Efecto Zeeman - Lecture notes 1 PDF

Preview

Summary

experimento con átomos de plata...

Description

EFECTO ZEEMAN I.

Introducción: El experimento de Stern-Gerlach y la noción del spin A. El experimento de Stern-Gerlach: En el experimento de Stern y Gerlach, realizado en 1921, un haz de átomos de plata con momento orbital angular total cero, pasó a través de un campo magnético no homogéneo y chocó con una placa fotográfica, como se muestra en la figura.

Cualquier desviación del haz al activarse el campo magnético es registrada en la placa fotográfica. El campo magnético no homogéneo produce una fuerza de desviación sobre cualquier momento magnético que esté presente en el haz. Si se usara un campo magnético homogéneo, cada momento magnético sólo experimentaría un momento de torsión y ninguna fuerza de desviación; sin embargo, siendo no homogéneo, se ejerce una fuerza de desviación neta sobre cada momento magnético

F z=μ z cos θ

μz .

dB dz

Donde θ es el ángulo entre campo no homogéneo.

μ 

y

 B ,y

dB / dz

es el gradiente del

En el experimento se encontró que, el haz se divide en dos partes distintas cuando choca con la placa fotográfica, con igual número de átomos desviados hacia arriba y hacia abajo del punto donde se produjo el choque, cuando no hay campo magnético. Ya que los átomos tienen momento angular orbital de cero, el momento magnético cero se debe al movimiento orbital del electrón. La interacción magnética que produce las desviaciones debe provenir de otro tipo de momento magnético. B. Spin del electrón: En 1925, S.A. Goudsmit y G.E. Uhlenbeck sugirieron que un electrón posee un momento angular intrínseco llamado spin. El momento μs , asociado con el momento angular del spin intrínseco magnético extra 

S

del electrón es responsable de la desviación del haz, que se observa en el experimento de Stern y Gerlach. De manera similar al momento angular orbital, el momento angular intrínseco del electrón y el momento magnético asociado, están cuantizados tanto en magnitud como en dirección. Las dos líneas igualmente espaciadas observadas en dicho experimento demuestran que el momento angular intrínseco sólo puede tomar dos orientaciones respecto a la dirección del campo magnético impuesto. Se demostró que, para un movimiento orbital especificado por el número cuántico l , la componente del momento orbital magnético a lo largo del campo magnético puede tener 2l+1 valores discretos. Así, si el número cuántico para el momento angular del spin se representa por s , entonces se tiene que, 2=2 s + 1 , dando el valor puesto que sólo hay dos orientaciones posibles,  único s=1/2 . Entonces la magnitud del spin S es

|S|= √ s (s +1)ℏ=

√(

1 1 √3 +1 ℏ= ℏ 2 2 2

La componente

)

S z a lo largo de la dirección z es

1 1 S z =m s ℏ, m s= s , s −1= ,− 2 2 Comúnmente, las dos orientaciones de

S

se denominan “spin arriba”

(m s=+ 1 /2 ) y “spin abajo” (m s=−1/2 ) . El spin nunca puede apuntar en dirección z positivo o negativo. También, se ha encontrado que el momento magnético intrínseco momento angular intrínseco Su relación se define como

μ  s =−g

μs , y el

S del electrón, son proporcionales uno al otro.

e  S 2 me

La cantidad adimensional g se llama razón giromagnética o factor g del spin, y tiene un valor aproximado de 2.002 . De esta forma, la razón del momento magnético al momento angular es aproximadamente del doble para spin que para el movimiento orbital del electrón. El valor único de ½ para el número cuántico del spin, es una característica tan básica para el electrón como su carga y masa únicas. Las propiedades del spin del electrón fueron explicadas, primero, por Dirac alrededor de 1928, combinando los principios de la mecánica ondulatoria con la teoría de la relatividad. Se debe recalcar, que las partículas diferentes a los electrones, por ejemplo, los protones y neutrones, también poseen un momento angular intrínseco.

En conclusión, el spin es una propiedad física de las partículas elementales por el cual tienen un momento angular intrínseco de valor fijo. II.

