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Ejercicios resueltos acerca de optimización dinámica...

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Universidad de Cuenca Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas

Tema: Ejercicios Resueltos: OPTIMIZACIÓN DINÁMICA Asignatura: Economía Matemática

Curso: Economía 04 – 01

CÁLCULO DE VARIACIONES

I.

CÁLCULO DE VARIACIONES

1. Considere el siguiente problema 1

min J =∫ (tx +x )dt , con x (0)=1 2

0

Asumiendo que (1) está libre. Resolver el problema utilizando el cálculo de variaciones.

Fx=¿ 0 F ´x =t +2 x d F ´x =1+2 ´x dt 

Planteamos la ecuación de Euler F x−

d F =0 dt ´x

−1−2 ´x =0 2 x´ =−1 Reordenando

´x =

−1 2

Ahora integramos dos veces para encontrar la solución −1 dt 2

= ´x =

∫ ´x =∫

−1 t +c 1 2

∫ ´x dt=∫

x¿ ( t ) = 

Aplicamos la Condición inicial ¿

x ( 0 )=

−1 t+c1 2

−1 2 t +c 1 t +c 2 4 x (0)=1

−1 2 0 +c1 0+c 2=1 4 c 2=1



Aplicamos la Condición de Transversalidad

[ F ´x I t¿ t 1 ]=0 F ´x =t +2 x´ =0 Donde

´x =

−1 t+ c1 , Remplazando 2

F ´x =t +2(

−1 t+c1 ) =0 2

F ´x =t−t +2 c1 =0 2 c1 =0 c 1=0

Finalmente: ¿ X ( t) =



−1 2 t +1 para t ∈ [ 0,1] 4

Aplicamos la Condición de Legendre:

F ´x ´x =2> 0(mínimo local) Dado que la segunda derivada de F

con respecto a ´x

es mayor a cero se

verifica que es un mínimo local.

2. Resolver el siguiente problema utilizando el cálculo de variaciones y verificar que es un máximo T

Max J =∫ −0.5 u2 dt 0

Sujeto a: ´x = x +u , con x ( 0 )=3 y x ( T )=10 Despejando u de la restricción ´x = x + u , para poder expresar el problema como un problema de cálculo de variaciones, entonces: u= x´ −x 

Reemplazando en el funcional J(x): T

2 max J =∫ −0.5 ( x´ − x ) dt 0 T

2 2 max J =∫ −0.5 ( ´x −2 x x´ +x ) dt 0 T

2 2 max J =∫ ( −0.5 ´x + x x´ −0.5 x ) dt 0



Planteando la Ecuación de Euler:

F x−

d F =0 dt ´x

F=−0.5 x´ 2+x ´x −0.5 x

2

F x =´x −x F ´x =−´x + x d F =−´x + x´ dt ´x Reemplazando: ´x − x + ´x −´x =0 −x+ ´x =0 ´x − x =0 Resolviendo esta ecuación diferencial de segundo orden, 2

r −1 =0 → Ecuación característica √ r 2=√ 1 r 1=1 r 2=−1 Solución: ¿ −t t X ( t ) =K 1 e + K 2 e

Reemplazando las condiciones para encontrar las constantes: 

Condición inicial x ( 0 )=3 X ( 0 )=K 1 e 0 + K 2 e0 =3 K 1 + K 2=3 K 1=3− K 2



Condición de Transversalidad

De la Definición 11.6.1. (Condiciones de Transversalidad) del libro de Lomelí y Rumbos página 268, se ocupa la segunda condición:

( f −´x f ´x ) t=T =0 si T T

está dado (por lo que

está libre.

Aplicando dicha condición: ( f −´x f ´x ) t=T =0

( 0.5 ´x 2−x x´ +0.5 x 2− ´x 2+ x x´ )=0 (−0.5 x´ 2+0.5 x 2 )=0 Dividiendo para −0.5

∆ x (T )=0 ) y

( ´x 2− x 2 ) =0 Para reemplazar en donde: x=K 1 e−t + K 2 et x´ =−K 1 e−t + K 2 e t Entonces: ( ´x 2− x 2 ) =0

[(−K

e + K 2 e ) −( K 1 e + K 2 e t 2

−t

1

( ´x 2− x 2 ) =0 , necesitamos x

(− K 1 e−t )

2

)

t 2

−t

]=0

−2 K 1 K 2 +( K 2 e t ) −( K 1 e−t ) −2 K 1 K 2 −( K 2 et ) =0 2

−4 K 1 K 2=0 Multiplicando por −1 , tenemos: 4 K 1 K 2=0 A partir de x ( T )=10 x ( T) =K 1 e−T + K 2 e T =10

Con K 1=3− K 2 Tenemos 4 K 1 K 2=0 4 K 1 K 2=0 4 ( 3−K 2) K 2=0 2

12 K 2−4 K 2 =0

( 12−4 K 2) K 2=0 K 2=0 K 2=3

Partimos de: x ( T) =K 1 e−T + K 2 e T =10

Con K 1=3− K 2

( 3−K 2) e−T + K 2 eT =10 −T

−T

T

3 e −K 2 e + K 2 e =10

Con K 2=0 −T

3 e =10

´x . De

y

2

2

eT=

3 10

T =−1.2 Este valor no se toma en cuenta, ya que no existen tiempos negativos y por lo tanto K 2 no puede ser 0. Con K 2=3 −T

