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Ejemplos de cálculos de funciones de transferencia

Función de transferencia de un circuito RC Objetivo: Obtener la función de transferencia del circuito que se muestra en la figura 1, considerando que la salida deseada es el voltaje del capacitor (𝑣𝑐 (𝑡)).

Figura 1. Circuito RC

Considerando la red eléctrica mostrada en la figura 1, si se le aplica ley de voltajes de Kirchhoff, se obtiene la siguiente ecuación diferencial: 𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑣𝑅 (𝑡) + 𝑣𝑐 (𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) +

1 𝑡 ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝐶 0

… (1)

Aplicando transformada de Laplace a la ecuación (1), considerando condiciones iniciales cero: 𝑉𝑖 (𝑠 ) = 𝑅𝐼 (𝑠 ) +

11 1 𝐼 (𝑠 ) = 𝑅𝐼 (𝑠 ) + 𝐼(𝑠) … (2) 𝑠𝐶 𝐶𝑠

Factorizando la corriente: 𝑉𝑖 (𝑠 ) = [𝑅 +

1 ] 𝐼(𝑠) … (3) 𝑠𝐶

Despejando para obtener la función de transferencia que relaciona a la corriente con el voltaje de entrada: 1 𝐼(𝑠) … (4) = 𝑉𝑖 (𝑠) 𝑅 + 1 𝑠𝐶 Debido a que la ecuación (4), aunque matemáticamente está bien calculada, no se encuentra escrita de manera correcta, esto debido a que el orden mínimo del denominador no es cero, sino -1 como se observa en el término 1/sC, es necesario multiplicar la ecuación (4) por un uno conveniente, de tal manera que permita solucionar este problema. Por tal motivo la ecuación (4) se multiplica por un factor unitario (𝑠𝐶/𝑠𝐶 ), el cual no altera el valor de la ecuación, pero permite reescribir la función de transferencia de tal manera

que el orden mínimo de los polinomios del numerador y del denominador sea cero, dando como resultado: 𝑠𝐶 1 𝑠𝐶 𝐼(𝑠) = = … (5) 1 𝑉𝑖 (𝑠) 𝑅 + 𝑠𝐶 𝑠𝑅𝐶 + 1 𝑠𝐶 Finalmente se verifica que tanto el numerador como el denominador de la función de transferencia queden escritos en potencias descendentes de s, comenzando del lado izquierdo con la mayor potencia. Como en la ecuación (5) ya se cumple esta condición ya no es necesario realizar ninguna modificación adicional. Ahora, como lo establece el objetivo, lo que se desea es obtener la función de transferencia del circuito que se muestra en la figura 1, considerando que la salida deseada es el voltaje del capacitor (𝑣𝑐 (𝑡)), por lo que el resultado de la ecuación (5) no nos proporciona la información requerida. Para obtener el resultado deseado, primero se debe hallar una relación entre el dato deseado y la información con la que ya se cuenta, así que, considerando que el voltaje de un capacitor tiene la siguiente relación con la corriente, en términos de impedancias: 𝑉𝑐 (𝑠 ) = Donde se define

1

𝑠𝐶

de 𝐶 en Faradios.

1 𝐼(𝑠) … (6) 𝑠𝐶

como la impedancia de un capacitor, cuya capacitancia queda determinada por el valor

Si se despeja la corriente de la ecuación (6), 𝐼 (𝑠 ) = 𝑠𝐶𝑉𝑐 (𝑠 ) … (7) En la ecuación (7) se observa que es posible escribir la corriente del circuito en términos del voltaje del capacitor, por lo tanto, si se sustituye la ecuación (7) en (5), la función de transferencia queda de la siguiente manera: 𝐼(𝑠) 𝑠𝐶𝑉𝑐 (𝑠) 𝑠𝑐 … (8) = = 𝑠𝑅𝐶 + 1 𝑉𝑖 (𝑠) 𝑉𝑖 (𝑠) Finalmente, despejando 𝑉𝑐 (𝑠) de la ecuación (8) se tiene:

1 𝑉𝑐 (𝑠) = … (9) 𝑉𝑖 (𝑠) 𝑠𝑅𝐶 + 1

La cual es la función de transferencia que relaciona al voltaje del capacitor con la entrada del circuito, logrando de esta manera el objetivo requerido. Para el cálculo de la función de transferencia que relaciona al voltaje de la resistencia (𝑉𝑅 (𝑠)) con el voltaje de entrada (𝑉𝑖 (𝑠)) se debe recordar su relación voltaje-corriente, dada por la ley de Ohm, la cual se escribe a continuación:

𝑉𝑅 (𝑠 ) = 𝑅𝐼(𝑠 ) … (10) Si se sustituye la ecuación (10) en la ecuación (5), se puede encontrar la función de transferencia requerida: 𝑠𝑅𝐶 𝑉𝑅 (𝑠) 𝑅𝐼(𝑠) = = … (11) 𝑉𝑖 (𝑠) 𝑉𝑖 (𝑠) 𝑠𝑅𝐶 + 1