El experimento de Zeeman En 1896, antes del nacimiento de la mecánica cuántica, el físico holandés Pieter Zeeman realizó un experimento midiendo los efectos de la interacción entre un momento magnético interno de un átomo y un campo magnético externo. En el experimento, colocó un átomo en un campo magnético externo y midió su espectro de excitación para compararlo con el espectro sin campo magnético. Esto se puede lograr, por ejemplo, midiendo las longitudes de onda de la radiación emitida por un tubo de descarga cuando se coloca en un campo magnético. Cuando se realiza el experimento, se observa que, en presencia del campo externo, cada línea espectral se desdobla en un número de líneas discretas. Además, el cambio en la frecuencia de las líneas es directamente proporcional a la magnitud del campo magnético aplicado. Estas líneas espectrales extra, significan que un átomo tiene niveles de energía discretos adicionales cuando se coloca en un campo magnético externo. La explicación de la separación de Zeeman requiere un análisis mecánico-ondulatorio que, predice que tanto la magnitud como la dirección del momento orbitar angular, están cuantizadas.

III.

Definiciones previas A. Momento dipolar magnético

(μ )

Un dipolo magnético es un elemento puntual que produce un campo magnético dipolar. Aunque es habitual definir un dipolo como una pequeña espira o distribución de corriente, realmente lo que lo define es el campo magnético que produce. Por lo tanto, considerando una espira de corriente o dipolo magnético

μ= I  A (1)

B. Energía de un momento dipolar magnético en un campo magnético externo

Supongamos que la espira de corriente se coloca en un campo magnético externo  τ =μ ×  B . La espira experimentará un momento de torsión B , que tiende a

μ con  alinear a  B . Así, el sistema tiene una energía potencial U (θ) , que es igual al trabajo hecho por el momento de torsión con signo contrario. Integrando, tenemos

W =−∫ τ dθ=−∫ μB sin θ dθ=μB cos θ Por lo tanto, se tiene que la energía potencial es

U (θ )=− μB cos θ =− μ ∙  B (2)

IV.

Interacción Zeeman clásica: efecto Zeeman normal El modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno es equivalente para una espira de corriente con radio r y área A=π r 2 . Al igual que con la espira, habrá un momento dipolar

 magnético μ

asociado con el electrón en órbita, cuya magnitud está dada por

|μ|=IA (3) , y cuya dirección es opuesta a la del momento angular

 L (porque el electrón tiene

carga negativa).

La carga en movimiento por unidad de tiempo es la corriente promedio en un punto de la órbita, y está dada por

q qv ev (4) I= = = t l 2 πr Donde

v

es la velocidad del electrón en la órbita y

Entonces, reemplazando

μ= IA = Como

(4 ) en

(3) , tenemos

ev ( 2) evr (5) πr = 2 πr 2

L=mvr ,

(5 ) se reescribe como

e es la carga del electrón.

μ=

−e  L (6) 2 me

Considerando el modelo atómico de Bohr:

L=nℏ . Para el estado fundamental

n=1

|μ|=μB = e ℏ=9.2740154 ×10−24 J =5.788382 ×10−5 eV /T T

2 me

Donde

μB se denomina magnetón de Bohr.

 B

Eligiendo la dirección de orbitante, resulta

en z, y aplicando la ecuación

(6)

para un electrón

e   e L B (7) U (θ )=− μ ∙  L ∙ B= B= 2m e 2 me z Además, la dirección de que la componente

 L no puede ser arbitraria: Lz

 L

estará orientado de tal forma

a lo largo de z esté cuantizada con valores discretos

Lz =mℏ . Entonces (7) , se escribe como U=m

eℏ B 2m e

Por lo tanto, teniendo en cuenta la cuantización del momento angular, nos da unos niveles de energía equidistante, desplazados desde el nivel de campo cero por

∆ E=m μ B B Observamos que al introducir un campo magnético, éste desplaza la energía de cada estado en una cantidad ∆ E que depende del número cuántico magnético m . Sin campo magnético, todos los estados tienen la misma energía, pero en presencia de uno, éstos se desdoblan en 2l +1 niveles de energía distintos. Este desplazamiento de los niveles de energía, produce el desdoblamiento múltiple uniformemente espaciado de las líneas espectrales, que se llama efecto Zeeman.

