fuera un ejercicio individual. y= En esta función, si la x tuviera un valor, el cociente (división) sería la última operación, por ello, aplicamos una de las tres fórmulas de derivada de cociente que son: d

,d

ód

.

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Para seleccionar la fórmula correcta consideremos que d

se aplica en casos como

,

d

se aplica en casos como

,

d

se aplica en casos como

,

ó ó ó

Note que la c tiene relación con números sin x y “u” y “v” tienen la x y algo más. y= En éste problema se debe aplicar d Donde u= x3-1 y v=2x3+1 d

=

En la fórmula se debe derivar u y v.

Se deriva “u” y “v” como si fueran problemas por separado. y= x3-1 La última operación en resolverse si x tuviera un valor sería la diferencia (resta) y se aplica la d (u ± v ± w ±…) = du ± dv ± dw ±… En el problema y= x3-1, x3 es u y -1 es v. Para derivar u=x3 usamos la d(xn)= nxn-1 donde n=3 y el resultado de la derivada de u, du=3x2. Por otra parte la derivada de v=-1 se determina con d(c)= 0 porque cualquier número como -1 es una constante. Regresando a las partes de la derivada u sobre v d

=

u= x3-1 y du=3x2. Para sacar la derivada de v, tomando en cuenta que

v=2x3+1 se considera por separado de la siguiente manera: y=2x3+1 se deriva cada término por separado. En la sección de y=2x3 se aplica d(cu)= cdu en donde c=2 y u= x3. La derivada de u es 3x2 y al multiplicarla por c=3 nos queda la derivada de y (y´) igual a 6x2y la derivada de 1 es cero

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por la d(c)=0, porque 1 es una constante como cualquier otro número. Por lo tanto la derivada de y=2x3+1 es 6x2. Se regresa a y=

en donde se había determinado aplicar d

=

u= x3-1 y v=2x3+1 y sus derivadas correspondientes, du=3x2 y dv=6x2 Entonces se forma la d

y queda: d

=

El resultado anterior ya es la derivada pero no está simplificado. y´ =

(2x3+1)3x2= 6x5+3x2

-

(x3-1)6x2= - (6x5-6x2)

y´ =

6x5+3x2- (6x5-6x2) = 6x5+3x2- 6x5+6x2

y´ = y´ = Se considera que la u de un del problema inicial es: u=

y su derivada

du=

d (un) = unn-1du

y la n=4

y

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y´=4

=

y´=

=

=

Se comprueba la solución en el programa de computadora Derive 6

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3.- DEFINICIÓN DE LA LETRAS DEL FORMULARIO 1

d(c)= 0

d significa derivada de la expresión que estuviera dentro del paréntesis y su resultado, lo que está a la derecha del igual.

c significa constante y aparece en los problemas como cualquier número (positivo, negativo, fraccionario, irracional, etc.), alguna de las primeras letras del alfabeto (“a” a la “n”) y el valor . Ejemplos: 3, ,

, a, b2, 2 . 2

d(x)= 1

x representa a las variables que encontramos en los problemas como la misma x, cualquiera de la últimas letras del alfabeto (de la “n” a la “z”) o cualquier letra griega, excepto 4

d(xn)= nxn-1

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n es un exponente numérico positivo, negativo o fraccionario. 6

d(cu)= cdu

u es una expresión algebraica que contiene a la variable y algo más, por ejemplo: x+3, 2-x3, 3x4 o . 7

d (u ± v ± w ±…) = du ± dv ± dw ±…

v expresión algebraica de la misma naturaleza de u pero en el mismo problema y deferente en algo. Ejemplo: (x+8)(9-3x) en donde u es (x+8) y v es (9-3x) ó donde u=5-x y v=x+9.

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CONCLUSIONES Ahora sí, una vez concluido el estudio del presente manual está listo para comprender los problemas del “libro”, la mayoría de los problemas propuestos por el maestro y, principalmente aplicar a la práctica en situaciones de nivel profesional. Espero que logre concluir que el estudio de la materia más compleja, superior o “difícil” tiene su base en el análisis, el orden y una gran empatía por parte del maestro o facilitador. Al mismo tiempo, si un maestro de Cálculo revisa mi propuesta espero que lo haga reflexionar y que logre ponerse en el lugar del estudiante y no tiranice con sus conocimientos para lograr la transmisión de los mismos, hacer mejor personas a nuestros estudiantes y de esa manera ganarnos el título de maestros o al menos de profesores.

REFERENCIAS Baldor, A (1993). Álgebra. Cuba: Trillas. Programa Derive versión 6....