Para un circuito RLC se tiene: 𝑑 1 𝑡 𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑣𝑅 (𝑡) + 𝑣𝑐 (𝑡) + 𝑣𝐿 (𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) + ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐿 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 𝐶 0

… (1)

Aplicando transformada de Laplace a la ecuación (1), considerando condiciones iniciales cero: 𝑉𝑖 (𝑠 ) = 𝑅𝐼 (𝑠 ) + Factorizando la corriente:

11 1 𝐼 (𝑠 ) + 𝐿𝑠𝐼(𝑠) = 𝑅𝐼 (𝑠 ) + 𝐼(𝑠) + 𝐿𝑠𝐼(𝑠) … (2) 𝑠𝐶 𝐶𝑠

1 𝑉𝑖 (𝑠 ) = [𝑅 + 𝑠𝐶 + 𝐿𝑠] 𝐼(𝑠 ) … (3) Despejando para obtener la función de transferencia que relaciona a la corriente con el voltaje de entrada: 1 𝐼(𝑠) … (4) = 𝑉𝑖 (𝑠) 𝑅 + 1 + 𝑠𝐿 𝑠𝐶 Debido a que la ecuación (4), aunque matemáticamente está bien calculada, no se encuentra escrita de manera correcta, esto debido a que el orden mínimo del denominador no es cero, sino -1 como se observa en el término 1/sC, es necesario multiplicar la ecuación (4) por un uno conveniente, de tal manera que permita solucionar este problema. Por tal motivo la ecuación (4) se multiplica por un factor unitario (𝑠𝐶/𝑠𝐶), el cual no altera el valor de la ecuación, pero permite reescribir la función de transferencia de tal manera que el orden mínimo de los polinomios del numerador y del denominador sea cero, dando como resultado: 𝐼(𝑠) 𝑠𝐶 𝑠𝐶 1 = = … (5) 1 𝑠𝐶 𝑠𝑅𝐶 + 1 + 𝑠 2 𝐿𝐶 𝑉𝑖 (𝑠) 𝑅 + + 𝑠𝐿 𝑠𝐶 Reordenando los términos del denominador para que las potencias de s queden ordenadas de manera descendente, se tiene: 𝐼(𝑠) 𝑠𝐶 … (6) = 2 𝑠 𝐿𝐶 + 𝑠𝑅𝐶 + 1 𝑉𝑖 (𝑠)

Para el cálculo de los voltajes se debe recordar la relación existente entre cada voltaje y la corriente del circuito, la cual está dada por las siguientes relaciones: 𝑉𝑅 (𝑠 ) = 𝑅𝐼(𝑠) … (7) 𝑉𝑐 (𝑠 ) =

1 𝐼(𝑠) … (8) 𝑠𝐶

𝑉𝐿 (𝑠 ) = 𝑠𝐿𝐼(𝑠) … (9)

Si se sustituyen las ecuaciones (7), (8) y (9), una por una en la ecuación (6), se pueden encontrar todas las funciones de transferencia requeridas: 𝑉𝑅 (𝑠) 𝑠𝑅𝐶 = 2 𝑉𝑖 (𝑠) 𝑠 𝐿𝐶 + 𝑠𝑅𝐶 + 1

𝑉𝐶 (𝑠) 1 = 2 𝑉𝑖 (𝑠) 𝑠 𝐿𝐶 + 𝑠𝑅𝐶 + 1

𝑠 2 𝐿𝐶 𝑉𝐿 (𝑠) = 2 𝑉𝑖 (𝑠) 𝑠 𝐿𝐶 + 𝑠𝑅𝐶 + 1

Para un sistema masa-resorte-amortiguador

La ecuación diferencial del sistema es: 𝑚𝑦󰇘 = 𝑢 − 𝑏𝑦󰇗 − 𝑘𝑦

… (10)

Aplicando a la ecuación (10) la transformada de Laplace, con condiciones iniciales cero, se tiene: 𝑚𝑠 2 𝑌(𝑠 ) = 𝑈(𝑠 ) − 𝑏𝑠𝑌(𝑠 ) − 𝑘𝑌(𝑠 ) … (11) Agrupando términos semejantes y factorizando: 𝑚𝑠 2 𝑌(𝑠 ) + 𝑏𝑠𝑌 (𝑠 ) + 𝑘𝑌(𝑠 ) = 𝑈(𝑠 ) … (12) [𝑚𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑘 ]𝑌(𝑠 ) = 𝑈(𝑠 ) … (13)

Despejando adecuadamente para obtener la función de transferencia: 1 𝑌(𝑠) = … (14) 2 𝑈(𝑠) 𝑚𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝑘

Ejercicio: Obtener las funciones de transferencia del siguiente sistema dinámico:...