Se ha encontrado que las transiciones más intensas en los átomos obedecen las siguientes reglas de selección:

∆ l=± 1 , ∆ m=± 1, 0 Para estas transiciones eléctricas dipolares, tendríamos, entonces

E=E o ± ∆ E

E=E o ±m μB B Es decir, aparecen dos líneas de energía desplazadas de la línea de campo cero en

∆ E=∆ E Zeeman=m μB B

Pueden ocurrir otras transiciones, pero dan como resultado líneas espectrales mucho más débiles. En cualquier caso, las diferencias de energía o frecuencia entre las líneas nuevas serán proporcionales a la magnitud del campo aplicado. Las predicciones anteriores, corresponden exactamente a lo que se observa en el efecto Zeeman normal. Las separaciones discretas son clara evidencia experimental del fenómeno de la cuantización del momento orbital angular. Si la orientación de este momento no estuviese cuantizada, Lz podría tomar todos los valores posibles, como en la teoría de Bohr, y las líneas se ensancharían en una banda continua en vez de los valores discretos que se observan experimentalmente. Sin embargo, el análisis anterior, no explica todas las líneas observadas en los experimentos de Zeeman. Existen transiciones individuales que caen en la categoría de efecto Zeeman anómalo, el cual incluye el concepto del espín del electrón y, en el cual, aparecen líneas espectrales en número mayor a tres.

V.

Interacción Zeeman cuántica: efecto Zeeman anómalo El campo magnético interactúa con el electrón y, éste, ahora tiene dos momentos  l y un momento magnéticos: un momento magnético asociado al movimiento orbital μ magnético debido al giro

μl=

μs . Donde

−e  L 2 me

μs =−g

e  e S ≈− S 2 me me

Donde

g ≈ 2.002319304386 y se llama factor g del spin.

Por lo tanto, la energía total (hamiltoniano) para un átomo sometido a un campo magnético externo es

B= H Zeeman =−( μl + μ s) ∙ 

e    ( L+2 S ) ∙ B 2 me

Pero, eligiendo de nuevo la dirección de

H Zeeman =

 B =B^z , tenemos

e ( L +2 S z) B(8) 2m e z

Sin embargo, si queremos estudiar correctamente al átomo de hidrógeno, debemos considerar el hamiltoniano propio del átomo de hidrógeno, que es

H( 0) =

 1 e p2 − 2 μ 4 π ε0 r

Entonces, la energía total (hamiltoniano) para el sistema del átomo de hidrógeno, será

H = H (0) +δ H estr . fina +δ H Zeeman δ H estr . fina depende del campo magnético interno propio del átomo que es el responsable de la órbita del espín y, δ H Zeeman depende del campo magnético

En donde,

externo al que está sometido el átomo. De donde, haciendo un análisis físico, llegamos a 3 casos especiales: a) Débil efecto Zeeman: Cuando

∫¿ B ext ≪ B ¿

. Esto implica que se obtendrá un nuevo

hamiltoniano conocido ~ H (0 ) y, por lo tanto, el efecto Zeeman deberá ser tratado como una teoría de la perturbación.

( 0)

H =(H + δ H estr . fina)+δ H Zeeman b) Fuerte efecto Zeeman: Cuando hamiltoniano conocido perturbación.

∫¿ B ext ≫ B ¿

. Esto implica que se obtendrá un nuevo

ˇ (0) y, por lo tanto, el H

δ H estr . fina lo trataremos como una

( 0)

H =(H + δ H Zeeman )+ δ H estr .fina ˇ (0) +δ H estr . fina H =H

c) Intermedio efecto Zeeman: Cuando

∫¿ B ext ≃ B¿

. El desarrollo es complicado y

consiste en diagonalizar matrices.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Ronald Gautreau & William Savin, “Física Moderna” – Serie Schaum, 2da. edición, editorial McGRAW-HILL INTERAMERICANA S.A. 2. Cohen Tannoudji, “Quantum Mechanics”, vol. 2. 3. J.J. Sakurai, “Modern Quantum Mechanics”, Addison –Wesley Publishing Company, 1994. REFERENCIAS LINKOGRÁFICAS http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/zeeman.html http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/Lande.html#c1 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/zeeman.html#c5 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/magnetic/magmom.html#c2 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/orbmag.html#c1 http://laplace.us.es/wiki/index.php/Dipolo_magnético http://es.wikipedia.org/wiki/Espín

REFERENCIAS VIDEOGRÁFICAS [Lección 6.1. Zeeman effect and fine structure – MIT OpenCourseWare, MIT 8.06 Quantum Physics III, Spring 2018:] http://www.youtube.com/watch?v=WlZf4aOkNMQ [Educatina: El Efecto Zeeman:] http://www.youtube.com/watch?v=-rj6R4XHrs8...