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Ecuaciones Diferenciales ADA 1 Ejercicios 1.1 En los problemas 1 a 8 establezca el orden de la ecuación diferencial ordinaria dad. Determine si la ecuación es lineal o no lineal, comparando con la ecuación (6).

( )

4

2.

d 3 y dy + y=0 − d x 3 dx

x

R. La ecuación (2.) es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden. 8.

(

)

´2 ´x − 1− x ´x + x =0 3

R. La ecuación (8.) es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden. En los problemas 9 y 10 determine si la ecuación diferencial dada de primer orden es lineal en la variable dependiente indicada al ajustar ésta con la primera ecuación diferencial dada en (7). 9.

( y 2−1 ) dx +xdy=0; en y ; en x

a1 ( x ) y2

dy + a ( x ) y =g ( x ) dx 0

dy dx d x =0 +x − dy dy dy Por lo tanto, es lineal en “y” independiente

y2

d x d x dy − + x =0 dx dx dx Por lo tanto, es lineal en “x” independiente

En los problemas del 11 al 14 compruebe que la función indicada es una solución explícita de la ecuación diferencial dada. Tome un intervalo I de definición apropiado para cada solución. 11.

2 y ´ + y =0 ; y=e− x/ 2

y´=

−e− x/2 2

( ) −x 2

2

−e 2

−x

+e 2 =0

−x

−e 2 +e

−x 2

0=0

=0

R. Por lo tanto, decimos que intervalo de (−∞ ,+∞ ) . 14.

−x/ 2

es una solución explícita para

y=e

2 y ´ + y =0

en el

y ´ ´ + y=tanx ; y=− ( cosx ) ln ( secx + tanx )

y ´ =−cosx secx=

(

)

secxtanx + sec2 x + senxln ( secx + tanx ) secx + tanx

1 cosx

secxcosx=1 y ´ =−1+ senxln ( secx + tanx ) y ´ ´ =0+ senxsecx + cosxln ( secx + tanx )

senxsecx +cosxln ( secx + tanx )+ ( −cosxln (secx + tanx ) ) =tanx senx∗1 =tanx cosx senx =tanx cosx tanx= tanx R. Por lo tanto

y=− ( cosx ) ln ( secx + tanx ) es una solución explícita de la ecuación diferencial

y ´ ´ + y=tanx . En los problemas 31 y 32 determine los valores de solución de la ecuación diferencial dada. 32.

m para que la función

x 2 y ´ ´−7 xy ´ +15 y=0

y= xm y ´ =m x m−1 x y ´=m x m y ´ ´ =m(m−1) xm −2 x 2 y ´ ´=m(m−1) x m m ( m−1 ) x m−7 m x m+ 15 x m =0 Si x=0 entonces xm=0 m 2−m −7 m+15=0 2

m −8 m +15=0

y = x m sea una

(m−3) ( m−5 )=0 m 1=3 ; m 2=5...