−T

−T

3 e −3 e +3 e =10

eT=

10 3

T =1.2039 Ahora queda claro que K 2=3

y por ende:

K 1=3−K 2 K 1=0

Finalmente: t ¿ X ( t ) =3 e para t ∈ [0,1.2039 ]



Condición de Legendre para verificar que es un máximo: F ´x ´x =−1 ≥ 0(máximo

3. Resolver el siguiente problema utilizando el cálculo de variaciones y verificar que es un mínimo 2

min J =∫ ( 0,5 u2 +10 x ) e−0,1 t dt 0

sujeto a : ´x =u+2 x , con x (0 )=0 ; y x ( 2) =500 Primero despejamos u de la restricción: u= x´ −2 x Y reemplazamos

u en F , de forma que ahora el problema de optimización es: 2

min J =∫ ( 0,5(´x −2 x )2 +10 x ) e−0,1 t dt 0 2

min J =∫ ( 0,5(´x 2−4 x´ x + 4 x 2)+10 x ) e−0,1 t dt 0

2

min J =∫ ( 0,5 ´x −2 ´x x +2 x +10 x ) e 2

−0,1 t

2

dt

0



Planteamos la ecuación de Euler F x−

d F =0 dt ´x −0,1t

F x = (−2 ´x + 4 x +10) e F x´ = ( ´x −2 x )e−0,1 t

d −0,1 t F =( ´x −0,1 x´ −2 ´x +0,2 x )e dt ´x d −0,1 t F ´x =( ´x −2,1 x´ +0,2 x ) e dt Finalmente la ecuación de Euler es la siguiente: F x−

d −0,1 t −0,1 t −( ´x −2,1 ´x +0,2 x ) e =0 F = ( 2 x´ +2 x+ 10 ) e dt ´x

(−2 ´x + 4 x +10 ) e−0,1 t− ( ´x −2,1 ´x +0,2 x ) e−0,1 t =0 −0,1 t

−2x´ e

+4 x e−0,1 t +10 e−0,1 t −x´ e−0,1 t + 2,1 ´x e−0,1 t−0,2 x e−0,1 t=0 −0,1 t

0,1 x´ e

+3,8 x e−0,1 t +10 e−0,1 t −x´ e−0,1 t =0

Cambiamos el signo y reordenando la expresión anterior: ´x e−0,1 t −0,1 x´ e−0,1 t −3,8 x e−0,1 t =−10 e−0,1 t Dividimos todo para e−0,1 t , y nos queda que: ´x −0,1 ´x −3,8 x =−10

La ecuación anterior es de segundo orden, lineal no homogénea y autónoma, a continuación procedemos a resolverla: 

Solución Homogénea: Planteamos la ecuación característica y se obtienen sus raíces:

2

r −0.1 r −3.8=0

En donde: a=1 b=−0,1 c=−3,8

r 1,2=

0,1 ± √ (0,1)2 −4∗1∗−3,8 2

r 1=2 r 2=−1,9

Es así que la solución homogénea es la siguiente:

−1,9t

2t

X h =K 1 e + K 2 e



Solución Particular: Para la solución particular se asume que la variable no cambia en el tiempo, por lo tanto ´x =´x =0 10 d X p= = =−2,6316 c −3,8 Como ya se conoce la solución viene dada por la suma de la homogénea más la particular, finalmente la solución es: ¿ X ( t ) =K 1 e 2t + K 2 e−1,9 t −2,6316



Aplicamos las condiciones iniciales

x ( 0 )=0 y x ( 2)=500

¿ x ( 0)=K 1 +K 2 −2,6316=0 ¿

x ( 0 )= K 1 =2,6316− K 2(1) ¿ 2( 2 ) −1,9 (2) X (2) =K 1 e + K 2 e −2,63=500

X ¿ (2) = K 1 e 4 + K 2 e−3.8− 2,63=500(2) Reemplazando ( 1 )

en (2) , y resolviendo tenemos que:

K 1=9,2087 K 2=−6,577 1



Finalmente la solución es: ¿ X ( t ) =9,2087 e2 t −6,5771 e−1,9 t −2,6316 para t ∈ [ 0,2 ]



Aplicamos la Condición de Legendre:

−0,1 t

F ´x ´x=e

>0(mínimo local)

Como e−0,1 t local.

es un término positivo, entonces se comprueba que es un mínimo

4. Una población de N pescados en cierto lago, crece a la tasa siguiente: ´ ( t )=aN ( t )−b N 2 (t ) (1) N Si no es perturbada por la gente. El pesado puede ser cogido del lago y consumido a una tasa C(t) , dando una utilidad U (c (t ))

a la comunidad, y reduciendo la

tasa de crecimiento del pesado, según: N´ ( t )=aN ( t )−b N 2 (t )−C ( t ) (2) Suponer que las futuras utilidades de la comunidad son descontadas a una tasa constante r. Caracterizar un plan de consumo de pescado entre 0 y

t1

(fijado),

para maximizar el valor presente de las utilidades descontadas. Suponer que N ( 0 )=

a y que U ' > 0,U ' ' 0 , U ' '...